2025年高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何核心考點(diǎn)講義

第1講空間幾何體

一、空間幾何體

1、空間幾何體

在我們周?chē)嬖谥喾N各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分。假如我們只考慮這些物體的形狀和大小，而

不考慮其他原因，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體。

2、多面體和旋轉(zhuǎn)體

多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個(gè)

面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)體：由一種平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，叫做旋轉(zhuǎn)幾何體。這條定

直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。

圓臺(tái)圓柱-圓錐

圓柱+圓錐圓臺(tái)+大圓錐-小圓錐

二、柱、錐、臺(tái)、球的構(gòu)造特性

1.棱柱

定義圖形表達(dá)分類(lèi)性質(zhì)

有兩個(gè)面互相平行，用平行的兩底面多棱柱的分類(lèi)一(底(1)上下底面

E,D,

其他各面都是四邊5C邊形的字母表達(dá)棱面)：棱柱的底面平行,且是全

\

形，并且每相鄰兩個(gè)柱，如：棱柱可以是三角形、四等的多邊形。

\

四邊形的公共邊都互ABCDEF-邊形、五邊⑵側(cè)棱相等

店面

側(cè)面-----/

相平行，由這些面所AIBICIDIEIFIo形、……我們把且互相平行。

側(cè)校1cn/

圍成的幾何體叫做棱ED/這樣的棱柱分別側(cè)面是平

p\IHH:2c(3)

柱。?頂點(diǎn)叫做三棱柱、四棱行四邊形。

AB

兩個(gè)互相平行的柱、五棱柱、……

平面叫做棱柱的底

面，其他各面叫做棱棱柱的分類(lèi)二(根

柱的側(cè)面。據(jù)側(cè)棱與底面的

關(guān)系)：

斜棱柱：側(cè)棱不垂

直于底面的棱柱.

直棱柱：側(cè)棱垂直

于底面的棱柱叫

做直棱柱

正棱柱：底面是正

多邊形的直棱柱

叫做正棱柱

2.棱錐

定義圖形表達(dá)性質(zhì)分類(lèi)

有一種面是多邊形，頂點(diǎn)用頂點(diǎn)及底面各頂點(diǎn)側(cè)面是三角形，底面按底面多邊形的邊數(shù)

其他各面是有一種公字母表達(dá)棱錐，如：棱是多邊形。分類(lèi)可分為三棱錐、

共頂點(diǎn)的三角形，由錐S—ABC四棱錐、五棱錐等等，

這些面所圍成的幾何A其中三棱錐又叫四面

體叫做棱錐。體。

底AJK

特殊的棱錐一正棱錐

定義：假如一種棱錐

的底面是正多邊形，

并且頂點(diǎn)在底面的射

影是底面中心

左邊那個(gè)是正四面體.右邊那個(gè)不是正四面體.

兩個(gè)都是正三棱錐

正四面體是四個(gè)面都是正三角形，

正三棱錐只要底面是正三角形,其他面是等腰三角形

2.棱臺(tái)

定義圖形表達(dá)分類(lèi)性質(zhì)

用一種平行棱臺(tái)用表達(dá)上、由三棱錐、四棱上下底面平行，

心、

于棱錐底面下底面各頂點(diǎn)錐、五棱錐…截其他各面是梯

的平面去截的字母來(lái)表達(dá)，得的棱臺(tái)，分別形，且側(cè)棱延長(zhǎng)

棱錐，底面如下圖，棱臺(tái)叫做三棱臺(tái)，四后交于一點(diǎn)。

和截面之間上底ABCD-AiBiCi棱臺(tái)，五棱臺(tái)…

的部分叫做Di

棱臺(tái)。特殊的棱錐一

下底面

由正棱錐截得

的棱臺(tái)叫正棱

臺(tái)

三棱臺(tái)四棱臺(tái)正棱臺(tái)

3.棱柱

定義圖形表達(dá)性質(zhì)

定義：以矩形的一邊用表達(dá)它的軸的字母

所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，A，C表達(dá)，如圓柱001。

其他三邊旋轉(zhuǎn)形成的

曲面所圍成的幾何體11

叫做圓柱。；_:______軸

A

6.圓臺(tái)

7.球的構(gòu)造特性

1,球的定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球。

(1)半圓的半徑叫做球的半徑。

(2)半圓的圓心叫做球心。

(3)半圓的直徑叫做球的直徑。

2、球的表達(dá)：用表達(dá)球心的字母表達(dá)，如球0

3、球的性質(zhì)

