2025年高中數(shù)學必修二立體幾何核心考點講義

第1講空間幾何體

一、空間幾何體

1、空間幾何體

在我們周圍存在著多種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分。假如我們只考慮這些物體的形狀和大小，而

不考慮其他原因，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。

2、多面體和旋轉體

多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個

面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。

旋轉體：由一種平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體，叫做旋轉幾何體。這條定

直線叫做旋轉體的軸。

圓臺圓柱-圓錐

圓柱+圓錐圓臺+大圓錐-小圓錐

二、柱、錐、臺、球的構造特性

1.棱柱

定義圖形表達分類性質(zhì)

有兩個面互相平行，用平行的兩底面多棱柱的分類一(底(1)上下底面

E,D,

其他各面都是四邊5C邊形的字母表達棱面)：棱柱的底面平行,且是全

\

形，并且每相鄰兩個柱，如：棱柱可以是三角形、四等的多邊形。

\

四邊形的公共邊都互ABCDEF-邊形、五邊⑵側棱相等

店面

側面-----/

相平行，由這些面所AIBICIDIEIFIo形、……我們把且互相平行。

側校1cn/

圍成的幾何體叫做棱ED/這樣的棱柱分別側面是平

p\IHH:2c(3)

柱。?頂點叫做三棱柱、四棱行四邊形。

AB

兩個互相平行的柱、五棱柱、……

平面叫做棱柱的底

面，其他各面叫做棱棱柱的分類二(根

柱的側面。據(jù)側棱與底面的

關系)：

斜棱柱：側棱不垂

直于底面的棱柱.

直棱柱：側棱垂直

于底面的棱柱叫

做直棱柱

正棱柱：底面是正

多邊形的直棱柱

叫做正棱柱

2.棱錐

定義圖形表達性質(zhì)分類

有一種面是多邊形，頂點用頂點及底面各頂點側面是三角形，底面按底面多邊形的邊數(shù)

其他各面是有一種公字母表達棱錐，如：棱是多邊形。分類可分為三棱錐、

共頂點的三角形，由錐S—ABC四棱錐、五棱錐等等，

這些面所圍成的幾何A其中三棱錐又叫四面

體叫做棱錐。體。

底AJK

特殊的棱錐一正棱錐

定義：假如一種棱錐

的底面是正多邊形，

并且頂點在底面的射

影是底面中心

左邊那個是正四面體.右邊那個不是正四面體.

兩個都是正三棱錐

正四面體是四個面都是正三角形，

正三棱錐只要底面是正三角形,其他面是等腰三角形

2.棱臺

定義圖形表達分類性質(zhì)

用一種平行棱臺用表達上、由三棱錐、四棱上下底面平行，

心、

于棱錐底面下底面各頂點錐、五棱錐…截其他各面是梯

的平面去截的字母來表達，得的棱臺，分別形，且側棱延長

棱錐，底面如下圖，棱臺叫做三棱臺，四后交于一點。

和截面之間上底ABCD-AiBiCi棱臺，五棱臺…

的部分叫做Di

棱臺。特殊的棱錐一

下底面

由正棱錐截得

的棱臺叫正棱

臺

三棱臺四棱臺正棱臺

3.棱柱

定義圖形表達性質(zhì)

定義：以矩形的一邊用表達它的軸的字母

所在直線為旋轉軸，A，C表達，如圓柱001。

其他三邊旋轉形成的

曲面所圍成的幾何體11

叫做圓柱。；_:______軸

A

6.圓臺

7.球的構造特性

1,球的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球。

(1)半圓的半徑叫做球的半徑。

(2)半圓的圓心叫做球心。

(3)半圓的直徑叫做球的直徑。

2、球的表達：用表達球心的字母表達，如球0

3、球的性質(zhì)

(1)用一種平面去截球，截面是圓面；用一種平面去截球面，截線是圓。

大圓一截面過圓心，半徑等于球半徑；小圓一截面不過圓心。

(2)球心和截面的圓心的連線垂直于截面。

=dR，-屋

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r,有下面的關系:

解題措施：將立體中有關問題轉化為平面幾何問題

棱錐內(nèi)由某些線段構成的直角三角形，在計算有關問題時很重要，它是將立體中有關問題轉化為平面幾何問題

的根據(jù)，如圖2-7中的△AOE,AAOC,ZSACE及△OCE.這四個直角三角形中，若懂得AE、AC、AO、OE、0C及CE

這六條線段中的若干條時，則可以通過這些直角三角形間的關系求出其他線段.

圖2-7

總結

柱、錐、臺、

三、空間幾何體的三視圖和直觀圖

1、中心投影與平行投影

圖1-1-2中心投寄a1-1-3平行投影

2、三視圖

提醒：簡單幾何體的三視圖可概4.技巧：本題中根據(jù)正視圖和側

正視圖一一從正面看到的圖

括如下：視圖知，三棱錐一條側棱與底面

側視圖一一從左面看到的圖(1)棱柱：兩矩形和一多邊形；垂直，結合其直觀圖判斷三視圖

(2)棱錐：兩三角形和一多邊形；的數(shù)據(jù)在直觀圖中對應的幾何量.

