2025年高考數(shù)學專項突破：幾何體的內接球與外接球阿氏球等17類題型（新高考專用）

專題8-1幾何體的外接球與內接球，阿氏球等17類題型

模塊一、熱點題型解讀（目錄）

【題型1］球的截面問題

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側棱垂直底面）

【題型6】球心在高上（圓錐形）

【題型7】圓臺，棱臺外接球模型

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）

【題型9】兩個外心+中垂線確定球心

【題型10】外接球之共斜邊拼接模型

【題型11］外接球之二面角模型

【題型12］內切球之棱錐，圓錐模型

【題型13］內切球之圓臺，棱臺模型

【題型14］多球相切問題

【題型15］棱切球問題

【題型16］構造球解決空間中動點構成的直角問題

【題型17］阿氏球問題

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1］球的截面問題

基礎知識

球體的相關計算關鍵是找出球心到相關平面的距離，再結合勾股定理計算求值

形成方式半圓繞其直徑所在直線旋轉一周，如圖記作：球o

大圓：經過球心的截面圓

-----

球相關概念小圓：不經過球心的截面圓半徑大圓

小圓

結構性質兩點間的球面距離：經過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長

球的小圓的圓心與球心連線垂直小圓面

【例1】（2020.全國2卷TU）已知及43。是面積為氈的等邊三角形，且其頂點都在球

4

O的球面上.若球O的表面積為16心則O到平面ABC的距離為（）

A.6B.1C.1D.等

【例2】（24-25高二上?貴州遵義?階段練習）已知A,B,C,。四點都在球。的球面上，且A,3,

C三點所在平面經過球心，AB=SZACB=^,則點。到平面ABC的距離的最大值為,

球。的表面積為.

【例3】（23-24高三下.廣東江門.階段練習）已知正四面體A-3CD的內切球的表面積為36兀，過該

四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體A-BCD,則所得截面的面積為.

【鞏固練習1］已知VABC是面積為當8的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上，若球。的表

4

面積為28兀，則點。到平面ABC的距離為.

【鞏固練習2】已知過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且

AB=BC=l,AC=e，則球的表面積是.

【鞏固練習3】（2024.遼寧丹東?一模）已知球。的直徑為AB,C,￡＞為球面上的兩點，點M在AB

上，且AM=3Ae,AB,平面MCD,若是邊長為后的等邊三角形，則球心。到平面3CD的

距離為.

【題型2】可以補成長方體的外接球模型

基礎知識1

一、長方體外接球：長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

二、補成長方體

(1)若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如下圖所示.

圖1-3圖1-4

(2)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

圖2-1

注：《九章算術》中的三棱錐均可補為長方體

【例1】我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐

稱為“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，由，平面ABCD,B4=5,AB=3,BC=4,則該

“陽馬”外接球的表面積為（

.125缶500萬

A.----------B.50%C.100萬

33

【例2】在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，鱉腌是指四個面都是直角三角形的四面體.如圖，

在直角VABC中，AD為斜邊BC上的高，AB=3,AC=4,現(xiàn)將△ABD沿AD翻折成VAB'D,使得

四面體AB，8為一個鱉膈，則該鱉腌外接球的表面積為

【例3】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E,尸分別是AB,8C的中點，將ABEF,

△DCF分別沿DE,EF,O尸折起，使得4瓦。三點重合于點A,若三棱錐A-EFD的所有頂點均

在球。的球面上，則球。的體積為（）

【例4】在四面體ABCD中，若AB=CD=6,AC=BD=2,AD=BC=5則四面體ABCD的

外接球的表面積為（）

A.2萬B.4〃C.6〃D.8萬

【鞏固練習1】（24-25高三上?江蘇泰州?期中）在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，鱉席是指四個

面都是直角三角形的四面體.在直角VABC中，AD為斜邊2C上的高，AB=l,AC=G，現(xiàn)將△ABD

沿AD翻折成VAB'D,使得四面體AB'CD為一個鱉麝，則該鱉席外接球的表面積為（）

A5兀cL-C13兀

A.—B.57rC.3兀D.

