概率與統(tǒng)計的綜合問題（基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升）學案-2025屆高三數(shù)學一輪復習

第10部分第8節(jié)《概率與統(tǒng)計的綜合問題》-2025屆高考一輪復習-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升基礎(chǔ)摸查【題型展示】題型一頻率分布直方圖例1為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).訓練1某鄉(xiāng)鎮(zhèn)加大投資建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游產(chǎn)業(yè)，顯著提高了農(nóng)民收入.為了提升旅游質(zhì)量，打造特色旅游品牌，鎮(zhèn)政府聘請有關(guān)專家和環(huán)保部門工作人員50人，對A，B兩個特色旅游村進行評價(滿分100分)，并得到A村評價分數(shù)(單位：分)的頻數(shù)分布表和B村評價分數(shù)的頻率分布直方圖，如下：A村評價分數(shù)的頻數(shù)分布表分數(shù)[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)人數(shù)25810分數(shù)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100]人數(shù)14641B村評價分數(shù)的頻率分布直方圖有關(guān)專家與環(huán)保部門工作人員對旅游村的評價分數(shù)的規(guī)定如下：分數(shù)[60，75)[75，90)[90，100]等級Ⅰ級Ⅱ級Ⅲ級等級越高旅游資源開發(fā)越好，如Ⅱ級好于Ⅰ級.(1)估計A村評價分數(shù)的眾數(shù)，并求a的值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)從參與評價的50人中隨機抽取1人，估計該人對A村評價分數(shù)等級比B村評價分數(shù)等級高的頻率；(3)以評價分數(shù)為依據(jù)，比較A，B兩村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量情況.題型二成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析角度1獨立性檢驗例2為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50)[150，475]合計[0，75)641680[75，115]101020合計7426100依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析該市一天中空氣中PM2.5濃度是否和SO2濃度有關(guān)？角度2回歸方程及其應用例3下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：ZB)及相關(guān)統(tǒng)計量的值：年份201520162017201820192020序號x123456年數(shù)據(jù)量y7917223443eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(z,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))3.522218141249表中zi＝lnyi，eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))zi.(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程y＝c1·ec2x(e是自然對數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號x的回歸方程類型，試求此回歸方程；(2)根據(jù)(1)中的回歸方程，預計2024年的全世界數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年的多少倍？并說明理由.(參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，eq\r(e)≈1.648，結(jié)果精確到0.1)參考公式：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，斜率最小二乘法公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).訓練2某創(chuàng)新公司在第1個月至第7個月的5G經(jīng)濟收入y(單位：百萬元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表：時間(月份)1234567收入(百萬元)611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖：(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝ax＋b與y＝c·dx(a，b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個適宜作為5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)請你預測該公司8月份的5G經(jīng)濟收入.參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))yieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xivi100.45100.5446210.78271150.122.823.47其中設(shè)v＝lgy，vi＝lgyi.參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(β,\s\up6(^))x＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xivi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).題型三概率與統(tǒng)計角度1概率與統(tǒng)計的綜合問題例4某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間(單位：分鐘)進行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六組，并作出頻率分布直方圖(如圖)，將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“課外體育達標”.(1)請根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷“課外體育達標”與性別是否有關(guān)？課外體育不達標課外體育達標合計男60女110合計(2)現(xiàn)按照“課外體育達標”與“課外體育不達標”進行分層抽樣，抽取8人，再從這8名學生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調(diào)查，記“課外體育不達標”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望.角度2離散型隨機變量及其分布列例5某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎派送禮品活動.為設(shè)計一套趣味性抽獎送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學生征集活動方案，該中學某班數(shù)學興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎一次中獎的禮品價值為η.