2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（解析版）

專題29平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................5

【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用............................................5

【考點(diǎn)2］平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算................................................11

【考點(diǎn)3］平面向量共線的坐標(biāo)表示............................................16

【分層檢測(cè)】...............................................................19

【基礎(chǔ)篇】.................................................................19

【能力篇】.................................................................26

【培優(yōu)篇】.................................................................30

考試要求：

1.理解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

；知識(shí)梳理

L平面向量的基本定理

條件ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

對(duì)于這?平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)/U,初，使〃=區(qū)經(jīng)

結(jié)論

+22￡2

若ei,e2不共線,我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

基底

基底

2.平面向量的正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模

設(shè)。=(尤1,yi),b=(X2,yi),則

a+b=(xi+x2,yi+y2),a—Z>=(XLX2,yi—y2),幾a=(尢n,7vi),|a|='/君+y?.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),3(x2,,2),則AB=(X2—xi,y2-yi),|AB|=、/"(一―xi)2+(丫2-yi)

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,yi),向量a,灰Z>WO)共線的充要條件是人\21x2券=0.

|常用結(jié)論

1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.

2.若a與〃不共線，2a+〃方=0,則/l=〃=0.

3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起

點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

.真題自測(cè)

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?高考真題)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn)，則反?詼=()

A.y/5B.3C.2A/5D.5

2

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量￡=(1,1),B=(1,T),若(Z+砌邛+悶,則()

A.X+"=lB.彳+4=—1

C.4〃=1D.%〃=—1

3.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量￡=(3,4)方=(1,0),￡=￡+后,若<￡,">=<瓦2>,則力=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.(2022?全國(guó)?高考真題)已知向量￡=(2,1)石=(-2,4),則()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022?全國(guó)?高考真題)在"RC中，點(diǎn)。在邊AB上，BD=2DA.記逐=用①=為,則瓦=()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3慶+2為D.2m+3n

二、填空題

6.(2021?全國(guó)?高考真題)已知向量a=(1,3),石=(3,4),若(〃-4)則—=.

參考答案：

1.B

(-------?--------ULULULUL

【分析】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量表示EC,ED,再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

,___.iUiBi||UUtti|uunuum

【詳解】方法一：以｛ABk,A。｝為基底向量，可知卜@=卜。|=2,48.40=0,

uumuuruuniuunuumuunuuruumiuunuum

貝lj￡C=￡5+5C=—A5+AD,EQ=EA+AD=——AB+AD,

22

UUDuun(iuunWSL\(\uunuum、iULmuum

所以EC￡D=/A3+AO[-/AB+AO=-[A52+AD2=—1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

LIL1UU11U

則E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),￡D=(-1,2),

uuuuuu

所以ECm=-1+4=3；

方法二：由題意可得：ED=EC=5/5,CD=2,

DE2+CE?-DC?5+5-43

在ACDE中,由余弦定理可得cosNDEC=

2DECE2x五x逐5

uunuuniULKi||Uun|

所以四印cosZDEC=&也x《=3.

故選：B.

3

y

2.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出Z+加，z+而，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)椋?=,所以￡+%3=(1+41-4),2+〃1=。+〃」一〃)，

由(〃+%石)_L(〃+可得，(。+彳石),(〃+從B)=o,

即(1+為(1+〃)+(1_4)(1_//)=0,整理得：=—1.

故選：D.

3.C

【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得

9+3,+163+/

【詳解】解：c=(3+r,4),cos(a,c)=cos(Z?,c),gp二何，解得f=5,

故選：C

4.D

【分析】先求得￡-人然后求得自一〃

【詳解】因?yàn)閆-B=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以［2叫=,42+(-3)2=5.

故選：D

5.B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊上，BD=2DA,所以麗=2次，即前一瓦=2(希一團(tuán),

4

所以瓦=31一2瓦=3石一2正=-2碗+3萬.

故選：B.

