大學(xué)數(shù)學(xué)微積分入門故事征文

大學(xué)數(shù)學(xué)微積分入門故事征文TOC\o"1-2"\h\u32396第一章微積分的起源與發(fā)展 2109991.1微積分的歷史背景 26221.2微積分的基本概念 228565第二章極限與連續(xù) 3287812.1極限的概念與性質(zhì) 3276962.2函數(shù)的連續(xù)性 3144502.3極限與連續(xù)的應(yīng)用 49657第三章導(dǎo)數(shù)與微分 4301313.1導(dǎo)數(shù)的定義與計算 4216373.1.1導(dǎo)數(shù)的定義 4187493.1.2導(dǎo)數(shù)的計算 5325723.2微分的概念與性質(zhì) 524943.2.1微分的概念 5271133.2.2微分的性質(zhì) 5314283.3高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo) 5252953.3.1高階導(dǎo)數(shù) 537863.3.2隱函數(shù)求導(dǎo) 5695第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 648044.1微分中值定理 6258064.2洛必達(dá)法則 6222914.3導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)分析中的應(yīng)用 614921第五章積分與反積分 7186915.1定積分的概念與性質(zhì) 71145.2反常積分與無窮區(qū)間 750625.3反積分的基本方法 811994第六章定積分的應(yīng)用 8290006.1面積與體積的計算 892046.1.1面積的計算 8161876.1.2體積的計算 8122726.2物理與工程中的應(yīng)用 9166096.2.1物理中的應(yīng)用 994246.2.2工程中的應(yīng)用 9135506.3定積分與微分方程 941686.3.1微分方程的求解 9237556.3.2微分方程的定積分形式 105755第七章多元函數(shù)微分學(xué) 1068957.1多元函數(shù)的極限與連續(xù) 1029427.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分 10186257.3多元函數(shù)的極值與最值問題 102581第八章多重積分 11104798.1二重積分的概念與計算 11310538.2三重積分的概念與計算 11166718.3多重積分在幾何與物理中的應(yīng)用 12第一章微積分的起源與發(fā)展1.1微積分的歷史背景微積分作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，其起源與發(fā)展深受歷史背景的影響。自古以來，人類對自然界的摸索從未停止，而數(shù)學(xué)作為一種描述自然規(guī)律的語言，始終伴人類文明的發(fā)展。在古希臘時期，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)開始研究幾何形狀、比例以及數(shù)的性質(zhì)。但是微積分的真正起源可以追溯到17世紀(jì)。當(dāng)時，歐洲正處于科學(xué)革命的浪潮之中。哥白尼、伽利略、開普勒等科學(xué)家紛紛提出新的理論，挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的宇宙觀。這一時期，數(shù)學(xué)家們也面臨著許多實際問題，如天體運(yùn)動、曲線擬合、變化率等。為了解決這些問題，數(shù)學(xué)家們開始摸索一種新的數(shù)學(xué)方法，這種方法就是微積分。1.2微積分的基本概念微積分的基本概念主要包括極限、導(dǎo)數(shù)、積分和微分方程等。極限是微積分的基石。它描述了當(dāng)自變量趨近某個值時，函數(shù)值的變化趨勢。極限的概念為微積分提供了理論基礎(chǔ)，使得我們可以研究連續(xù)變化的現(xiàn)象。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一。它表示函數(shù)在某一點處的切線斜率，反映了函數(shù)在該點的變化率。導(dǎo)數(shù)在物理、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如速度、加速度、密度等。積分是微積分的另一個核心概念。它表示函數(shù)在某個區(qū)間上的累積和，可以用來求解曲線下的面積、物體的體積等。積分與導(dǎo)數(shù)有著密切的關(guān)系，它們共同構(gòu)成了微積分的基本運(yùn)算。微分方程是微積分在應(yīng)用領(lǐng)域的重要工具。它描述了未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分方程在自然科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如求解物理定律、化學(xué)反應(yīng)速率等。微積分的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們逐漸建立了完善的微積分體系。牛頓和萊布尼茨被認(rèn)為是微積分的創(chuàng)立者，他們分別獨立地提出了微積分的基本原理。此后，微積分在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，成為現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)。在我國，微積分的研究與發(fā)展也取得了舉世矚目的成果，為我國的科技進(jìn)步做出了巨大貢獻(xiàn)。