(1)求P(ξ＝3)；(2)凡是元旦當天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎.記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎，獲得價值50元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎，獲得價值30元的禮品；記抽取的兩個小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎，獲得價值10元的禮品，其他情況不獲獎.求某顧客抽獎一次獲得的禮品價值的分布列與數(shù)學期望.角度3正態(tài)分布的綜合問題例6(2022·保定模擬)某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機記錄了該店1月份其中5天的日銷售量y(單位：千克)與該地當日最低氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如下表：x258911y1210887(1)求出y與x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判斷y與x之間是正相關(guān)還是負相關(guān)，若該地1月份某天的最低氣溫為6℃，請用所求回歸方程預測該店當日的銷售量；(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2，求P(3.8≤X≤13.4).附：①回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).②eq\r(10)≈3.2，eq\r(3.2)≈1.8.若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.訓練3某城市A公司外賣配送員底薪是每月1800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X，若X∈[1，300]，每單提成3元，若X∈(300，600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元.B公司外賣配送員底薪是每月2100元，設(shè)一人每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1，400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元.小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2022年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：表1A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計日送餐量x/單131416171820天數(shù)2612622表2B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計日送餐量y/單111314151618天數(shù)4512351(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系；(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應公司的外賣配送員日送餐量的概率.①計算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學期望E(x)和E(y)；②請利用所學的統(tǒng)計學知識為小王做出選擇，并說明理由.基礎(chǔ)夯實1．第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在中國北京開幕，簡稱“北京冬奧會”．某媒體通過網(wǎng)絡(luò)隨機采訪了某市100名關(guān)注“北京冬奧會”的市民，并將其年齡數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)已知[30,40)，[40,50)，[50,60)三個年齡段的人數(shù)依次成等差數(shù)列，求a，b的值；(2)該媒體將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高關(guān)注人群，其他年齡段的人群定義為次高關(guān)注人群，為了進一步了解其關(guān)注項目．現(xiàn)按“關(guān)注度的高低”采用比例分配的分層隨機抽樣的方式從參與采訪的100位關(guān)注者中抽取10人，并在這10人中隨機抽取3人進行電視訪談，求此3人中來自高關(guān)注人群的人數(shù)X的分布列與均值．2．隨著生活水平的不斷提高，人們越來越注重養(yǎng)生．科學健身有利于降低脂肪含量，健身器材成為人們的新寵．某小區(qū)物業(yè)決定選購一款健身器材，物業(yè)管理員從該品牌的銷售網(wǎng)站了解到此款健身器材近五個月的實際銷量如表所示：月份7月8月9月10月11月月份編號t12345銷量y(萬臺)0.50.611.41.7(1)求出銷量y關(guān)于月份編號t的經(jīng)驗回歸方程，并預測12月份該品牌此款健身器材的銷量；(2)該品牌銷售商為了促銷，采取“摸球定價格”的優(yōu)惠方式，其規(guī)則為：盒子內(nèi)裝有編號為1,2,3的三個完全相同的小球，有放回地摸三次，三次摸到相同編號的享受七折優(yōu)惠，三次僅有兩次摸到相同編號的享受八折優(yōu)惠，其余均九折優(yōu)惠．已知此款健身器材一臺標價為10000元，設(shè)物業(yè)公司購買此款健身器材的價格為X，求X的分布列與均值．3．某市某部門為了了解全市中學生的視力情況，采用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取了該市120名中學生，已知該市中學生男女人數(shù)比例為7∶5，他們的視力情況統(tǒng)計結(jié)果如表所示：性別視力情況合計近視不近視男生30女生40合計120(1)請把表格補充完整，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，判斷近視是否與性別有關(guān)；(2)如果用這120名中學生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學生中男生和女生近視的概率，且每名同學是否近視相互獨立．現(xiàn)從該市中學生中任選4人，設(shè)隨機變量X表示4人中近視的人數(shù)，求X的分布列及均值．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.6354．2022年3月，“兩會”在北京召開，會議吸引了全球的目光，對我國以后的社會經(jīng)濟發(fā)展有深刻的歷史意義，某媒體為調(diào)查本市市民對“兩會”的了解情況，進行了一次“兩會”知識問卷調(diào)查(每位市民只能參加一次)，隨機抽取年齡在15～75歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75]，把年齡落在區(qū)間[15,35)和[35,75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”．