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】因?yàn)閆-%=（l,3）-〃3,4）=（1-343-42）,所以由（2-萬），B可得，

3（1-32）+4（3-42）=0,解得％=

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)￡=（不弘）］=（々,%），

a±b<^>a-b=O<^>XyX2+yxy2=0,注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11平面向量基本定理的應(yīng)用

一、單選題

1.（21-22高一下?重慶北陪?階段練習(xí)）設(shè),、晟是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向

量的一個(gè)基底的是（）

A.6+02和61-02B.G+202和.+261

e

C.3e1-2e2和4e2-6e1D.g和％+i

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊AABC中，點(diǎn)E為中線8。的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)3）,

點(diǎn)尸為3C的中點(diǎn)，貝！jRg.麗=（）

二、多選題

3.（2024?廣西?二模）已知△ABC內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為。，"G。為AABC的重心，cosA=g,AO=2,則

)

5

A-而三通七記B-福尼43

C.AABC的面積的最大值為3#D.。的最小值為26

luuni

4.（2022?廣東惠州?一模）如圖，點(diǎn)。是正八邊形ABCOEFG”的中心，且?=1,貝I］（）

FE

?O

H\zc

AB

A.而與E能構(gòu)成一組基底B.OAOC=0

C.OA+OC=>/2OBD.AC-CD=-^-

三、填空題

5.（2024?天津紅橋?二模）太極圖被稱為"中華第一圖"，其形狀如陰陽兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽魚

太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓。和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段過點(diǎn)。且兩端點(diǎn)

N分別在兩個(gè)半圓上，點(diǎn)尸是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，令麗=￡,PN=b>若所=4￡+4九則4=；a-b

的最小值為.

6.（2024?天津?二模）在AABC中，AM=2MB<P是MC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)轉(zhuǎn)交BC于點(diǎn)￡>.設(shè)福%,AC=b，

_3

則正可用a，B表不為，若4。=木，cos/B4c=《,則AABC面積的最大值為.

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)基底的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】依題意，章最不共線，

A選項(xiàng)，不存在；leR使1+最=2「-初，

所以4+區(qū)和，-晟可以組成基底.

B選項(xiàng)，不存在;leR使q+2e2=X（e2+2eJ,

6

所以4+2?和￡+2?？梢越M成基底.

C選項(xiàng)，4e2—6et=—2(3q—2e2j,

所以嘉-21和461不能構(gòu)成基底.

D選項(xiàng)，不存在2eR使e?=2.2+ej,

所以可和工+1可以組成基底.

故選：C

2.D

【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.

【詳解】由己知有|麗|=2,|起|=2,ZABC=60°,

所以麗^=|麗||就|COSNABC=2X2XL=2.

2

已知。是AC的中點(diǎn)，則麗=!(而+配)，BE=-BD=-(BA+BC\BF=FC=-BC,

2362

所以庵=屁-喬」(麗+就)-工交」希-」就，

6263

貝!|麗?麗=(：麗呵卜;呵=一卷麗.而+：濟(jì)=_\x2+：x4=g.

故選：D.

3.BC

-.1—.1—.

【分析】利用重心性質(zhì)及向量線性運(yùn)算得A0=§A3+§AC,即可判斷A,此式平方后結(jié)合基本不等式，向

量的數(shù)量積的定義可求得冷.泥，|福||近|的最大值，直接判斷B,再結(jié)合三角形面積公式、余弦定理判

斷CD.

【詳解】。是AASC的重心，延長(zhǎng)49交BC于點(diǎn)。，則。是BC中點(diǎn)，

—.2—.21—?—.1—.1—.

AO=-AD=-x-(AB+AC)=-AB+-ACfA錯(cuò)；

—.1.1.