第二章極限與連續(xù)2.1極限的概念與性質(zhì)在微積分的領(lǐng)域中，極限是一個核心概念，它描述了一個函數(shù)（或數(shù)列）當(dāng)自變量（或索引）趨向于某一特定值時，函數(shù)值（或數(shù)列的項）的趨近行為。本節(jié)將介紹極限的基本概念及其性質(zhì)。我們定義極限的概念。設(shè)有函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x趨向于某一特定值a時，若f(x)的值無限接近某一確定的值L，則稱L為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨向于a時的極限。數(shù)學(xué)上，我們用以下符號表示：\[\lim_{x\toa}f(x)=L\]這個定義揭示了極限的幾個基本性質(zhì)：（1）唯一性：若函數(shù)f(x)在x趨向于a時存在極限，則該極限是唯一的。（2）局部性：極限的值僅與函數(shù)在a的鄰域內(nèi)的行為有關(guān)，而與a處的函數(shù)值無關(guān)。（3）保號性：若f(x)在x趨向于a時大于（或小于）0，則f(x)在a的鄰域內(nèi)也大于（或小于）0。（4）和、差、積、商的極限性質(zhì)：若f(x)和g(x)在x趨向于a時分別有極限L和M，則它們的和、差、積、商（當(dāng)分母不為0時）也有極限，且分別為LM、LM、LM、L/M。2.2函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性是極限概念的直接應(yīng)用。直觀地說，如果一個函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)沒有“跳躍”，那么這個函數(shù)就是連續(xù)的。定義上，我們說函數(shù)f(x)在點a處連續(xù)，如果以下三個條件同時滿足：（1）f(a)存在。（2）\[\lim_{x\toa}f(x)\]存在。（3）\[\lim_{x\toa}f(x)=f(a)\]如果函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的每一點都連續(xù)，那么這個函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（當(dāng)分母不為0時）也是連續(xù)的。（2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的。（3）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值。（4）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在滿足一定條件時，可以取到任意兩個值之間的任意值，這稱為介值定理。2.3極限與連續(xù)的應(yīng)用極限與連續(xù)的概念在數(shù)學(xué)分析和實際應(yīng)用中具有廣泛的意義。以下是一些具體的應(yīng)用實例：（1）在物理中，速度和加速度的概念可以通過極限來定義。例如，物體在某一時刻的瞬時速度，就是物體位移關(guān)于時間的極限。（2）在工程中，連續(xù)性的概念可以用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性。例如，一個系統(tǒng)的輸出響應(yīng)如果在其輸入信號連續(xù)變化時也連續(xù)變化，那么這個系統(tǒng)就更加穩(wěn)定。（3）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，連續(xù)性可以幫助我們研究市場均衡。當(dāng)市場需求和供給函數(shù)連續(xù)時，市場均衡點可以通過求解這些函數(shù)的交點來找到。（4）在計算機(jī)科學(xué)中，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可以用于優(yōu)化算法的設(shè)計，例如在尋找函數(shù)的極值點時，連續(xù)性可以保證算法的有效性。通過以上例子，我們可以看到極限與連續(xù)在各個領(lǐng)域中的重要作用，它們不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念，也是解決實際問題的有力工具。第三章導(dǎo)數(shù)與微分3.1導(dǎo)數(shù)的定義與計算導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個基本概念，它描述了函數(shù)在某一點處的局部變化率。本章將從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，討論導(dǎo)數(shù)的計算方法。3.1.1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x_0的某個鄰域內(nèi)有定義，若極限\[\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}\]存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x_0可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點x_0的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x_0)。3.1.2導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的計算通常分為以下幾種情況：（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。