24

【鞏固練習2］將邊長為2石的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正

方形紙片，若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

【鞏固練習3X2024.廣東揭陽?高二校聯(lián)考期中）在三棱錐S-ABC中，SA=BC=5,SB=AC=44i，

sc=AB=5,則該三棱錐的外接球表面積是（）

A.50TIB.10071C.15071D.20071

【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型

■aifiiliM_________________________________________________

漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三

角形）

J—J

圖1圖2圖3

第一步：確定球心。的位置，。|是AABC的外心，則OQ_L平面ABC;

第二步：算出小圓0]的半徑AQ=r,0^=1^=1/z（招=//也是圓柱的高）；

22222222

第三步：勾股定理：OA=OtA+O,OR^（-）+r^R=r+（-）,解出R

【例1】已知正三棱柱ABC-44G所有棱長都為6,則此三棱柱外接球的表面積為（）

A.48兀B.60兀C.64兀D.84兀

【例2】設直三棱柱ABC-A4G的所有頂點都在一個表面積是40%的球面上，且

AB=AC=AAl,^BAC=nO\則此直三棱柱的表面積是（）

A.16+86B.8+1273C.8+166D.16+12^

【鞏固練習1]（24-25高三上?安徽亳州?開學考試）已知圓柱的底面直徑為2,它的兩個底面的圓周

都在同一個體積為日眉的球面上，該圓柱的側面積為（）

A.8兀B.6兀C.57iD.47r

【鞏固練習2】在三棱錐尸-ABC中，PAJL面ABC,AABC為等邊三角形，且PA=A3=G,

則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為.

【鞏固練習3】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球O,球。的表面積為阮，則該

圓柱的體積為（）

A.TlB.y[27TC.2兀D.2-J^TT

【題型4】正四面體的內切球和外接球結論

基礎知識

在棱長為a的正四面體中

A

設正四面體ABCD的的棱長為“，則有

1、正四面體的高為用=逅〃

3

2、正四面體外接球半徑為尺=、2〃

4

3、正四面體內切球半徑為廠=—a

12

4、正四面體體積V=—

12

【例1】（2024?湖北宜昌?宜昌市夷陵中學?？寄M預測）已知正四面體ABCD的表面積為2石，且A,

B,C,。四點都在球。的球面上，則球。的體積為

[例2]（24-25高三上?廣東?開學考試）外接球半徑為"的正四面體的體積為（）

16A/2

B.24C.32D.48人

3

【例3】正四面體的外接球與內切球的半徑比為（）

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【鞏固練習1】已知正三棱錐A-3CD,各棱長均為6,則其外接球的體積為（）

9^/381V29A/29石

A.-------71B.--------兀C.D.-------71

8816

【鞏固練習2】正四面體P-A3C中，其側面積與底面積之差為2百，則該正四面體外接球的體積

為一

【鞏固練習3】一個正四面體的棱長為2,則它的外接球與內切球體積之比為（）

A.3:1B.73:1C.9:1D.27:1

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側棱垂直底面）

基礎知識1

題設：如圖，平面ABC,求外接球半徑.（一條側棱垂直底面）

解題步驟：

第一步：將AA5c畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑A。，連接PD,

則P。必過球心0；

第二步：。|為AA5c的外心，所以平面ABC,算出小圓。1的半徑。Q=廠（三角

形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得‘一=上=~^=2廠），OO^-PA；

sinAsinBsine2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2尺尸=出2+（2「『O

2T?=7PA2+（2r）2;

②氏2=尸+。。；=9=J產+（JO；.

___JT

【例1】已知三棱錐尸-ABC的底面ABC為直角三角形，且=].若平面ABC,且AB=3,

V

PA=4,三棱錐P-ABC的所有頂點均在球。的球面上，記球。的體積和表面積分別為V,S,則《=

【鞏固練習1】已知S,A,8,C是球。表面上的不同點，SAL平面ABC,AB工BC,AB=1,BC=6,

若球。的表面積為4兀，則&4=（）

A.也B.1C.0D.V3

2

【鞏固練習2]2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）T16

已知點S,A,良C均在半徑為2的球面上，AABC是邊長為3的等邊三角形，SAL平面A3C,則

SA=.

【鞏固練習3】已知三棱錐S-ABC所在頂點都在球。的球面上，且SCL平面ABC,若

SC=AB=AC=2,ABAC=120°,則球。的體積為（）

.20A□32兀20兀n32^571

A.---------B.-----\-j*--------------------

333

【題型6】球心在高上（圓錐形）

基礎知識

如圖5-1至5-8這七個圖形，P的射影是AABC的外心O三棱錐P-ABC的

三條側棱相等O三棱錐P-ABC的底面AA5c在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂

點.

pp

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取的外心。1，則尸,0,0三點共線；

第二步：先算出小圓。］的半徑AQ=〃，再算出棱錐的高尸O］=/z（也是圓錐的高）;

第三步：勾股定理：OA2=O,A2+O,O2R2^（h-R）2+r2,解出R=

2h

方法二：小圓直徑參與構造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.