由A0=§A3+§AC得48+就=3而，所以

9AO2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB-AC>2|AB||AC|+2AB-AC,

又通./=|通1碼8$4=曰同|明,BP|AB||AC|=5AB-AC

所以2X5麗?恁+2麗?ZDV9X22,所以麗?衣V3，當(dāng)且僅當(dāng)|西=|恁|時(shí)等號(hào)成立，B正確；

7

ABA

\^-\AC\='^<15,當(dāng)且僅當(dāng)|而|=IM時(shí)等號(hào)成立，sinA=Vl-cos2

S.ABC=|||AC|sinA<|x15x=376,C正確；

由9而2=（荏+府）2=通2+荔;2+2通.記得網(wǎng)2+國(guó)2=36—2超尼=36一|網(wǎng)國(guó)，

2222

所以/=/7+C-2Z?CCOSA=|A5|+|AC|-2|AB|-|AC|COSA=36-||AB||AC|>36-1X15=24,

a>246,當(dāng)且僅當(dāng)|希卜|明時(shí)等號(hào)成立，所以。的最小值是2而，D錯(cuò).

故選：BC.

【分析】對(duì)A,由正八邊形性質(zhì)可證而與屈平行，即可由基底定義判斷；

對(duì)B,由正八邊形性質(zhì)可證Q4LOC,即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系判斷;

對(duì)C,由O4LOC,利用平行四邊形法則即可計(jì)算；

對(duì)D,由恁.①=麗?歷+前.歷，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算

連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,所以AH〃CF,所以而與方是共線向

量，所以正與前不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

17T____

ZA0C--x2^=-,所以。4_LOC,所以瓦.芯=0，B項(xiàng)正確；

42

因?yàn)榉確L反，由平行四邊形法則可知，OA+OC=y/2OB>C項(xiàng)正確;

13

正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為；；x（8-Zjx/ru7Tr，ABLCD,

8v4

所以IS.而=（荏+前）?麗=荏.函+前.麗=|胴『D項(xiàng)錯(cuò)誤（或者從正八邊形的

8

性質(zhì)可知衣與①的夾角為銳角，則有尼?①>0可判斷D錯(cuò)誤）.

故選：BC

5.-/O.50

2

【分析】第一空結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得；第二空先由向量的線性運(yùn)算得到7B=4-場(chǎng)■?，再當(dāng)兩

取得最大值時(shí)計(jì)算可得.

【詳解】由圓的對(duì)稱性可得。為的中點(diǎn)，

所以甫=麗+而=5+（麗7兩■-網(wǎng)=

22

Z/=回+兩）.國(guó)+網(wǎng)，

因?yàn)橥?-麗，

所以79=（而+兩）?（而—麗）=麗2_02=4_加\

所以當(dāng)兩取得最大值2時(shí)，的最小值為0,;

故答案為：g；0.

—1-1r25

6.AP——ciH—b,—

328

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，表示向量/；設(shè)存=彳而，再利用平面向量基本定理表示而，即可求解4,再

根據(jù)AD=6,以及基本不等式，三角形面積公式，即可求解.

【詳解】由點(diǎn)P是MC的中點(diǎn)，

則衣=；（說+=南+正）=；@+3萬；

____k.ULULULU

設(shè)麗=4而，BD=JLLBC，

貝麗=；鬧+麗卜;（/_南_；磯=；3_+,

^P=~^P-^B=XAD-AB=A（BD-BA）-AB,

=A^JLIBC+=^JLLAC-JLIAB+AB^-AB,

—4〃AC+（4-1——入fdb+（2-1—a,

\1

Au——

所以2，，得4=*5,〃=]3,

9

?5.6>23—

所以AP=—AO,^AD=-AP=-a+-b,

6555

因?yàn)?)=太，

_3丫49.2124_29.236山田

所以—a+—br=-a1-\--b2H----a-b=-a2Hb2T----同網(wǎng)，

155J25252525251251111

22x$x同網(wǎng)+:x同忖=慝同代，

即:同中6,即同歸卜亮，當(dāng)|同=綱時(shí)，即同=胴=率時(shí)等號(hào)成立,

11251125425

所以AABC面積的最大值為，￡sinNB4C=，￡x三=與.

