新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點(diǎn)題型第12講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合（學(xué)生版）

第12講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合真題展示2022新高考一卷第12題已知函數(shù)SKIPIF1<0及其導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0（4） D．SKIPIF1<0（2）考查目標(biāo)試題以抽象函數(shù)作為背景，考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等基礎(chǔ)知識.試題考查了考生分析問題的能力和運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識解決問題的能力.作為新高考試卷的壓軸選擇題，試題緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，力圖引導(dǎo)教學(xué)，符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求．試題將導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，設(shè)計新穎，具有較好的選拔功能.試題亮點(diǎn)以往試題中考查抽象函數(shù)性質(zhì)的問題，往往通過特殊值法、單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)論.試題除了考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，還創(chuàng)造性地將導(dǎo)函數(shù)引入其中，這便成為本題的一大亮點(diǎn)；同時多選題的題型設(shè)置也為不同能力層次的考生提供了發(fā)揮的空間．試題源于教材，緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)，對考生的能力能進(jìn)行很好的區(qū)分，具有較好的選拔功能.知識要點(diǎn)整理構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見的構(gòu)造方法有：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx＜x＜ex(x＞0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．方法高考示例思維過程直接構(gòu)造法已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)－x＋alnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個極值點(diǎn)x1，x2，證明：eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2.……(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.由于f(x)的兩個極值點(diǎn)x1，x2滿足x2－ax＋1＝0(函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0)，所以x1x2＝1.不妨設(shè)x1＜x2，則x2＞1(注意原函數(shù)的定義域)．由于eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＝－eq\f(1,x1x2)－1＋aeq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝－2＋aeq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝－2＋aeq\f(－2lnx2,\f(1,x2)－x2)，所以eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2等價于eq\f(1,x2)－x2＋2lnx2＜0.【關(guān)鍵1：將所證不等式進(jìn)行變形與化簡】設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\f(1,x)－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性】又g(1)＝0，從而當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，所以eq\f(1,x2)－x2＋2lnx2＜0，即eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a－2.【關(guān)鍵3：結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)最值，證明不等式】放縮構(gòu)造法已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1.(1)設(shè)x＝2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a≥eq\f(1,e)時，f(x)≥0.……(2)證明：當(dāng)a≥eq\f(1,e)時，f(x)≥eq\f(ex,e)－lnx－1.【關(guān)鍵1：利用不等式性質(zhì)放縮，將a代換掉】設(shè)g(x)＝eq\f(ex,e)－lnx－1，【關(guān)鍵2：利用不等式右邊構(gòu)造函數(shù)】則g′(x)＝eq\f(ex,e)－eq\f(1,x).當(dāng)0＜x＜1時，g′(x)＜0；當(dāng)x＞1時，g′(x)＞0.所以x＝1是g(x)的最小值點(diǎn)．【關(guān)鍵3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值】故當(dāng)x＞0時，g(x)≥g(1)＝0.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】因此，當(dāng)a≥eq\f(1,e)時，f(x)≥0.構(gòu)造雙函數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞1.……(2)證明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋eq\f(2,x)ex－1，從而f(x)＞1等價于xlnx＞xe－x－eq\f(2,e).【關(guān)鍵1：將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，為構(gòu)造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】設(shè)函數(shù)g(x)＝xlnx，則g′(x)＝1＋lnx，所以當(dāng)x∈(0，eq\f(1,e))時，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(eq\f(1,e)，＋∞)時，g′(x)＞0.故g(x)在(0，eq\f(1,e))上單調(diào)遞減，在(eq\f(1,e)，＋∞)上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e).【關(guān)鍵2：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最小值】設(shè)函數(shù)h(x)＝xe－x－eq\f(2,e)，則h′(x)＝e－x(1－x)．所以當(dāng)x∈(0，1)時，h′(x)＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)＜0.故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，＋∞)上的最大值為h(1)＝－eq\f(1,e).【關(guān)鍵3：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值】因為g(x)min＝g(eq\f(1,e))＝h(1)＝h(x)max，所以當(dāng)x＞0時，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】突破疑難點(diǎn)2利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍一般地，若a＞f(x)對x∈D恒成立，則只需a＞f(x)max；若a＜f(x)對x∈D恒成立，則只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，則只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，則只需a＜f(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構(gòu)造不等式求解；另外一種，直接通過導(dǎo)函數(shù)的式子，看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)．提示：求解參數(shù)范圍時，一般會涉及分離參數(shù)法，理科試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常需要設(shè)出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，難度較大．方法高考示例思維過程結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論已知函數(shù)f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，(1＋eq\f(1,2))(1＋eq\f(1,22))…(1＋eq\f(1,2n))＜m，求m的最小值．(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)(求函數(shù)定義域)．①若a≤0，因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)＋aln2＜0，所以不滿足題意．【關(guān)鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】②若a＞0，由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)知，當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】故x＝a是f(x)在(0，＋∞)上的唯一最小值點(diǎn)．由于f(1)＝0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時，f(x)≥0，故a＝1.……設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若對于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．……(2)由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對于任意x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）－f（0）≤e－1，,f（－1）－f（0）≤e－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(em－m≤e－1，,e－m＋m≤e－1.))①【關(guān)鍵1：利用充要條件把不等式恒成立等價轉(zhuǎn)化】設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，并求導(dǎo)】當(dāng)t＜0時，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1，1]時，g(t)≤0.【關(guān)鍵3：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】故當(dāng)m∈[－1，1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；當(dāng)m＞1時，由g(t)的單調(diào)性，知g(m)＞0，即em－m＞e－1；當(dāng)m＜－1時，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.【關(guān)鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】綜上，m的取值范圍是[－1，1].由導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)直接分類討論函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求a的取值范圍．……(2)當(dāng)a＞0，x＞0時，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0.【關(guān)鍵1：函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】故當(dāng)a＞0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)．