【注意】：若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高，則有2個解

【例1】（2024.浙江臺州?高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的外接

球的體積為.

【例2】已知三棱錐尸-ABC的各側棱長均為2vL且A3=3,BC=g,AC=20,則三棱錐尸-ABC

的外接球的表面積為.

【鞏固練習1］已知球。的體積為36兀，圓錐SO1的頂點S及底面圓。上所有點都在球面上，且底面

圓。半徑為20，則該圓錐側面的面積為（）

A.60兀B.4A/6TT或60n

C.8后或4折D.8扃

【鞏固練習2】在三棱錐尸一ABC中，PA=PB=PC=3,AB=AC=2,BC=20,則三棱錐

P-ABC的外接球的半徑為.

【鞏固練習3】已知三棱錐S-ABC中，頂點S在底面的射影恰好是“1BC內切圓的圓心，底面AABC

的最短邊長為6.若三個側面面積分別為3月，4729,5區(qū),則頂點S到底面ABC的距離

為;三棱錐S-ABC的外接球的表面積為.

【題型7】圓臺，棱臺外接球模型

基礎知識

圓臺，棱臺外界球

基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主

尺2=22+（^——,其中分別為圓臺的上底面、下底面、高.

注：若球心位置不確定，也可以直接設0Q=%，若解出來尤為負數(shù)則說明球心在02另一側

【例1】（2024.云南.高三校聯(lián)考開學考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線長為5vL

若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球0的球面上，則球。的體積為（）

250500100-125

A.-----71B.-------71C.----71D.----71

3333

[例2]2022年新高考II卷T7——臺體外接球

已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和4石，其頂點都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A.100兀B.128TIC.144兀D.192兀

【例3】在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”.已知棱臺48C。-AB'C'D'是一個側

棱相等、高為1的“芻童”，其中AB=2AE=2,BC=2B'C=26,則該“芻童”外接球的表面積為

（）

A.2071B.yirC.兀D.5扃

【鞏固練習1]（2024.遼寧?高三校聯(lián)考期末）正四棱臺高為2,上下底邊長分別為2和4,所有頂點

在同一球面上，則球的表面積為（）

A.32兀B.33兀C.34TID.35兀

【鞏固練習2】已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3,4,母線長為5vL若該圓臺的上

下底面圓的圓周均在球。的球面上，則球。的體積為（）

250500100125

A.---兀B.------71C.------71D.

3333

【鞏固練習3】我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如

圖的芻童ABCD-￡FG〃有外接球，^AB=473,AD=4,EH=4^,EF=4^,點E到平面

ABC。距離為4,則該芻童外接球的表面積為.

【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）

基礎知識

如圖4-1,平面PACL平面ABC,JLAfi±BC（即AC為小圓的直徑），且P的射影是

AABC的外心O三棱錐P-ABC的三條側棱相等O三棱P-ABC的底面AABC在圓錐

的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AA5C的外心。，則P,。,。]三點共線；

第二步：先算出小圓。的半徑A。=r,再算出棱錐的高PO]=/z（也是圓錐的高）；

第三步：勾股定理：OA2=OjA2+OjO2^R-（A-Rf+r~,解出R;

事實上，AACP的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出R.

2.如圖4-2,平面PACL平面ABC,JLABXBC（即AC為小圓的直徑），且

利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：@(27?)2=PA2+(2r)2O2R=^P^+(2r)2;

@R2=r2+00,oR=J產+oo；

3.如圖4-3,平面尸AC,平面ABC,JLAB±BC（即AC為小圓的直徑）

0C2=0(2+002=R2=r2+。。2=AC=2'R2-002

4.題設：如圖4-4,平面PAC,平面ABC,JLAB±BC（即AC為小圓的直徑）

第一步：易知球心。必是APAC的外心，即AR4c的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑

AC^2r；

abC

第二步：在AR4c中，可根據(jù)正弦定理二一=--=--=2R,求出R.

sinAsinBsinC

【例1】（2024?廣東?惠州一中校聯(lián)考）已知三棱錐P-ABC,AABC是以AC為斜邊的直角三角形,

△B4C為邊長是2的等邊三角形，且平面ABC,平面PAC,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

（）

人16「21=21「

A.—7iB.—7iC.—兀D.87t

332

【鞏固練習1】（2024?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，

側面積為8萬，該圓錐內接于球。，則球。的表面積為.