__.1175

故答案為：麗="+花；

32o

反思提升：

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、

減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同

的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.

【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一、單選題

1.(12-13高一上?黑龍江牡丹江?期末)已知2=(1,1),5=(2,5),2=(3,x),若(82-分2=30,則X=()

A.6B.5C.4D.3

2.(2024?湖南邵陽?一模)如圖所示，四邊形ABC。是正方形，Af,N分別BC,。。的中點(diǎn)，若

AB=AAM+x/MA,//eR,則22-〃的值為()

10

D.

~3

10

二、多選題

3.（2022?湖北十堰?模擬預(yù)測(cè)）已知向量薪=（3,4）,1三⑵」一）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)f=l時(shí)，\m+n\=44i

B.當(dāng)/>-2時(shí)，向量而與向量百的夾角為銳角

C.存在/<0,使得機(jī)〃自

D.若而_1_日，貝！|r=-2

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一款家居裝飾物一一博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于

書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博

古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.BQLOJ

__,__,___,3

B.^AY=xDV+yHM,貝?。?+>=-5

C.（AY+OjyBQ+2DV-HM=0

'9'

D.設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則應(yīng)?應(yīng)的取值范圍是--,40

三、填空題

5.（2022?湖南岳陽?三模）設(shè)點(diǎn)尸在以A為圓心，半徑為1的圓弧BC上運(yùn)動(dòng)（包含2，C兩個(gè)端點(diǎn)），0BAC

6.（2020?山西?三模）如圖，在回ABC中，AD=2DC,點(diǎn)尸是線段3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).?=根通+〃正，則

m,“滿足的等式是.

11

A

參考答案：

1.c

【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?=(1,1)出=(2,5),"=(3㈤,

所以8Z—石=(8,8)—(2,5)=(6,3),

又(8a-5)-c=3O,c=(3,x),

所以18+3x=30,解得x=4.

故選：C.

2.D

-.4___?2-?

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算可得=即可求出/1,〃，進(jìn)而求出2力-〃的值.

【詳解】AB=AM+MB=AM+CM=AM+^DA

=加+；(麗+網(wǎng)=血+；(；通-病)，

3.1__..4___?2__>

所以一A3=AM--AN,所以A3=—AM--AN,

4233

4?

所以X=§,〃=_§,

,8210

2/1—u=—i—=—.

333

故選：D.

3.AD

【分析】對(duì)A,將1代入公式計(jì)算即可，對(duì)B,利用求向量夾角公式可知要判斷夾角性質(zhì)只需要驗(yàn)證而工結(jié)

果，

對(duì)C,利用共線向量性質(zhì)可得，對(duì)D,由向量垂直可得.

【詳解】當(dāng)，=1時(shí)，m+n=(5,4),所以|而+〃|="T,故A項(xiàng)正確；

3_-

加?〃=6%+4—4%=2才+4,當(dāng)，>—2時(shí)，m-n>0，但當(dāng)￡=77時(shí)，向量加與向量〃同向，夾角為。°,故B項(xiàng)

錯(cuò)誤;

12

3

若拓〃＞貝h故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

若說_1_五，貝!J石.胃=0,BP3x2f+4(1—f)=0,解得/=—2,故D項(xiàng)正確.

故選：AD.

4.AD

【分析】根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的條件及向量相等的條件,

結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AJ所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

A選項(xiàng):易知3(3,0),0(5,4),0(4,8),J(0,10),所以的=(2,4),值7=(-4,2),

貝U麗?少7=2X(T)+4X2=0,所以麗，57,所以A正確.

B選項(xiàng):易知4(0,0,0),7(7,7),0(12,0),1(10,5),

“(7,0),Af(2,4),所以X?=(7,7),W=(-2,5),W=(-5,-6),

__,__,___,f—2x—5y—774956

所以AY=xZ)V+yHM,得乙，解得％=一y-?所以％+>=一=，所以B錯(cuò)誤.

