2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線的方程（原卷版）

專題43直線的方程（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點11直線的傾斜角與斜率................................................4

【考點2】求直線的方程......................................................5

【考點3）直線方程的綜合應(yīng)用.................................................6

【分層檢測】................................................................7

【基礎(chǔ)篇】..................................................................7

【能力篇】..................................................................9

【培優(yōu)篇】..................................................................9

考試要求：

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截

式與一次函數(shù)的關(guān)系.

■,知識梳理

1.直線的傾斜角

⑴定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，我們以X軸為基準(zhǔn)，X軸正向與直線/向上的方向之間所成

的角a叫做直線/的傾斜角；

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為￡；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是同0。?&<180。｝.

2.直線的斜率

(1)定義：我們把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母女表

zj、,即k一二tana.

⑵計算公式

①經(jīng)過兩點Pi(xi,yi),尸2(x2,y2)(xiWx2)的直線的斜率左=或二

X2.X]

②設(shè)P1(X1,>1),尸2。2,*)(其中X1—X2)是直線/上的兩點,則向量P1P2=(尤2—九1,第一>1)以及

與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線I的斜率為k,它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y),

則女=±

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率

與x軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y—yo==(%—xo)

y-yix-xi與兩坐標(biāo)軸均不垂直

兩點式過兩點

yi12~-XI的直線

不過原點且與兩坐標(biāo)

截距式縱、橫截距~+j=l

a-b--軸均不垂直的直線

Ax+By+C=Q

一般式所有直線

(A2+B2#0)

|常用結(jié)論

1.直線的傾斜角a和斜率左之間的對應(yīng)關(guān)系:

2

c兀71兀

a00<a<22<?<7l

2

k0k>0不存在k<0

2.截距和距離的不同之處

“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個非負(fù)

數(shù).

,真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）已知直線辦+a+2b=。與圓GM+y2+4y—1=。交于A1兩點，則依用的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024?北京?高考真題）已知M={(%,y)ly=%+，(/-X：）,l<x<2,0<r<l）是平面直角坐標(biāo)系中的點集.設(shè)

d是“中兩點間距離的最大值，S是〃表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=Vio,S<1D.J=710,S>1

3.（2024?北京?高考真題）圓尤2+V-2x+6y=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為（）

A.我B.2C.3D.3A/2

4.（2024?全國?高考真題）已知6是。，。的等差中項，直線依+勿+。=0與圓/+?2+4丫-1=0交于48兩點,

貝力28|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

5.（2023?全國?高考真題）過點（。,-2）與圓/+>2-?_1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝”ina=（）

姮MD.逅

A.1B.r

44

二、填空題

6.（2024?天津?高考真題）圓（x-iy+y?=25的圓心與拋物線丁=2內(nèi)（0>0）的焦點/重合，A為兩曲線的

交點，則原點到直線AF的距離為

■考點突破

【考點1】直線的傾斜角與斜率

一、單選題

1.（2022?貴州畢節(jié)?三模）曲線y=l+萬下與直線（2無+1卜-（左+l）y+l=0有兩個交點，則實數(shù)上的取值范圍

3

為（）

A.（。,+8）B.

2.（2024高二上?全國?專題練習(xí)）已知直線"-丁+2=0和以M（3,-2）,N（2,5）為端點的線段相交，則實數(shù)

%的取值范圍為（）

（41「3）

I3」L2）

431（41P3）

[32」I3jL2）

二、多選題

3.（2024?山東?二模）已知直線+m+2=0,圓C:（工一+（y-2了=5,則下列說法正確的是（）

A.直線/恒過定點（-2,1）B.直線/與圓C相交

C.當(dāng)直線/平分圓C時，機=-3D.當(dāng)點C到直線/距離最大值時，，"=；

4.（2024?江西模擬預(yù)測）已知集合4={（尤,丫）,+沖+2。=0},B=\^x,y'）\ax+ay-l=6\,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.V6zeR,Aw0B.當(dāng)〃=一1時,

C.當(dāng)A5=0時，a=lD.BdteR,使得A=5

三、填空題

5.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）設(shè)屋R,直線:丘+y-左=0,直線4：%-6+2"3=0,記//分別過定點A5,

且乙與4的交點為C,則|AC|+\BC\的最大值為.