(1)若“青少年人”中有15人在關(guān)注“兩會”，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，判斷關(guān)注“兩會”是否與年齡有關(guān)；(2)由(1)中結(jié)果，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從“青少年人”關(guān)注“兩會”和不關(guān)注“兩會”的人中抽取6人，再從這6人中選3人進行專訪，設(shè)這3人中關(guān)注“兩會”的人數(shù)為X，求X的分布列和均值.年齡是否關(guān)注合計關(guān)注不關(guān)注青少年人15中老年人合計5050100附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.8285.某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.6.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額(元)支付方式(0，1000](1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和均值；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.7.某企業(yè)對設(shè)備進行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某項質(zhì)量指標值，該項質(zhì)量指標值落在[20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖如圖所示.下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45]頻數(shù)2184814162(1)請估計該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值表示)；(2)設(shè)備改造后，企業(yè)將不合格品全部銷毀，并對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元；質(zhì)量指標值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價180元；其他的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用該樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學期望.8.某土特產(chǎn)超市為預估2023年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，于2022年元旦期間90位游客的購買情況進行統(tǒng)計，得到如下人數(shù)分布表.購買金額/元[0，15)[15，30)[30，45)[45，60)[60，75)[75，90]人數(shù)101520152010(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).不少于60元少于60元總計男40女18總計(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案：購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎的概率為p(每次抽獎互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率)，中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學期望.附參考公式：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.1500.1000.0500.0100.005xα2.0722.7063.8416.6357.879優(yōu)化提升9.水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān).某工廠深入貫徹科學發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級水)達到環(huán)保標準(簡稱達標)的概率為p(0<p<1).經(jīng)化驗檢測，若確認達標便可直接排放；若不達標則必須進入B系統(tǒng)處理后直接排放.某廠現(xiàn)有4個標準水量的A級水池，分別取樣、檢測.多個污水樣本檢測時，既可以逐個化驗，又可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有樣本不達標，混合樣本的化驗結(jié)果必不達標.若混合樣本不達標，則該組中各個樣本必須再逐個化驗；若混合樣本達標，則原水池的污水可直接排放.現(xiàn)有以下四種方案：方案一：逐個化驗；方案二：平均分成兩組化驗；方案三：三個樣本混在一起化驗，剩下的一個單獨化驗；方案四：四個樣本混在一起化驗.若化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.(1)若p＝eq\f(2\r(2),3)，求2個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達標的概率；(2)①若p＝eq\f(2\r(2),3)，現(xiàn)有4個A級水樣本需要化驗，請問：方案一、二、四中哪個最“優(yōu)”？②若“方案三”比“方案四”更“優(yōu)”，求p的取值范圍.10.某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c·xb(b，c為大于0的常數(shù)).按照某指標測定，當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(0.302，0.388)內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：尺寸x(mm)384858687888質(zhì)量y(g)16.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比eq\f(y,x)0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，求選中的2件均為優(yōu)等品的概率；(2)根據(jù)測得的數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值為下表：eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi·lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnyi)eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(lnxi)275.324.618.3101.4根據(jù)所給統(tǒng)計量，求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程.附：對于樣本(vi，ui)(i＝1，2，…，6)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(u,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))·v＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）（ui－\o(u,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（vi－\o(v,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))viui－n\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(u,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))veq\o\al(2,i)－n\o(v,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(u,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(v,\s\up6(－)).11．