當(dāng)a＜0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－eq\f(5,4)≤a＜0.【關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合需滿足的條件，求解關(guān)于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍】綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(5,4)，0))∪(0，＋∞).突破疑難點(diǎn)3兩法破解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題兩類零點(diǎn)問題的不同處理方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判斷一個零點(diǎn)時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)＜0；②分類討論法：判斷幾個零點(diǎn)時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)＜0.方法高考示例思維過程直接法(2017·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax2－ax－xlnx，且f(x)≥0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e－2＜f(x0)＜2－2.……(2)證明：由(1)知f(x)＝x2－x－xlnx，f′(x)＝2x－2－lnx.設(shè)h(x)＝2x－2－lnx，則h′(x)＝2－eq\f(1,x).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))時，h′(x)＜0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))時，h′(x)＞0.所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】又h(e－2)＞0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，h(1)＝0，所以h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))上有唯一零點(diǎn)x0，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(1,2)，＋∞))上有唯一零點(diǎn)1，【關(guān)鍵2：利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置】且當(dāng)x∈(0，x0)時，h(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，1)時，h(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h(x)＞0.因為f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)．由f′(x0)＝0得lnx0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0)．由x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，eq\f(1,2)))得f(x0)＜eq\f(1,4).【關(guān)鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】因為x＝x0是f(x)在(0，1)上的最大值點(diǎn)，由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)＞f(e－1)＝e－2，所以e－2＜f(x0)＜2－2.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】分類討論法已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，g(x)＝－lnx.(1)當(dāng)a為何值時，x軸為曲線y＝f(x)的切線；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x＞0)，討論h(x)零點(diǎn)的個數(shù)．……(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g(x)＝－lnx＜0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上無零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：對x的取值分類討論，適當(dāng)放縮，判斷h(x)的符號，確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)】當(dāng)x＝1時，若a≥－eq\f(5,4)，則f(1)＝a＋eq\f(5,4)≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點(diǎn)；若a＜－eq\f(5,4)，則f(1)＜0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)＜0，故x＝1不是h(x)的零點(diǎn)．【關(guān)鍵2：當(dāng)x的取值固定時，對參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號得到零點(diǎn)個數(shù)】當(dāng)x∈(0，1)時，g(x)＝－lnx＞0，所以只需考慮f(x)在(0，1)上的零點(diǎn)個數(shù)．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0，1)上無零點(diǎn)，故f(x)在(0，1)上單調(diào)．而f(0)＝eq\f(1,4)，f(1)＝a＋eq\f(5,4)，所以當(dāng)a≤－3時，f(x)在(0，1)上有一個零點(diǎn)；當(dāng)a≥0時，f(x)在(0，1)上沒有零點(diǎn)．(ⅱ)若－3＜a＜0，則f(x)在(0，eq\r(－\f(a,3)))上單調(diào)遞減，在(eq\r(－\f(a,3))，1)上單調(diào)遞增，故在(0，1)上，當(dāng)x＝eq\r(－\f(a,3))時，f(x)取得最小值，最小值為f(eq\r(－\f(a,3)))＝eq\f(2a,3)eq\r(－\f(a,3))＋eq\f(1,4).①若f(eq\r(－\f(a,3)))＞0，即－eq\f(3,4)＜a＜0，則f(x)在(0，1)上無零點(diǎn)；②若f(eq\r(－\f(a,3)))＝0，即a＝－eq\f(3,4)，則f(x)在(0，1)上有唯一零點(diǎn)；③若f(eq\r(－\f(a,3)))＜0，即－3＜a＜－eq\f(3,4)，由于f(0)＝eq\f(1,4)，f(1)＝a＋eq\f(5,4)，所以當(dāng)－eq\f(5,4)＜a＜－eq\f(3,4)時，f(x)在(0，1)上有兩個零點(diǎn)；當(dāng)－3＜a≤－eq\f(5,4)時，f(x)在(0，1)上有一個零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：當(dāng)x的取值固定在一個范圍內(nèi)時，對參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)個數(shù)】綜上，當(dāng)a＞－eq\f(3,4)或a＜－eq\f(5,4)時，h(x)有一個零點(diǎn)；當(dāng)a＝－eq\f(3,4)或a＝－eq\f(5,4)時，h(x)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)－eq\f(5,4)＜a＜－eq\f(3,4)時，h(x)有三個零點(diǎn).突破疑難點(diǎn)4兩法破解由零點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)問題已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．方法高考示例思維過程由導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)分類討論已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一個零點(diǎn)，求a.……(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，＋∞)只有一個零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為h(x)的零點(diǎn)情況】(ⅰ)當(dāng)a≤0時，h(x)＞0，h(x)沒有零點(diǎn)．(ⅱ)當(dāng)a＞0時，h′(x)＝ax(x－2)e－x.【關(guān)鍵2：對參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況】當(dāng)x∈(0，2)時，h′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，h′(x)＞0.所以h(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．故h(2)＝1－eq\f(4a,e2)是h(x)在(0，＋∞)的最小值．【關(guān)鍵3：分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值】①若h(2)＞0，即a＜eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)沒有零點(diǎn)；②若h(2)＝0，即a＝eq\f(e2,4)，h(x)在(0，＋∞)只有一個零點(diǎn)；③若h(2)＜0，即a＞eq\f(e2,4)，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一個零點(diǎn)．由(1)知，當(dāng)x＞0時，ex＞x2，所以h(4a)＝1－eq\f(16a3,e4a)＝1－eq\f(16a3,（e2a）2)＞1－eq\f(16a3,（2a）4)＝1－eq\f(1,a)＞0.故h(x)在(2，4a)有一個零點(diǎn)．因此h(x)在(0，＋∞)有兩個零點(diǎn)．【關(guān)鍵4：對函數(shù)最小值的符號分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況，求出參數(shù)值】綜上，f(x)在(0，＋∞)只有一個零點(diǎn)時，a＝eq\f(e2,4).直接分類討論已知函數(shù)f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍．……(2)(ⅰ)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點(diǎn)．【關(guān)鍵1：針對f(x)解析式的特點(diǎn)，可對參數(shù)a直接分類討論】(ⅱ)若a＞0，由(1)知，當(dāng)x＝－lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(－lna)＝1－eq\f(1,a)＋lna.【關(guān)鍵2：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，進(jìn)而根據(jù)最小值直接判斷零點(diǎn)的情況】①當(dāng)a＝1時，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一個零點(diǎn)；②當(dāng)a∈(1，＋∞)時，由于1－eq\f(1,a)＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)沒有零點(diǎn)；③當(dāng)a∈(0，1)時，1－eq\f(1,a)＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)上有一個零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)n0滿足n0＞ln(eq\f(3,a)－1)，則f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln(eq\f(3,a)－1)＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)上有一個零點(diǎn)．【關(guān)鍵3：對參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)取值范圍】綜上，a的取值范圍為(0，1).三年真題一、單選題1．設(shè)SKIPIF1<0分別是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線的傾斜角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，SKIPIF1<0的圖像如圖所示，則SKIPIF1<0的圖像最有可能的是（