（2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：利用鏈?zhǔn)椒▌t計算。（3）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：通過對方程兩邊同時求導(dǎo)，解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（4）分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：分段討論，分別計算每一段的導(dǎo)數(shù)。3.2微分的概念與性質(zhì)微分是導(dǎo)數(shù)的一種線性近似，它描述了函數(shù)在某一點附近的局部變化。3.2.1微分的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x_0可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f'(x_0)與自變量的增量Δx的乘積為函數(shù)在點x_0的微分，記作dy。即：\[dy=f'(x_0)\cdot\Deltax\]3.2.2微分的性質(zhì)（1）微分具有線性性質(zhì)，即滿足微分運(yùn)算的線性規(guī)則。（2）微分具有可積性質(zhì)，即微分的積分等于原函數(shù)。（3）微分具有連續(xù)性，即函數(shù)在某一點可導(dǎo)，則在該點處微分連續(xù)。3.3高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)是導(dǎo)數(shù)與微分的重要應(yīng)用。3.3.1高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例如，二階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記作f''(x)。高階導(dǎo)數(shù)可以描述函數(shù)在某一點的局部變化趨勢。3.3.2隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)是指給定一個方程F(x,y)=0，求解方程關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)y'。隱函數(shù)求導(dǎo)通常采用以下方法：（1）對方程F(x,y)=0兩邊同時求導(dǎo)。（2）解出y'的表達(dá)式。（3）若方程含有多個變量，可用多元函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行求解。通過以上對導(dǎo)數(shù)與微分的討論，我們能夠更好地理解函數(shù)在一點的局部性質(zhì)，為后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.1微分中值定理微分中值定理是微積分中的一個重要內(nèi)容，它揭示了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值之間的關(guān)系。本章將從微分中值定理的基本概念入手，逐步深入探討其在微積分中的應(yīng)用。我們來介紹微分中值定理的基本形式。設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點c∈(a,b)，使得：\[f'(c)=\frac{f(b)f(a)}{ba}\]這個定理說明了在閉區(qū)間[a,b]上，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)至少有一點c處的值等于函數(shù)增量與區(qū)間長度的比值。這一結(jié)論在函數(shù)性質(zhì)分析、優(yōu)化問題等方面具有廣泛的應(yīng)用。4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是一種求解極限問題的方法，它是微分中值定理的一個重要應(yīng)用。當(dāng)函數(shù)f(x)和g(x)在點x0附近連續(xù)，且f(x0)=g(x0)=0時，我們可以使用洛必達(dá)法則來求解極限：\[\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]這個法則將原極限問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)數(shù)之比的極限，從而簡化了求解過程。需要注意的是，洛必達(dá)法則并非適用于所有極限問題，它要求函數(shù)f(x)和g(x)在點x0附近可導(dǎo)，且g'(x)不為0。4.3導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)分析中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)分析中具有重要作用。本節(jié)將介紹導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、凹凸性等方面的應(yīng)用。我們可以通過導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若f'(x)>0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若f'(x)<0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)可以用來求解函數(shù)的極值。設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處取得極值，且f'(x0)存在，那么必有f'(x0)=0。