6.（2022高二?全國?專題練習(xí)）己知兩點“（0,-5）、N（4,3）,給出下列曲線方程：①x+2y+l=0；②

22

（x+l）2+（y+l）2=2；③亍+丁=1；④十/=1.則曲線上存在點p滿足“閆列的方程的序號是

反思提升：

（1）斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.

（2）傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察（數(shù)形結(jié)合）；②充分利用函數(shù)左=tana的單調(diào)性.

【考點2】求直線的方程

一、單選題

1.（2023?江蘇淮安?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線/通過原點，；7=（3,4）是/的一個法向量，則

直線/傾斜角的余弦值為（）

4433

A.—B.一C.一D.--

5555

4

2.（2024?全國模擬預(yù)測）已知曲線〃力=加在點處的切線為/,貝心在'軸上的截距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、多選題

3.（2023?浙江寧波?一模）已知直線/：〃?x-y+,〃+1=0（，〃>0）與圓。：/=4相交于兩點，與

兩坐標(biāo)軸分別交于C,。兩點，記VAO3的面積為H，△COD的面積為Sz,則（）

A.^<2B.存在機，使星=3C.|AB|>^D.存在機，使卜|CE>|

4.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知圓C：（X-2）2+/=4,直線/：（〃?+1）龍+2y—3=0（;”wR）,

貝U（）

A.直線/恒過定點（L1）

B.存在實數(shù)處使得直線/與圓C沒有公共點

C.當(dāng)根=-3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓/+y2-2x+8y+l=0恰有兩條公切線

三、填空題

5.（2024?天津河?xùn)|?一模）已知過點尸（4,-3）的直線（不過原點）與圓C:f+（y+5）2=a相切，且在無軸、V

軸上的截距相等，貝M的值為.

6.（2023?江西南昌?一模）函數(shù)〃尤）=丁—依在尤=1處的切線平行于直線為一y—l=0,則切線在y軸上的

截距為.

反思提升：

⑴求直線方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求

出待定系數(shù)，即得所求直線方程.

（2）在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點斜式、

截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.

【考點3】直線方程的綜合應(yīng)用

一、單選題

L（2022?安徽黃山?二模）已知拋物線。：'2=2.（夕>0）的焦點為尸，過點R（2,l）的直線/與拋物線C交于

A、B兩點,R為線段A3的中點，若|冏+|印=5,則直線/的斜率為（）

5

1

A.-B.1C.2D.4

2

/、ccy+1

2.（2024?陜西商洛?三模）已知P（%,%）是圓（7:丁+/一2X一2丫+1=0上任意一點，貝|2n^的最大值為（

X。-J

1-4-77

A.-2B.——C.'5

23

二、多選題

3.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知圓C：（無一2）2+/=4,直線/：+l）x+2y—3-機=0（mwR）,

貝U（）

A.直線/恒過定點（1,1）

B.存在實數(shù)如使得直線/與圓C沒有公共點

C.當(dāng)帆=-3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓Y+y2-2x+8y+l=0恰有兩條公切線

4.（2021?江蘇常州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)了OOnA^TI+lx-ll，則下列結(jié)論正確的是（）

A.在區(qū)間（一*0）上單調(diào)遞減，（1,”）上單調(diào)遞增

B./（元）的最小值為近，沒有最大值

C.存在實數(shù)/，使得函數(shù)/Q）的圖象關(guān)于直線x=/對稱

D.方程f（x）=2的實根個數(shù)為2

三、填空題

5.（2022?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知直線/:履->+1+2左=0,若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)

上的值為;若直線/不經(jīng)過第三象限，則左的取值范圍是.

6.（22-23高二上?江蘇鹽城?期中）已知P、0分別在直線/,：x-y+l=O與直線4：x-y-1=0上，且P?？冢?/p>

點A（T,4）,8（4,0）,貝|AP|+|PQ|+|0B|的最小值為.

反思提升：

1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動

中有定”.若直線的方程為丁=左。-1）+2,則直線過定點（1,2）.