某學校共有3000名學生，其中男生1800人，為了解該校學生在校的月消費情況，采取比例分配的分層隨機抽樣的方式抽取100名學生進行調(diào)查，先統(tǒng)計他們某月的消費金額，然后按“男生、女生”分成兩組，再分別將兩組學生的月消費金額(單位：元)分成5組：[300,400)，[400,500)，[500,600)，[600,700)，[700,800]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)樣本中將月消費金額不低于600元的學生稱為“高消費群”．請你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析該校學生屬于“高消費群”是否與性別有關(guān)；性別是否屬于“高消費群”合計屬于不屬于男生女生合計附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)以樣本估計總體，將調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該學校中每次隨機抽取1名學生，共抽取4次，且每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，記被抽取的4名學生中屬于“高消費群”的人數(shù)為X，求X的均值E(X)和方差D(X)．12．某公司為了提升一款產(chǎn)品的市場競爭力和市場占有率，對該款產(chǎn)品進行了科技創(chuàng)新和市場開發(fā)，經(jīng)過一段時間的運營后，統(tǒng)計得到x，y之間的五組數(shù)據(jù)如表所示：x12345y911142620其中，x(單位：百萬元)是科技創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入，y(單位：百萬元)是科技創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益．(1)求樣本相關(guān)系數(shù)r的大小(精確到0.01)，并判斷科技創(chuàng)新和市場開發(fā)后的收益y與科技創(chuàng)新和市場開發(fā)的總投入x的線性相關(guān)程度；(2)該公司對該產(chǎn)品的滿意程度進行了調(diào)研，在調(diào)研100名男、女性消費者后，得到數(shù)據(jù)如表所示：性別滿意程度合計滿意不滿意男性451055女性252045合計7030100根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，判斷消費者滿意程度是否與性別有關(guān)；(3)對(2)中調(diào)研的45名女性消費者，按照其滿意程度進行比例分配的分層隨機抽樣，從中抽出9名女性消費者到公司進行現(xiàn)場考察，再從這9名女性消費者中隨機抽取4人進行深度調(diào)研，記這4人中“滿意”的人數(shù)為X，求X的分布列及均值．參考公式：①r＝eq\f(\o(∑,\s\up14(n),\s\do5(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))；②χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)：eq\r(485)≈22.參考答案：基礎(chǔ)摸查【題型展示】例1解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.訓練1解(1)因為A村評價分數(shù)頻數(shù)最多的出現(xiàn)在[80，85)，所以估計A村評價分數(shù)的眾數(shù)為eq\f(80＋85,2)＝82.5(分).由5×(0.012×2＋0.020＋0.024＋2a＋0.036＋0.040)＝1，解得a＝0.028.(2)設(shè)從參與評價的50人中隨機抽取1人，該人“對A村評價分數(shù)等級為Ⅱ”的事件為A2，“對A村評價分數(shù)等級為Ⅲ”的事件為A3；“對B村評價分數(shù)等級為Ⅰ”的事件為B1，“對B村評價分數(shù)等級為Ⅱ”的事件為B2.由題表可知，P(A2)＝eq\f(10＋14＋6,50)＝0.6，P(A3)＝eq\f(4＋1,50)＝0.1.由題圖可知，P(B1)＝(0.012＋0.020＋0.028)×5＝0.3，P(B2)＝(0.036＋0.040＋0.024)×5＝0.5.A村評價分數(shù)等級比B村評價分數(shù)等級高的概率為P(A2B1)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)·P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.6×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.5＝0.26，所以該人對A村評價分數(shù)等級比B村評價分數(shù)等級高的概率估計值為0.26.(3)A村評價分數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(2,50)×62.5＋eq\f(5,50)×67.5＋eq\f(8,50)×72.5＋eq\f(10,50)×77.5＋eq\f(14,50)×82.5＋eq\f(6,50)×87.5＋eq\f(4,50)×92.5＋eq\f(1,50)×97.5＝79.3(分).B村評價分數(shù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))B＝5×[0.012×(62.5＋97.5)＋0.020×67.5＋0.028×(72.5＋92.5)＋0.036×77.5＋0.040×82.5＋0.024×87.5]＝80.4(分).因為eq\o(x,\s\up6(－))A＜eq\o(x,\s\up6(－))B，所以從評價分數(shù)來看，B村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量要高于A村.例2解零假設(shè)為H0：該市一天中空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān).χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)＝eq\f(3600,481)≈7.4844＞6.635＝x0.01，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，可以判斷H0不成立，即認為該市一天中空氣中PM2.5濃度和SO2濃度有關(guān).例3解(1)由y＝c1·ec2x，兩邊同時取自然對數(shù)得lny＝ln(c1·ec2x)＝lnc1＋c2x，設(shè)z＝lny，則z＝lnc1＋c2x.