[5x-6y=/n373737

c選項(xiàng)：由選項(xiàng)A,B知ZT+彷=(3,9),貝”行+))?麗=2x3+9x4=42,

?V-W=-5x(-2)+(-6)x5=-20,^AY+Oj\BQ+2DV-HM=2,所以c錯(cuò)誤.

D選項(xiàng):易知K(0,8),U(8,5),設(shè)Z(0j)(0W8),則應(yīng)=(-8,-5),冠=(0j-8),

所以應(yīng)?立=。一5)。一8)=〃一⑶+40=1-葭)一，因?yàn)?<Y8,所以當(dāng)公當(dāng)時(shí)，匠.我取得最小值

9「9一

一；當(dāng)/=0時(shí)，應(yīng).應(yīng)取得最大值40.所以應(yīng)?貶的取值范圍是--,40,所以D正確.

4L4」

故選：AD.

5.[1,2]

13

【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行

求解即可.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

爭(zhēng)),

所以麗=(1,0),正=(一：,乎)，因此有x通+、！??=(丈一gy,

因?yàn)锳P=(cos6,sin。)，AP=xAB+yAC,

41

cos0^x--y

所以有=>cos6+Gsin6=x+y,

.A6

sin0=——y

2

于是有x+y=cos+^3sin=2sin(0+—),

6

因?yàn)橥?芻，所以。+2屋，當(dāng)，所以sin(d+芻品,1],

3o6662

gp(x+j)e[l,2],

故答案為：口,2]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是題的關(guān)鍵.

6.2m+3n=2

____.1____.____,_____3____?

【分析】由AD=2DC可得AC=5而，結(jié)合條件知Q=〃?通+5〃礪，又8、P、。三點(diǎn)共線即可得機(jī)，n

的等量關(guān)系

一，，一UUIUUUUL,-------?3--------

【詳解】ElAr)=2r>C，有AC=]A。

又福=加濕+〃/，即萬=相通訪

鼬、P、。三點(diǎn)共線

3

團(tuán)m+—〃=1,即2m+3n=2

2

故答案為：2m+3"=2

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的幾何應(yīng)用，結(jié)合定比分點(diǎn)-三點(diǎn)共線求參數(shù)的等量關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題

14

反思提升：

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主票是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段

兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

（2）解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程（組）來進(jìn)行求解.

【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示

一、單選題

1.（23-24高二上?四川綿陽?期末）直線2元-3y+l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,-2）D.（2,-3）

2.（2024?河北秦皇島?二模）己知向量Z=（/”,2"2+3）,B=（l,4加+1）,則=是"￡與B共線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

二、多選題

3.（2024?山東聊城?二模）已知向量2=（-1,2）石=（1"）,若B在3上的投影向量為Z，則（）

A.A=3B.a//b

c.alp-a）D.Z與B的夾角為45。

4.（2024?甘肅張掖?一模）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A&C,若加=x函+y礪+z靈，其中x,y,zeR且x+y+z=l,

則尸,A3,C四點(diǎn)共面

B.已知方=（1,-1）,5=3,1）,3與5的夾角為鈍角，則d的取值范圍是4<1

c.若心5共線，則同第=歸+目

D.若5共線，則一定存在實(shí)數(shù)4使得日=瓶

三、填空題

5.（22-23高三上?廣西貴港?階段練習(xí)）已知向量與=（3,2機(jī)-4）,正=（2,4）,若A,B,C三點(diǎn)共線，則

m=.

6.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測(cè)）的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,設(shè)向量萬=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c）,若向量萬與向量￡共線，則角A=.

參考答案：

1.A

15

【分析】求出給定直線的斜率即可得該直線的一個(gè)方向向量Z,再求與Z共線的向量即可.