因此，求解函數(shù)極值的關(guān)鍵是尋找導(dǎo)數(shù)為0的點，并判斷這些點是極大值點還是極小值點。導(dǎo)數(shù)還可以用于判斷函數(shù)的凹凸性。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，若f''(x)>0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)凹；若f''(x)<0，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)凸。通過以上分析，我們可以看到導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)分析中的重要作用。掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，有助于我們更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，為解決實際問題提供理論依據(jù)。第五章積分與反積分5.1定積分的概念與性質(zhì)定積分是微積分中的一個重要概念，它源于對函數(shù)圖像下面積的計算。具體來說，給定一個在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，定積分∫[a,b]f(x)dx表示的是由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的圖形的有向面積。定積分具有以下幾個重要性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：定積分具有可加性和線性，即對于任意常數(shù)k和任意函數(shù)f(x)，g(x)，有∫[a,b](kf(x)g(x))dx=k∫[a,b]f(x)dx∫[a,b]g(x)dx。（2）保號性：若在區(qū)間[a,b]上，f(x)≥g(x)，則∫[a,b]f(x)dx≥∫[a,b]g(x)dx。（3）中值定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則存在至少一個點ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(ba)f(ξ)。5.2反常積分與無窮區(qū)間反常積分是指積分區(qū)間為無窮區(qū)間或被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有奇點等性質(zhì)的積分。在處理反常積分時，需要通過極限的方法進(jìn)行計算。無窮區(qū)間上的積分可以通過以下方式處理：（1）定義反常積分∫[a,∞)f(x)dx=lim(∫[a,t]f(x)dx)，其中t→∞。（2）類似地，定義∫(∞,b]f(x)dx=lim(∫[t,b]f(x)dx)，其中t→∞。（3）對于∫(∞,∞)f(x)dx，可以分解為∫(∞,0]f(x)dx∫[0,∞)f(x)dx。5.3反積分的基本方法反積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)的過程。下面介紹幾種基本的反積分方法：（1）直接積分法：對于一些簡單的函數(shù)，如多項式、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等，可以直接利用積分的基本公式進(jìn)行積分。（2）換元積分法：當(dāng)積分中含有復(fù)合函數(shù)時，可以采用換元積分法。換元積分法包括兩種情況：湊微分法和換元法。（3）分部積分法：分部積分法是利用微分法則，將一個復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為一個或多個簡單的積分。具體方法是，對于兩個可導(dǎo)函數(shù)u(x)和v(x)，有∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)∫u'(x)v(x)dx。（4）有理函數(shù)積分法：對于有理函數(shù)的積分，可以采用部分分式法將其分解為簡單的有理函數(shù)之和，然后分別進(jìn)行積分。第六章定積分的應(yīng)用6.1面積與體積的計算在微積分中，定積分的概念為求解函數(shù)圖形與坐標(biāo)軸所圍成的面積提供了一個強(qiáng)有力的工具。以下是定積分在面積與體積計算中的幾個應(yīng)用實例。6.1.1面積的計算設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0。則由曲線y=f(x)與直線x=a、x=b及x軸所圍成的圖形的面積S可表示為定積分：\[S=\int_{a}^f(x)\,dx\]例如，若要求函數(shù)y=x2在區(qū)間[0,1]上與x軸所圍成的面積，我們可以計算定積分：\[S=\int_{0}^{1}x^2\,dx=\frac{1}{3}\]6.1.2體積的計算定積分還可以用于計算旋轉(zhuǎn)體的體積。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0。若將曲線y=f(x)繞x軸旋轉(zhuǎn)，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V可表示為：\[V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2\,dx\]例如，若要求函數(shù)y=x2在區(qū)間[0,1]上繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積，我們可以計算定積分：\[V=\pi\int_{0}^{1}x^4\,dx=\frac{\pi}{5}\]6.2物理與工程中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，以下是一些典型的例子。