(1)用一種平面去截球，截面是圓面；用一種平面去截球面，截線(xiàn)是圓。

大圓一截面過(guò)圓心，半徑等于球半徑；小圓一截面不過(guò)圓心。

(2)球心和截面的圓心的連線(xiàn)垂直于截面。

=dR，-屋

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r,有下面的關(guān)系:

解題措施：將立體中有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

棱錐內(nèi)由某些線(xiàn)段構(gòu)成的直角三角形，在計(jì)算有關(guān)問(wèn)題時(shí)很重要，它是將立體中有關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

的根據(jù)，如圖2-7中的△AOE,AAOC,ZSACE及△OCE.這四個(gè)直角三角形中，若懂得AE、AC、AO、OE、0C及CE

這六條線(xiàn)段中的若干條時(shí)，則可以通過(guò)這些直角三角形間的關(guān)系求出其他線(xiàn)段.

圖2-7

總結(jié)

柱、錐、臺(tái)、

三、空間幾何體的三視圖和直觀(guān)圖

1、中心投影與平行投影

圖1-1-2中心投寄a1-1-3平行投影

2、三視圖

提醒：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖可概4.技巧：本題中根據(jù)正視圖和側(cè)

正視圖一一從正面看到的圖

括如下：視圖知，三棱錐一條側(cè)棱與底面

側(cè)視圖一一從左面看到的圖(1)棱柱：兩矩形和一多邊形；垂直，結(jié)合其直觀(guān)圖判斷三視圖

(2)棱錐：兩三角形和一多邊形；的數(shù)據(jù)在直觀(guān)圖中對(duì)應(yīng)的幾何量.

俯視圖一一從上面看到的圖

(3)棱臺(tái)：兩梯形和兩多邊形(多解法闡釋二：將三視圖還原成直

邊形相似且頂點(diǎn)相連)；觀(guān)圖是解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，其

(4)圓柱：兩矩形和一圓；解題技巧是熟練掌握一些簡(jiǎn)單幾

畫(huà)物體的三視圖時(shí)，要符合如下原則:

(5)圓錐：兩三角形和一個(gè)帶有圓何體的三視圖，想象該幾何體的

位置：正視圖側(cè)視圖心的圓；構(gòu)成，或?qū)⑷齻€(gè)方向獲得的信息

(6)圓臺(tái)：兩梯形和兩同心圓；綜合,繪制幾何圖形，然后檢驗(yàn)其

俯視圖

(7)球：三個(gè)大小相等的圓.三視圖是否與已知相符合，確保

大?。洪L(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.1.技巧：根據(jù)幾何體的三視圖想無(wú)誤后再進(jìn)行計(jì)算.

象其直觀(guān)圖時(shí)，可以從熟知的某提醒：以三視圖為載體考查幾何

一視圖出發(fā)，想象出直觀(guān)圖，再驗(yàn)體的表面積、體積，關(guān)鍵是能夠?qū)?/p>

給出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯?/p>

證其他視圖是否正確.

從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中,各元素

2.技巧：根據(jù)幾何體的直觀(guān)圖想

間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

象其三視圖時(shí)，若幾何體是某一

熟悉的幾何圖形通過(guò)分割形成

的，可以將幾何體還原后求解.

3.技巧：同一幾何體的三視圖，由

于幾何體放置位置不同，幾何體

的三視圖也不一致.

3、直觀(guān)圖---斜二測(cè)畫(huà)法

重點(diǎn)：用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，環(huán)節(jié)如下：

(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0.畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它們畫(huà)對(duì)應(yīng)的X'軸與y'軸，兩

軸交于點(diǎn)O',且使/x?y=45°(或135°),它們確定的平面表達(dá)水平面.

⑵已知圖形中平行于x軸或y軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中分別畫(huà)成平行于M軸或y，軸的線(xiàn)段；

⑶己知圖形中平行于x軸的線(xiàn)段，在直觀(guān)圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為本來(lái)的二分之

例1用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀(guān)圖.

畫(huà)法；(1)在六邊形ABC0EF中，取AQ所在的直線(xiàn)(2)以。為中心，在x'上取在y'軸上取

為渤，對(duì)稱(chēng)軸MN所在直線(xiàn)為y軸，兩軸交于

以點(diǎn)N為中心,畫(huà)8匕'平行于9軸,并且等于BC；再以M為中

點(diǎn)。畫(huà)相應(yīng)的V軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)

心,畫(huà)？r平行于V軸,并且等于EF.