因為eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(z,\s\up6(－))＝2，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝18，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do5(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(zi－eq\o(z,\s\up6(－)))＝9，所以eq\o(c,\s\up6(^))2＝eq\f(\o(∑,\s\up14(b),\s\do5(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（zi－\o(z,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(b),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(9,18)＝eq\f(1,2)，lneq\o(c,\s\up6(^))1＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(c,\s\up6(^))2eq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.5×3.5＝0.25.所以z＝0.25＋0.5x＝lny，所以y＝e0.25＋0.5x.(2)令x＝7，得eq\o(y,\s\up6(^))1＝e0.25＋0.5×7＝e3.75.令x＝10，得eq\o(y,\s\up6(^))2＝e5.25，eq\f(\o(y,\s\up6(^))2,\o(y,\s\up6(^))1)＝e1.5＝eeq\r(e)≈4.5，預計2024年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模是2021年的4.5倍.訓練2解(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝c·dx適宜作為5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月代碼x的回歸方程類型.∵y＝c·dx，兩邊同時取常用對數(shù)得lgy＝lg(c·dx)＝lgc＋lgd·x.設(shè)lgy＝v，∴v＝lgc＋lgd·x.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))vi＝eq\f(1,7)×10.78＝1.54，eq\o(∑,\s\up14(7),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，∴l(xiāng)geq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xivi－7\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))\a\vs4\al(\o(v,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(50.12－7×4×1.54,140－7×42)＝eq\f(7,28)＝0.25，把樣本中心點(4，1.54)代入v＝lgc＋lgd·x，得1.54＝lgeq\o(c,\s\up6(^))＋0.25×4，∴l(xiāng)geq\o(c,\s\up6(^))＝0.54，eq\o(v,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴l(xiāng)geq\o(y,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，∴y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.(2)∵當x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝3.47×100.25×8＝347，∴預測8月份的5G經(jīng)濟收入為347百萬元.例4解(1)由題意得“課外體育達標”人數(shù)為200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，則“課外體育不達標”人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：課外體育不達標課外體育達標合計男603090女9020110合計15050200假設(shè)H0為“課外體育達標”與性別無關(guān).∴χ2＝eq\f(200×（60×20－30×90）2,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061>3.841＝x0.05.∴根據(jù)小概率α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為“課外體育達標”與性別有關(guān).(2)由題意采用分層抽樣在“課外體育達標”的學生中抽取2人，在“課外體育不達標”的學生中抽取6人，由題意知：ξ的所有可能取值為1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)；P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14)；故ξ的分布列為ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故ξ的數(shù)學期望為E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).例5解(1)64個小正方體中，三面著色的有8個，兩面著色的有24個，一面著色的有24個，另外8個沒有著色，∴P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,8)＋Ceq\o\al(1,24)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(640,2016)＝eq\f(20,63).(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0，……5分P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(28,2016)＝eq\f(1,72)，P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(192,2016)＝eq\f(2,21)，P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,24)＋Ceq\o\al(1,8)·Ceq\o\al(1,24),Ceq\o\al(2,64))＝eq\f(468,2016)＝eq\f(13,56)，P(η＝0)＝1－eq\f(1,72)－eq\f(2,21)－eq\f(13,56)＝eq\f(83,126).所以隨機變量η的分布列為η5030100Peq\f(1,72)eq\f(2,21)eq\f(13,56)eq\f(83,126)∴E(η)＝50×eq\f(1,72)＋30×eq\f(2,21)＋10×eq\f(13,56)＋0×eq\f(83,126)＝eq\f(370,63).例6解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xi＝eq\f(35,5)＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))yi＝eq\f(45,5)＝9，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xiyi－5eq\a\vs4\al(\o(x,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(y,\s\up6(－)))＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，eq\o(∑,\s\up14(5),\s\do5(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(－28,50)＝－0.56.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝9－(－0.56)×7＝12.92.