6.2.1物理中的應(yīng)用在物理學(xué)中，定積分可以用來求解物體的位移、速度、加速度等物理量。例如，若已知物體在某一時間段內(nèi)的速度函數(shù)v(t)，則物體在該時間段內(nèi)的位移s可表示為：\[s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt\]定積分還可以用于求解物體的動能、勢能等。6.2.2工程中的應(yīng)用在工程領(lǐng)域，定積分常用于求解工程問題中的曲線長度、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量等。例如，在機(jī)械設(shè)計中，若已知某一部件的密度分布函數(shù)ρ(x)，則該部件的質(zhì)量m可表示為：\[m=\int_{a}^\rho(x)\,dx\]6.3定積分與微分方程定積分與微分方程之間存在著緊密的聯(lián)系。在某些情況下，微分方程可以通過定積分來求解，反之亦然。6.3.1微分方程的求解對于一階線性微分方程：\[\frac{dy}{dx}P(x)y=Q(x)\]其中P(x)和Q(x)為已知函數(shù)，可以通過定積分求解。具體方法為：（1）對方程兩邊同時乘以e^(∫P(x)dx)，得到：\[e^{\intP(x)dx}\frac{dy}{dx}e^{\intP(x)dx}P(x)y=e^{\intP(x)dx}Q(x)\]（2）對方程兩邊求導(dǎo)，得到：\[\fracueqyrdt{dx}[e^{\intP(x)dx}y]=e^{\intP(x)dx}Q(x)\]（3）對方程兩邊求積分，得到：\[e^{\intP(x)dx}y=\inte^{\intP(x)dx}Q(x)\,dxC\]其中C為常數(shù)。6.3.2微分方程的定積分形式某些微分方程可以通過定積分形式來表示。例如，對于一階線性微分方程：\[\frac{dy}{dx}=f(x)\]其定積分形式為：\[y=\intf(x)\,dxC\]其中C為常數(shù)。通過定積分形式，我們可以直觀地理解微分方程的幾何意義。第七章多元函數(shù)微分學(xué)7.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)在微積分中，我們已經(jīng)討論了一元函數(shù)的極限與連續(xù)性，那么在多元函數(shù)中，這些概念又將如何延伸呢？我們來看多元函數(shù)的極限。設(shè)有二元函數(shù)f(x,y)，若點P(x,y)在定義域D內(nèi)任意接近點Po(x0,y0)時，f(x,y)的函數(shù)值無限接近某一確定的值A(chǔ)，那么我們就說A是f(x,y)當(dāng)x→x0，y→y0時的極限。7.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分在一元函數(shù)中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和微分，那么在多元函數(shù)中，我們將引入偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。偏導(dǎo)數(shù)是指多元函數(shù)在某一個變量變化而其他變量保持不變時的導(dǎo)數(shù)。對于二元函數(shù)z=f(x,y)，我們分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，記為?f/?x和?f/?y。全微分是指多元函數(shù)所有偏導(dǎo)數(shù)的乘以各自變量的微分之和。對于二元函數(shù)z=f(x,y)，其全微分為dz=(?f/?x)dx(?f/?y)dy。7.3多元函數(shù)的極值與最值問題在多元函數(shù)微分學(xué)中，我們還需要研究多元函數(shù)的極值與最值問題。我們來看極值。對于二元函數(shù)z=f(x,y)，若在點Po(x0,y0)的某個鄰域內(nèi)，f(x,y)的值都小于或等于f(x0,y0)，那么Po(x0,y0)就稱為f(x,y)的極大值點；反之，若f(x,y)的值都大于或等于f(x0,y0)，那么Po(x0,y0)就稱為f(x,y)的極小值點。我們討論最值。對于定義在閉區(qū)域D上的二元函數(shù)f(x,y)，若存在點Po(x0,y0)，使得對任意點P(x,y)∈D，都有f(x0,y0)≤f(x,y)，那么Po(x0,y0)就稱為f(x,y)在D上的最大值點；若f(x0,y0)≥f(x,y)，那么Po(x0,y0)就稱為f(x,y)在D上的最小值點。通過對多元函數(shù)的極值與最值問題的研究，我們可以更好地理解和解決實際問題，如優(yōu)化問題、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題等。第八章多重積分8.1二重積分的概念與計算在微積分中，我們常常需要計算函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的積分。對于二元函數(shù)，我們引入了二重積分的概念。設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D上連續(xù)，我們將D劃分為n個小區(qū)域，每個小區(qū)域的面積記為ΔS_i。在每個小區(qū)域內(nèi)任取一點(ξ_i,η_i)，計算函數(shù)在這些點的值與相應(yīng)小區(qū)域面積的乘積之和，即Σf(ξ_i,η_i)ΔS_i。當(dāng)n趨于無窮大，小區(qū)域面積之和趨于區(qū)域D的面積S_D時，若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)