使Nx'Oy'=45°.

(3)連接CD',E'F',F'A',并擦去輔助線(xiàn)￡軸和y，軸,

便獲得正六邊形A8COEF水平放置的直觀(guān)圖

闡明：1.保持平行關(guān)系不變.

2.水平長(zhǎng)度保持不變；縱向長(zhǎng)度取其二分之一.

例3用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體ABCD-AECD的直觀(guān)圖.

⑴畫(huà)軸.畫(huà)x軸,y軸，z軸,三軸交于點(diǎn)0,使Nx0y=45。,(2)畫(huà)底面.以0為中心，在x軸上取線(xiàn)段MN,使MN=_￡_cm在

Z.xOz=90°.軸上取線(xiàn)段PQ,使PQ=1.5cm分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行

線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線(xiàn),設(shè)它們的交點(diǎn)分別為AB,

CD，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方形的底面ABCD

說(shuō)明：先在地面上用斜二測(cè)畫(huà)法

做出長(zhǎng)方體的一個(gè)底面

(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)A,B,C,D,各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn),并在這些平行線(xiàn)(4)成圖.順次連接A',B；C；D',并加以整理

上分別截取2cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA1BB；CC,DD'.(去掉輔助線(xiàn),將被遮擋住的部分改為虛線(xiàn)),

就可得到長(zhǎng)方體的直觀(guān)圖.

7

說(shuō)明：平行于z軸的長(zhǎng)度和平行的性

質(zhì)都保持不變

四、空間幾何體的表面積與體積

（-）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積$2m+271r2

3圓錐的表面積S=7irl+711T

4圓臺(tái)的表面積S—7Tvl+71丫?+7TRI+

5球的表面積S=4%R2

。n7iR21,

6扇形的面積公式S扇形=年=2”（其中‘表達(dá)弧長(zhǎng)’「表達(dá)半徑）

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積V=S&xh

2錐體的體積V=

3臺(tái)體的體積'上S下+S下）x/z

43

4球體的體積火

第二講點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

一、平面

1、平面及其表達(dá)

P

AbA\Z&

2、平面的基本性質(zhì)

①公理1：

Ael

Bel

>/ua/Z,/

Aea

Bea

②公理2：不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一種平面

Z^7￡

③公理3：

Py=>1門(mén)/?=/…則P￡/

Pe/?J

6

二、點(diǎn)與面、直線(xiàn)位置關(guān)系

?6

Aea

1、點(diǎn)與平面有2種位置關(guān)系L八

2、Bia

1>Ae/

2、點(diǎn)與直線(xiàn)有2種位置關(guān)系2、B.I

三、空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

相交

共面〈十,-

<［平行

、異面

3、公理4和定理

公理4

定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

4、求異面直線(xiàn)所成角的環(huán)節(jié)：

①作：作平行線(xiàn)得到相交直線(xiàn)；

②證：證明作出的角即為所求的異面直線(xiàn)所成的角；

③構(gòu)造三角形求出該角。

提醒：1、作平行線(xiàn)常見(jiàn)措施有：直接平移，中位線(xiàn)，平行四邊形。

2、異面直線(xiàn)所的角的范圍是（0°,90°］。

四、空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系

位置關(guān)系直線(xiàn)a在平面內(nèi)直線(xiàn)a與平面。相交直線(xiàn)a與平面（Z平行

公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一種公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)

符號(hào)表達(dá)a(^aa\a=Aaa

--------一4

圖形表達(dá)4/

五、空間中平面與平面之間的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交

公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)有一條公共直線(xiàn)

符號(hào)表達(dá)a0a/3=a

&7^77

圖形表達(dá)

AZZZ7

直線(xiàn)、平面平行的鑒定及其性質(zhì)

一、線(xiàn)面平行

一b

1＞鑒定：

bHa

〃uabnb|a

ba

（線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行）

2、性質(zhì)：

aa

au（3a\b

ac（3=b

（線(xiàn)面平行，則線(xiàn)線(xiàn)平行）

二、面面平行

1＞鑒定:

au0

buB

ar\b=/3a

aa

ba

（線(xiàn)面平行，則面面平行）

2、性質(zhì)1