【鞏固練習2]（2024?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預測）三棱錐P-ABC中，PA=P8=PC=2后,

7T

AB=2AC=6,ZBAC=-,則該三棱錐外接球的表面積為.

【鞏固練習3】在三棱錐尸-ABC中，平面ASC人平面PA3,AC，8C,點。是AB的中點,

PD±PB,PB=PD=2,則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為.

【題型9】兩個外心+中垂線確定球心

基礎知識1

垂面模型

如圖1所示為四面體P-ABC,已知平面A43_L平面ABC,其外接球問題的步驟如下:

⑴找出APAB和AABC的外接圓圓心，分別記為。1和02.

(2)分別過。1和。2作平面R43和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為0.

(3)過。i作鉆的垂線，垂足記為D,連接。2。，則

(4)在四棱錐A-。。］。。？中，垂直于平面O。。。?，如圖2所示，底面四邊形DOOR的四個

頂點共圓且0D為該圓的直徑.

【例1】如圖,三棱錐A-BCD中，平面ACD±平面BCD,AACD是邊長為2的等邊三角形，BD=CD,

/fiDC=120。.若A,B,C,。四點在某個球面上，則該球體的表面積為.

【例2】（2024.四川樂山.高二期末）已知正“1BC邊長為1,將AABC繞BC旋轉至ADBC,使得平

面ABC」平面BCD,則三棱錐。-ABC的外接球表面積為.

【例3】（2024?全國?高三校聯(lián)考開學考試）在三棱錐尸-ABC中，平面平面ABC,底面AABC

是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為15兀，則該三棱錐體積的最大值為.

7T

【鞏固練習1】在四棱錐P-ABCD中，平面平面A3CD,且ABCO為矩形，必=5,AD=26,

AB=2,PA=PD,則四棱錐P-ABCD的外接球的體積為（）

P

333............

【鞏固練習2】在三棱錐P-ABC中，平面上鉆，平面ABC,PA±PB,SLPA=PB=3^,^ABC

是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為.

【鞏固練習3］已知正方體ABC。-$與GR的棱長為1,尸為棱40的中點，則四棱錐尸一A8CD的

外接球表面積為（）

A.叵B.3萬C.業(yè)D.坦

21664

【鞏固練習4】（2024?湖北十堰?高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形ABCQ中，

44。3=443。=5，即=5。=4,沿對角線比）將4至。折起,使平面4汨，平面比心，連接4。,

得到三棱錐A-5CD,則三棱錐A-5CD外接球表面積的最小值為.

D

C

【題型10］外接球之共斜邊拼接模型

基礎知識

兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型

題設：如圖，ZAPB=ZACB=9Q°,求三棱錐P-ABC外接球半徑（分析：取公共的斜

邊的中點。，連接OR。。，則。4=OB=OC=OP=gA3,，。為三棱錐P—A3C外接

球球心，然后在OCP中求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成

的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值.

【例1】在矩形ABCD中，AB=4,3C=3,沿AC將矩形A38折成一個直二面角3—AC―。，

則四面體A3CD的外接球的體積為（）

.125125「125八125

A.-----nBD.-----7iC.-----7iD.-----n

12963

【鞏固練習1】（河北唐山?三模）把邊長為72的正方形ABCO沿對角線AC折成直二面角D-AC-B,

則三棱錐ABC的外接球的球心到平面BCO的距離為（）

A.立B.走C.逅D.1

3232

【鞏固練習2］已知三棱錐S-A3C的所有頂點都在球。的球面上，SC是球。的直徑.若平面SC4L

Q

平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為§,則球。的體積為（）

-20萬3271

A.4〃B.-----C.67rD.------

33

【鞏固練習3】在平行四邊形中，ABYBD,2AB2+5=i,將此平行四邊形沿對角

線血折疊，使平面麗，平面CBD,則三棱錐A-3CD外接球的體積是

【題型11】外接球之二面角模型

基礎知識

題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）

第一步：先畫出如圖6所示的圖形，湍1AseD畫在小圓上，找出ABCD和AA'BD的外心

區(qū)和“2；

第二步：過區(qū)和嗎分別作平面38和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心。,

連接。及。。；

第三步：解AOEH］,算出OH】，在&AOCH］中，勾股定理：OH^+CH1=OC2

注：易知?！?，石,82四點共面且四點共圓，證略.

