數(shù)學課堂探究：獨立性檢驗

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一相互獨立事件的概率相互獨立事件的概率求解要使用相互獨立事件的概率公式，即若事件A與事件B相互獨立，則滿足P(AB）＝P（A）P(B）,涉及兩個以上獨立事件，則用相互獨立事件定義的推廣，應用公式時，一定要優(yōu)先判斷事件之間的關(guān)系．【典型例題1】下列是某班英語及數(shù)學成績的分布表，已知該班有50名學生,成績分1～5共5個檔次．如：表中所示英語成績?yōu)榈?檔，數(shù)學成績?yōu)榈?檔的學生有5人，現(xiàn)設(shè)該班任意一名學生的英語成績?yōu)榈趍檔，數(shù)學成績?yōu)榈趎檔．（1）求m＝4，n＝3的概率；（2)若m＝2與n＝4是相互獨立的，求a，b的值．思路分析：能理解表中數(shù)據(jù)的含義是解題的關(guān)鍵，再根據(jù)兩事件獨立列出等式,進而求出參數(shù)a，b的值．解:（1)由表知英語成績?yōu)榈?檔、數(shù)學成績?yōu)榈?檔的學生有7人,而總學生數(shù)為50人,∴P＝eq\f（7，50)。(2)由題意知，a＋b＝3。①又m＝2與n＝4相互獨立，所以P(m＝2）P（n＝4）＝P（m＝2，n＝4），即eq\f（1＋b＋6＋a,50）·eq\f(3＋1＋b,50)＝eq\f(b,50).②由①②,解得a＝2，b＝1.探究二獨立性檢驗的應用獨立性檢驗實際上是檢驗兩個分類變量是否相關(guān),相關(guān)的程度有多大，其應用過程是先通過χ2統(tǒng)計量的計算公式求出χ2的值，其值越大，說明兩個分類變量有關(guān)系成立的可能性越大,具體統(tǒng)計判斷如下：若χ2＞6.635,則有99％的把握說A與B有關(guān)；若χ2＞3。841，則有95%的把握說A與B有關(guān)，這樣就可以拒絕統(tǒng)計假設(shè)H0；反之，若χ2≤3。841，我們就認為沒有充分的證據(jù)說事件A與B有關(guān)．【典型例題2】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm）的值落在[29.94，30。06)的零件為優(yōu)質(zhì)品．從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表：甲廠：分組[29。86,29.90)［29。90,29.94）［29。94,29。98）[29。98,30。02)頻數(shù)126386182分組［30。02,30。06）[30。06，30。10)[30.10,30。14）頻數(shù)92614乙廠:分組[29。86，29.90）［29。90,29。94)[29.94，29.98）［29。98,30.02）頻數(shù)297185159分組［30.02，30。06）[30。06，30.10）［30。10，30。14）頻數(shù)766218(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；(2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，并問是否有99％的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異"。甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品合計附:χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21）2，n1＋n2＋n＋1n＋2)，P（χ2≥k0）0。050.01k03.8416.635思路分析：(1）利用樣本的頻率來估計零件的優(yōu)質(zhì)品率;(2)對題干中甲、乙兩廠的數(shù)據(jù)信息進行歸納整理完成2×2列聯(lián)表，再求出χ2的值并結(jié)合檢驗標準進行判斷．解:（1）甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為eq\f（360，500)＝72％；乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品,從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計為eq\f（320，500）＝64％。(2)甲廠乙廠合計優(yōu)質(zhì)品360320680非優(yōu)質(zhì)品140180320合計5005001000χ2＝eq\f（1000×(360×180－320×140）2,500×500×680×320)＝7.353＞6.635，所以有99%的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”．探究三易錯辨析易錯點:忽略公式P（AB)＝P（A）·P(B)的使用前提而致誤【典型例題3】有10個零件,其中3個次品，現(xiàn)從中任取2個,記A：恰好有1個次品，B：至少有1個次品，求P（AB）．錯解:由題意,得P(A)＝eq\f（7,15),P（B)＝eq\f（8,15)，則P(AB）＝P(A）P（B)＝eq\f（7,15）×eq\f(8,15）＝eq\f(56，225)。錯因分析：因為A:恰好有1個次品，B：至少有1個次品，所以AB：恰好有1個是次品，即P(AB）＝P(A)≠P(A）P(B），從而