∴所求的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56x＋12.92.(2)由eq\o(b,\s\up6(^))＝－0.56＜0知，y與x之間是負相關(guān)，將x＝6代入回歸方程可預測該店當日的銷售量eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克).(3)由(1)知μ＝eq\o(x,\s\up6(－))＝7，由σ2＝s2＝eq\f(1,5)[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.從而P(3.8≤X≤13.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.8186.訓練3解(1)當X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時，g(Y)＝g(X)；當X∈(300，400]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300>0；當X∈(400，600]時，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300<0.所以當X∈(300，400]時，f(X)>g(Y)；當X∈(400，600]時，f(X)<g(Y).(2)①甲的日送餐量x的分布列為：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)乙的日送餐量y的分布列為：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)則E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16，E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14.②E(X)＝30E(x)＝480，480∈(300，600]；E(Y)＝30E(y)＝420，420∈(400，＋∞).所以A公司外賣配送員的平均月薪約為1800＋4E(X)＝3720(元)，B公司外賣配送員的平均月薪約為2100＋4E(Y)＝3780(元)，3720<3780，所以小王應選擇做B公司外賣配送員.基礎(chǔ)夯實1．解(1)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋0.015，,0.010＋0.015×2＋b＋a×10＝1，))解得a＝0.035，b＝0.025.(2)利用比例分配的分層隨機抽樣的方式從樣本中抽取10人，易知其中屬于高關(guān)注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，則屬于次高關(guān)注人群的有4人，則X的所有可能取值為3,2,1,0，所以P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，所以X的分布列為X3210Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以E(X)＝3×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,2)＋1×eq\f(3,10)＋0×eq\f(1,30)＝1.8.2．解(1)依題意知eq\x\to(t)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(3.2,10)＝0.32，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝1.04－0.32×3＝0.08，故銷量y關(guān)于月份編號t的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32t＋0.08.令t＝6，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.32×6＋0.08＝2.故可預測12月份該品牌此款健身器材銷量為2萬臺．(2)有放回地摸球，每次摸到某個編號的概率為eq\f(1,3)，則三次摸到相同編號的概率為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,9)，僅有兩次摸到相同編號的概率為3×3×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).公司購買此款健身器材的價格X的所有可能取值為7000，8000，9000，其分布列為X700080009000Peq\f(1,9)eq\f(2,3)eq\f(2,9)故E(X)＝7000×eq\f(1,9)＋8000×eq\f(2,3)＋9000×eq\f(2,9)＝eq\f(73000,9).3．解(1)∵該市中學生男女人數(shù)比例為7∶5，∴抽取的120名學生中男生有70人，女生有50人，2×2列聯(lián)表如下：性別視力情況合計近視不近視男生304070女生104050合計4080120零假設(shè)為H0：近視與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，χ2＝eq\f(120×30×40－10×402,40×80×70×50)≈6.857>6.635＝x0.01，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為近視與性別有關(guān)．(2)∵用這120名中學生中男生和女生近視的頻率分別代替該市中學生中男生和女生近視的概率，∴每名學生近視的概率為eq\f(30＋10,120)＝eq\f(1,3)，由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4－k，k＝0,1,2,3,4，∴X的分布列為X01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(8,27)eq\f(8,81)eq\f(1,81)E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).4．解(1)依題意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，“中老年人”共有100－45＝55(人)，2×2列聯(lián)表如下：年齡是否關(guān)注合計關(guān)注不關(guān)注青少年人153045中老年人352055合計5050100零假設(shè)為H0：關(guān)注“兩會”與年齡無關(guān)．結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得χ2＝eq\f(100×20×15－30×352,50×50×55×45)≈9.091>6.635＝x0.01，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為關(guān)注“兩會”與年齡有關(guān)．(2)依題意可知，樣本中青少年人關(guān)注“兩會”的有15人，不關(guān)注“兩會”的有30人，采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取6人，則關(guān)注“兩會”的抽取2人，不關(guān)注“兩會”的抽取4人，則X的所有可能取值為0,1,2，所以P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，故隨機變量X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.5.解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B(yǎng)類問題.6.