【例1】在四面體PA3C中，PA，網，AABC是邊長為2的等邊三角形，若二面角尸-AB-C

的大小為120。，則四面體R4BC的外接球的表面積為（）

設13K八26兀_52兀-104K

A.—B.—C.—D.——

9999

【例2】（2024?四川南充?二模）已知菱形ABC。中，對角線BD=2,將△ABD沿著8。折疊，使得二

面角A-3。-C為120。，AC=3,則三棱錐A-3co的外接球的表面積為.

［例3］長沙市雅禮中學2024屆高三月考（二）T16

已知菱形ABCD中，對角線2。=2百，將△ABD沿著8。折疊，使得二面角A-C為120°,

AC=3萬，則三棱錐A-3CD的外接球的表面積為.

【鞏固練習1】在四面體ABCD中，AABC與△BCD都是邊長為6的等邊三角形，且二面角A-

的大小為60°,則四面體ABC。外接球的表面積是（）

A.52兀B.54兀C.56兀D.60兀

【鞏固練習2】（2024?廣東?校聯(lián)考模擬預測）已知四棱錐S—A5a）,SAJ_平面

ABCD,AD1DC,SA=3指,BC=4,二面角S-8C-A的大小為g.若點S,A,B,C,D均在球。的表面

上，則該球。的表面積為（）

【鞏固練習3】（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習）如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=5

CAYAB,AB=AC=2,二面角尸-AS-C的大小為120。，則三棱錐尸-ABC的外接球表面積

B

【鞏固練習4】（2024?湖南岳陽?統(tǒng)考三模）己知三棱錐。-ABC的所有頂點都在球。的球面上，

AD±BD,AC±BC,^DAB=ZCBA=300,二面角。一AB—C的大小為60。，若球。的表面積等于

36兀，則三棱錐。-ABC的體積等于（）

B27g

A.73

-8

D,也

C.不

3

【題型12］內切球之棱錐，圓錐模型

基礎知識

錐體的內切球問題

1.題設：如圖，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其內切球的半徑.

第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；

第二步：求DH=工8,PO=PH-r,P￡）是側面AA8P的高；

3

0EPO

第三步：由APOE相似于建立等式：——=—,解出r

DHPD

2.題設：如圖8-2,四棱錐P-A3C是正四棱錐，求其內切球的半徑

第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，P,O,H三點共線；

第二步：求=PO=PH-r,PF是側面APCD的高;

2

第三步：由APOG相似于APW,建立等式：一=—,解出

HFPF

3.題設：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內切球半徑（最優(yōu)法）

方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等

第一■步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；

第二步：設內切球的半徑為廣，建立等式：Vp-ABC=%-ABC+%-PAB++%-PBC=

r

^P-ABC=gS1sABC.'+§SpAB.'+gS/>AC.'+'JPBC''=§^AABC+^&PAB+PAC+^APBc)'

第三步:解出，一+s一有一

0O-ABC丁^O-PAB丁0O-PAC丁0O-PBC

【例1】（2024?天津?統(tǒng)考二模）已知一個圓錐的高為4,底面直徑為6,其內有一球與該圓錐的側面

和底面都相切，則此球的體積為（）

C.如

A.12萬B.97rD.3萬

【例2】圓錐S。（其中S為頂點，D為底面圓心）的側面積與底面積的比是2:1,則圓錐

S。與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為

A.9:32B.8:27C.9:22D.9:28

【鞏固練習1】已知圓錐的底面半徑為2,高為4形，則該圓錐的內切球表面積為（

A.4萬B.40兀C.8后萬D.8%

【鞏固練習2】（2020.全國.統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該

圓錐內半徑最大的球的體積為.