2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度，進而求得多

邊形面積.

3.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本

不等式求解.

?分層檢測

6

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?河南信陽?三模）動點尸在函數(shù)>=111（4-犬）-111》的圖像上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍

是（）

2.（2024?重慶?三模）當(dāng)點P（-LO）到直線/：（34+l）x+（2+l）y—（44+2）=0的距離最大時，實數(shù)2的值為

（）

A.-1B.1C.-2D.2

2

3.（2024?山東青島?二模）拋物線、二工2的焦點到雙曲線r上—匕=i的漸近線的距離為（）

24

△若RA/3nV6

126126

4.（2020高三?全國?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy（。為坐標(biāo)原點）中，不過原點的兩直線

ll-.x-my+2m-1=G,機-2=。的交點為p,過點。分別向直線4,4引垂線，垂足分別為M,N,

則四邊形OMPN面積的最大值為（）

35

A.3B.-C.5D.-

22

二、多選題

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知直線/:履->+2k+1=0與圓O：/+y2=9,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線恒過定點（2,-1）

B.直線/與圓。相交

3

C.若％=?，直線/被圓。截得的弦長為26

D.若直線/與直線無+43），+左2=0垂直，貝心=；

6.（23-24高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知圓C:（x-l），（y-2y=25,直線

/:（2a+1）龍+（〃z+l）y—7m—4=0.則以下幾個結(jié)論正確的有（）

A.直線/與圓C相交

B.圓C被y軸截得的弦長為2"

C.點C到直線/的距離的最大值是石

D.直線/被圓C截得的弦長最短時，直線/的方程為2x-y-5=。

7

7.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍

交河"隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一"將軍飲馬"，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河

邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m,n,其方程分別為2》-y=0,

y=0,將軍的出發(fā)點是點4（3,1）,軍營所在位置為3（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流根飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標(biāo)為（1,2）

B.將軍先去河流”飲馬，再返回軍營的最短路程是否

C.將軍先去河流機飲馬，再去河流w飲馬，最后返回軍營的最短路程是相

D.將軍先去河流"飲馬，再去河流機飲馬，最后返回軍營的最短路程是2a

三、填空題

8.（2024?天津南開?二模）過圓C：x2+y2=〃2上的點貝l,⑹作圓c切線/,貝心的傾斜角為.

9.（2024?北京?三模）已知拋物線。:丁=4》的焦點為人準(zhǔn)線與x軸的交點為4點2在C上.若I尸加=2,

則直線AB的方程為.

10.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）已知A,8分另IJ為曲線y=2e'+x和直線y=3x-3上的點，則的最小值

為.

四、解答題

11.（23-24高二上?山東德州?期中）已知直線6：（m+2）x+沖-6=0和直線4：mx+y-3=0,其中根為實

數(shù).

⑴若4J-4,求相的值；

（2）若點尸在直線4上，直線/過產(chǎn)點，且在％軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線/的

方程.

12.（2024?陜西西安?二模）解答下列問題.

⑴已知直線《：“x-3y+46=0與直線:2x+6y-2。=。相交，交點坐標(biāo)為（1,2）,求a,b的值；

⑵已知直線/過點尸（2,3）,且點M（3,l）到直線/的距離為1,求直線/的方程.

【能力篇】

一、單選題

1.（2022?四川南充?三模）設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A（0,4）,動點P在拋物線無2=4y上，且位于第二象限，M

是線段B4的中點，則直線的斜率的取值范圍為（）

A.（2,+co）B.[2,+oo）

C.（ro,—2）D.（—co,—2]

8

二、多選題

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測）設(shè)拋物線C：Y=4y的焦點為產(chǎn)，P是C上的一個動點，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.點尸到P的距離比至I]x軸的距離大2

B.點P到直線y=x-3的最小距離為加

C.以尸歹為直徑的圓與X軸相切

D.記點P在C的準(zhǔn)線上的射影為則不可能是正三角形

三、填空題

3.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知圓C:/+y2=1,直線/%+y+2=0,尸為直線/上的動點，過點尸作

圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則直線AB過定