解(1)由題意知，樣本中僅使用A的學生有18＋9＋3＝30(人)，僅使用B的學生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人，故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有100－30－25－5＝40(人).所以從全校學生中隨機抽取1人，該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的所有可能值為0，1，2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知，事件C，D相互獨立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6，所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.P(X＝1)＝P(Ceq\o(D,\s\up6(－))∪eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(C)P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\a\vs4\al(\o(C,\s\up6(－)))eq\a\vs4\al(\o(D,\s\up6(－))))＝P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝0.24.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人，他們本月的支付金額大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以認為有變化.理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生，就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認為有變化.答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還有是可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.7.解(1)根據(jù)題圖可知，設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為5×(0.008×17.5＋0.032×22.5＋0.080×27.5＋0.024×32.5＋0.036×37.5＋0.020×42.5)＝30.2.根據(jù)設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)估計設(shè)備改造前總體的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為30.2.(2)根據(jù)樣本的頻率分布估計總體的概率分布，合格的樣本中一、二、三等品的頻率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，故從所有合格產(chǎn)品中隨機抽一件，抽到一、二、三等品的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6).易知隨機變量X的取值為240，300，360，420，480，則P(X＝240)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36)，P(X＝300)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9)，P(X＝360)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,18)，P(X＝420)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝480)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以隨機變量X的分布列為X240300360420480Peq\f(1,36)eq\f(1,9)eq\f(5,18)eq\f(1,3)eq\f(1,4)所以E(X)＝240×eq\f(1,36)＋300×eq\f(1,9)＋360×eq\f(5,18)＋420×eq\f(1,3)＋480×eq\f(1,4)＝400.8.解(1)2×2列聯(lián)表如下：不少于60元少于60元總計男124052女182038總計306090零假設(shè)為H0：購買金額是否少于60元與性別無關(guān).χ2＝eq\f(90×（12×20－40×18）2,52×38×30×60)＝eq\f(1440,247)≈5.83>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，因此能在犯錯誤的概率不超過0.05的情況下認為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).(2)X的所有可能取值為65，70，75，80，且p＝eq\f(10＋20,90)＝eq\f(1,3).P(X＝65)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(X＝70)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X＝75)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)，P(X＝80)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，X的分布列為X65707580Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)E(X)＝65×eq\f(1,27)＋70×eq\f(2,9)＋75×eq\f(4,9)＋80×eq\f(8,27)＝75.優(yōu)化提升9.解(1)因為該混合樣本達標的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,9)，所以根據(jù)對立事件可知，混合樣本化驗結(jié)果不達標的概率為1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).(2)①方案一：逐個化驗，化驗次數(shù)為4.方案二：由(1)知，每組兩個樣本化驗時，若達標則化驗次數(shù)為1，概率為eq\f(8,9)；若不達標則化驗次數(shù)為3，概率為eq\f(1,9).故將方案二的化驗次數(shù)記為ξ2，ξ2的所有可能取值為2，4，6.P(ξ2＝2)＝eq\f(8,9)×eq\f(8,9)＝eq\f(64,81)，P(ξ2＝4)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(8,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(16,81)，P(ξ2＝6)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,81)，其分布列如下：ξ2246Peq\f(64,81)eq\f(16,81)eq\f(1,81)所以方案二的期望E(ξ2)＝2×eq\f(64,81)＋4×eq\f(16,81)＋6×eq\f(1,81)＝eq\f(198,81)＝eq\f(22,9).方案四：混在一起化驗，記化驗次數(shù)為ξ4，ξ4的所有可能取值為1，5.P(ξ4＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(64,81)，P(ξ4＝5)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),