【鞏固練習3］已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為4,圓心角為|■的扇形，將該圓錐加工打磨成一

個球狀零件，則該零件表面積的最大值為（）

【題型13］內切球之圓臺，棱臺模型

基礎知識

首先需要明確，并不是所有的圓臺都有內切球，如果一個圓臺又矮又胖，最多只能找到一個與上下

底面相切的球，無法做到與所有母線相切，圓臺內切球指的是與圓臺上下底面和每條母線均相切的

球。如下圖所示：

此時圓臺的上下底面圓的半徑與圓臺的高必須滿足一定關系，下面進行詳細分析，為了分析方便,

采用平面輔助法，上圖的軸截面如下：

假設上底面圓半徑為2下底面圓半徑為九，內切球半徑為R,圓臺的高為瓦母線長為上圖軸

截面是等腰梯形的內切圓，點E,F,G為切點，可得如下全等關系：

OG=OEOG=OF

<二>RtAOAG=Rt^OAE;\=4>Rt^ODG=RtAODE

OA=OAOD=OD

由射影定理可得：AG-DG=0G~R2=

【例1】（2024?廣東深圳?統(tǒng)考一模）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為大。且4=2小若半徑為

2的球與圓臺的上、下底面及側面均相切，則該圓臺的體積為（）

【例2】若圓臺的上、下底面圓半徑分別為1、2,。1、。2分別為圓臺上下底面圓心.若該圓臺

存在內切球，則該圓臺的體積為.

【鞏固練習1]（2024?湖北咸寧?統(tǒng)考期末）已知球。內切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及

側面均相切），且圓臺的上、下底面半徑々：2=2:3,則圓臺的體積與球的體積之比為（）

【鞏固練習2】（汕頭一模）如圖，在正四棱臺ABCD-ABCQ中，AB=4,4月=2,若

半徑為廠的球。與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積$=.

【鞏固練習3]一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為2,下底面半徑為12,

母線與底面所成的角為60。.在圓臺容器內放置一個可以任意轉動的正方體，則此正方體棱長的最大

值是（）

A.4A/3B.8C.5A/3D.10

【題型14]多球相切問題

基礎知識

處理多個球的切接問題時一般①通過連球心構造“球心截面”降維解題②通過連球心構造“球心幾

何體”將抽象問題具體化.

【例1】已知正四面體的棱長為12,先在正四面體內放入一個內切球?！溉缓笤俜湃胍粋€球。2,使

得球Q與球。1及正四面體的三個側面都相切，則球。2的體積為（）

A."兀B.2y/3nC.2也itD.6n

【例2】（2024?浙江溫州?樂清市知臨中學?？级＃┤缃裰袊蛔u為基建狂魔，可謂是逢山開路,

遇水架橋.公路里程、高鐵里程雙雙都是世界第一.建設過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾

構機等國之重器更是世界領先.如圖是某重器上一零件結構模型，中間最大球為正四面體ABCD的內

切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知

正四面體ASCD棱長為2而，則模型中九個球的表面積和為（）

c31兀

A.6兀B.9兀C.—D.21兀

4

【鞏固練習1】如圖，在一個底面邊長為2,側棱長為質的正四棱錐P-A8CD中，大球。1內切于

該四棱錐，小球。2與大球及四棱錐的四個側面相切，則小球。2的表面積為

【鞏固練習2］棱長為2后的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個

小球，則這樣一個小球的表面積最大為（）

A.-B.兀C.>/2TID.A/3TI

【鞏固練習3］如圖是某零件結構模型，中間大球為正四面體的內切球，小球與大球和正四面體三

個面均相切，若AB=12,則該模型中一個小球的體積為（）

A

口?甯

C.V6TI

【鞏固練習4】南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中記載了“三角垛”.如圖，某三角垛

最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記

由球心A,B,C,。構成的四面體的體積為匕，記能將該三角垛完全放入的四面體A-qGR的體

V.

積為匕，則才的最大值為_________.

V2

【題型15］棱切球問題

基礎知識

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

【例1】已知正三棱柱ABC-A耳G的體積為18,若存在球。與三棱柱ABC-的各棱均相切,

則球。的表面積為（）

A.8%B.12%C.16萬D.18〃

【例2】已知球。與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內接于球。2,則球。?與球。2的表面積

之比為（）

A.2：3B.3：2C.72:73D.括:&

【例3】已知某棱長為20的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之

比為（）

3B.：C.?

?-----

2

【鞏固練習1】正四面體的棱長為4,若球。與正四面體的每一條棱都相切，則球。的表面

積為（）

A.27rB.8兀C.迪萬

D.1271

3

【鞏固練習2】已知正三棱柱ABC-ABC（底面為正三角形且側棱與底面垂直），它的底面邊長為2,

若存在一個球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側棱長為