【詳解】直線2x-3y+l=o的斜率為G=|,貝IJ直線2x-3y+l=0的一個(gè)方向向量。=”,g

對(duì)于A,因3x|-1x2=0,即向量（3,2）與［1,|］共線，A是；

對(duì)于B,因2x|-1x3/0,即向量（2,3）與不共線，B不是；

對(duì)于C,H3x|-lx（-2）^0,即向量（3,—2）與“,gj不共線，C不是；

對(duì)于D,因2x|-1x（-3）片0,即向量（2,-3）與［1,1］不共線，D不是.

故選：A.

2.A

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算求出加的值，判斷得解.

【詳解】向量〃=（m,2機(jī)+3）,B=加+1）,

若Z與B共線，則加（4加+1）-（2根+3）=0.解得根=一］或根=1,

3

所以，，冽=—［〃是，q與石共線〃的充分不必要條件，

4

故選：A.

3.ACD

【分析】根據(jù)投影向量的公式求出力的值，再根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.

（1?h?！?/p>

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榧釉赯上的投影向量為Z,即3，?二=。,

l?l\a\

所以十,-1+22

二1

即(舟，解得4=3,故A正確;

對(duì)于B,Z=(-l,2)3=(1,3),所以(-1)x3-2xlw0,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于CZ.僅一￡)二(一1,2).(2,1)=-2+2=0,所以￡J_倒一￡),故C正確;

cos<Z,B>=￡^=所以Z與B的夾角為45。，故D正確.

對(duì)于D,

\a\\b\75x7102

故選:ACD.

4.BCD

【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平面向量共線的坐標(biāo)表示判斷B,利用特

殊值判斷C、D.

16

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閤+y+z=l,貝i|z=l-x-y,

所以麗=龍次+,歷+(l_x—y)玄，^OP-OC=xOA-xOC+yOB-yOC,

所以屈=xE+y而，所以尸,AB,C四點(diǎn)共面，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)樯?(1,T),b=(d,l),。與B的夾角為鈍角，

所以無5<0且商與B不共線反向，

若落5<0,則d-lxl<0,解得d<l；

若G與方共線，則lxl=-lxd,解得］=一1,

綜上可得d<-l或故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若入坂同向且，/,此時(shí)曰+q=同+忖，

即問-不成立，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若￡=6，］/，顯然日與B共線，但是不存在4使得B=2商，故D錯(cuò)誤.

故選：BCD

5.5

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示求解.

【詳解】由A,B,C三點(diǎn)共線知荏///，則3x4=(2〃-4)x2,解得根=5.

故答案為：5.

2兀

6.—

3

【分析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，na2-c2=b2+bc,利用余弦定理求出cosA,可得角A.

【詳解】因?yàn)橄蛄咳f=(。+。力)，Z=S+c,a—c)共線，所以(a+c)(a—c)=b僅+c),

BPa2-c2=b2+be^rb1+C1—a1=—be，

在"IBC中，由余弦定理得，cos'J十:一J』

2bc2

2兀

X0<A<7T,所以A=q.

2兀

故答案為：y.

反思提升：

1.兩平面向量共線的充票條件有兩種形式：(1)若a=(xi,yi),b=(x2,"),則a〃Z>的充要條件

是xiy2-X2y\=0;

(2)若a〃/方W0),貝尻

17

2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),

也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.

.分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形A3C。中，且滿足荏=2虎，E為AC中點(diǎn)，尸為線段A3上

靠近點(diǎn)2的三等分點(diǎn)，設(shè)初=a,而=6，則訪=（）.

21r315111-

A.—a——bB.—a——brC.—a——brD.-a——b

324612226

2.（2023?廣東?模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜

蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用

率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則荏=（）

3—.5—.5—-3—.