俯視圖一一從上面看到的圖

(3)棱臺：兩梯形和兩多邊形(多解法闡釋二：將三視圖還原成直

邊形相似且頂點相連)；觀圖是解決該類問題的關鍵，其

(4)圓柱：兩矩形和一圓；解題技巧是熟練掌握一些簡單幾

畫物體的三視圖時，要符合如下原則:

(5)圓錐：兩三角形和一個帶有圓何體的三視圖，想象該幾何體的

位置：正視圖側視圖心的圓；構成，或?qū)⑷齻€方向獲得的信息

(6)圓臺：兩梯形和兩同心圓；綜合,繪制幾何圖形，然后檢驗其

俯視圖

(7)球：三個大小相等的圓.三視圖是否與已知相符合，確保

大?。洪L對正，高平齊，寬相等.1.技巧：根據(jù)幾何體的三視圖想無誤后再進行計算.

象其直觀圖時，可以從熟知的某提醒：以三視圖為載體考查幾何

一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗體的表面積、體積，關鍵是能夠?qū)?/p>

給出的三視圖進行恰當?shù)姆治觯?/p>

證其他視圖是否正確.

從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中,各元素

2.技巧：根據(jù)幾何體的直觀圖想

間的位置關系及數(shù)量關系.

象其三視圖時，若幾何體是某一

熟悉的幾何圖形通過分割形成

的，可以將幾何體還原后求解.

3.技巧：同一幾何體的三視圖，由

于幾何體放置位置不同，幾何體

的三視圖也不一致.

3、直觀圖---斜二測畫法

重點：用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，環(huán)節(jié)如下：

(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，把它們畫對應的X'軸與y'軸，兩

軸交于點O',且使/x?y=45°(或135°),它們確定的平面表達水平面.

⑵已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于M軸或y，軸的線段；

⑶己知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為本來的二分之

例1用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.

畫法；(1)在六邊形ABC0EF中，取AQ所在的直線(2)以。為中心，在x'上取在y'軸上取

為渤，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸交于

以點N為中心,畫8匕'平行于9軸,并且等于BC；再以M為中

點。畫相應的V軸和y軸，兩軸相交于點

心,畫？r平行于V軸,并且等于EF.

使Nx'Oy'=45°.

(3)連接CD',E'F',F'A',并擦去輔助線￡軸和y，軸,

便獲得正六邊形A8COEF水平放置的直觀圖

闡明：1.保持平行關系不變.

2.水平長度保持不變；縱向長度取其二分之一.

例3用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-AECD的直觀圖.

⑴畫軸.畫x軸,y軸，z軸,三軸交于點0,使Nx0y=45。,(2)畫底面.以0為中心，在x軸上取線段MN,使MN=_￡_cm在

Z.xOz=90°.軸上取線段PQ,使PQ=1.5cm分別過點M和N作y軸的平行

線，過點P和Q作x軸的平行線,設它們的交點分別為AB,

CD，四邊形ABCD就是長方形的底面ABCD

說明：先在地面上用斜二測畫法

做出長方體的一個底面

(3)畫側棱.過A,B,C,D,各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線(4)成圖.順次連接A',B；C；D',并加以整理

上分別截取2cm長的線段AA1BB；CC,DD'.(去掉輔助線,將被遮擋住的部分改為虛線),

就可得到長方體的直觀圖.

7

說明：平行于z軸的長度和平行的性

質(zhì)都保持不變

四、空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積$2m+271r2

3圓錐的表面積S=7irl+711T

4圓臺的表面積S—7Tvl+71丫?+7TRI+

5球的表面積S=4%R2

。n7iR21,

6扇形的面積公式S扇形=年=2”（其中‘表達弧長’「表達半徑）

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積V=S&xh

2錐體的體積V=

3臺體的體積'上S下+S下）x/z

43

4球體的體積火

第二講點、直線、平面之間的位置關系

空間點、直線、平面之間的位置關系

一、平面

1、平面及其表達

P

AbA\Z&

2、平面的基本性質(zhì)

①公理1：

Ael

Bel

>/ua/Z,/

Aea

Bea

②公理2：不共線的三點確定一種平面

Z^7￡

③公理3：

Py=>1門/?=/…則P￡/

Pe/?J

6

二、點與面、直線位置關系

?6

Aea

1、點與平面有2種位置關系L八

2、Bia

1>Ae/

2、點與直線有2種位置關系2、B.I

三、空間中直線與直線之間的位置關系

相交

共面〈十,-

<［平行

、異面

3、公理4和定理

公理4

定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

4、求異面直線所成角的環(huán)節(jié)：

①作：作平行線得到相交直線；

②證：證明作出的角即為所求的異面直線所成的角；

③構造三角形求出該角。

提醒：1、作平行線常見措施有：直接平移，中位線，平行四邊形。

2、異面直線所的角的范圍是（0°,90°］。

四、空間中直線與平面之間的位置關系

位置關系直線a在平面內(nèi)直線a與平面。相交直線a與平面（Z平行

公共點有無數(shù)個公共點有且只有一種公共點沒有公共點

符號表達a(^aa\a=Aaa

--------一4

圖形表達4/

五、空間中平面與平面之間的位置關系

位置關系兩個平面平行兩個平面相交

公共點沒有公共點有一條公共直線

符號表達a0a/3=a

&7^77

圖形表達

AZZZ7

直線、平面平行的鑒定及其性質(zhì)

一、線面平行

一b

1＞鑒定：

bHa

〃uabnb|a

ba

（線線平行，則線面平行）

2、性質(zhì)：

aa

au（3a\b

ac（3=b

（線面平行，則線線平行）

二、面面平行

1＞鑒定:

au0

buB

ar\b=/3a

aa

ba

（線面平行，則面面平行）

2、性質(zhì)1