A.——CE+-DEB.——CE+-DE

2662

2―■5-.5-.2--

C.——CE+-DED.——CE+-DE

3663

3.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量4=（2,-1）,B=（出,m），且（苕+方），（萬-5）,則m的值為（）

A.±1B.+^/2C.+2D.+2,y/3

4.(2024?浙江溫州?三模)平面向量￡=(祖,2)3=(-2,4),若￡〃(￡-3),貝股"=()

A.-1B.1C.-2D.2

二、多選題

5.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，D,E,產(chǎn)分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，AD,BE,CF交于

點(diǎn)G,貝U()

--1-.1-.

A.EF=-CA--BCB.BE=——AB+-BC

2222

C.AD+BE=FCD.GA+GB+GC=Q

6.（21-22高三上?福建福州?期中）已知平面向量西、OB＞反為三個(gè)單位向量，且K?歷=0，若

18

OC=xOA+yOB（x,yeR）,則x+y的可能取值為（）

A.0B.1C.0D.2

7.（2023?廣東?二模）若平面向量1=5,2）,（1,772-1）,其中〃，加eR,則下列說法正確的是（）

A.若2,+5=(2,6),則洲區(qū)

B.若&=-25,則與3同向的單位向量為q^-今

c.若”=1,且G與5的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

D.若a/6，則Z=2"+4"*的最小值為4

三、填空題

8.（2024?貴州貴陽,模擬預(yù)測(cè)）已知向量2=（-1,2）,方=（八T）,則0-2可〃田可,則實(shí)數(shù)小=.

9.（2024?黑龍江?二模）已知向量4=（1,優(yōu)），石=（",6）,若5=36，則=.

10.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形A3CD中，AD=2AB=2,89_LDC,點(diǎn)M為線段8的中點(diǎn)，

則MAMB=-

四、解答題

11.（23-24高三上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在AABC中，E為AC的中點(diǎn)，。為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

⑴分別用向量福，蒞表示向量衣，BE;

（2）若點(diǎn)N滿足4麗+2通=3/，證明：B,N,E三點(diǎn)共線.

12.（2023,湖南永州?二模）已知AABC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,b,c,且向量歷=（26-a,c）與向量

n=(cosA,cosC)共線.

⑴求C；

（2）若c=6,△ABC的面積為止，求a+6的直

2

參考答案:

1.C

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】如圖所示，

AFB

19

由題意可得/=詬+覺=通+工通=萬+1萬，

22

—.—.—.1—.2—?1，一1'25

而EF=EA+AF=—CA+—AB=——b+—a\+—a=——a—b.

23212J3122

故選：c.

2.B

【分析】利用坐標(biāo)法，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)利用坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合平面向量基本

定理即得.

【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AD=2,則8（5,5⑹，D（0,0）,E（9,百），C（0,473）,

故福=（6,4@,CE=（9,-3A/3）,DE=（9,73）,

6=9x+9y

T^AB=xCE+yDE,則

4若=-3氐+島，

5

x=——

6

解得

3

y=—

2

—.5--3—?

所以AB=——CE+-DE.

62

故選：B.

3.B

【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示求解即得.

【詳解】由（且+5），（萬一5）,得（&+B>（"5）=0,則樂=廬，即村|=>|,

因此"2?+（-1）2=?廚+后,所以仙=±0.

故選：B

4.A

20

【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.

【詳解】a-b=(m+2,-2),由于￡〃僅-可，所以一2〃?=2(m+2),解得力=T,

故選：A

5.BCD

【分析】由向量的數(shù)乘運(yùn)算判斷A；由平行四邊形法則判斷B；根據(jù)向量的加減法以及數(shù)乘運(yùn)算判斷C；由

重心的性質(zhì)結(jié)合數(shù)乘以及平行四邊形法則判斷D.

—,1-,1―,

【詳解】因?yàn)镋,F分別是邊BC,CA,A3的中點(diǎn)，所以取=彳C3=-；2C,故A錯(cuò)誤；

22

—.1—,1—,1—.1—.

由平行四邊形法則可知，BE=-BC+-BA^--AB+-BC,故B正確；

2222

FC=^C-