）A． B．C． D．5．當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．16．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則（

）A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－17．用計算器驗算函數(shù)SKIPIF1<0的若干個值，可以猜想下列命題中的真命題只能是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調(diào)減函數(shù) B．SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值 D．SKIPIF1<08．SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足SKIPIF1<0．對任意正數(shù)a，b，若SKIPIF1<0，則必有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A9．下列四個命題中，不正確的是（

）A．若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)，則SKIPIF1<0B．函數(shù)SKIPIF1<0的不連續(xù)點(diǎn)是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0C．若函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．SKIPIF1<010．若SKIPIF1<0，則常數(shù)a，b的值為（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<011．函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的最小值、最大值分別為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題13．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0有兩個極值點(diǎn) B．SKIPIF1<0有三個零點(diǎn)C．點(diǎn)SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的對稱中心 D．直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的切線14．已知函數(shù)SKIPIF1<0及其導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域均為SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為偶函數(shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三年模擬多選題1．已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函數(shù)B．SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則正實數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<03．對于三次函數(shù)SKIPIF1<0，給出定義：設(shè)SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)，若方程SKIPIF1<0有實數(shù)解SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù)SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有且僅有3個零點(diǎn)C．點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的對稱中心D．SKIPIF1<04．下列不等式關(guān)系成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則下列說法正確的是（

）A．若實數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩個不同的極值點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是SKIPIF1<0C．若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)，則SKIPIF1<0D．若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0中心對稱，則SKIPIF1<06．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．存在一個實數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0C．對于任意的實數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0無極值點(diǎn)D．當(dāng)SKIPIF1<0時，若曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<07．已知函數(shù)SKIPIF1<0則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極值點(diǎn)B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立C．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有2個零點(diǎn)D．若SKIPIF1<0是關(guān)于x的方程SKIPIF1<0的2個不等實數(shù)根，則SKIPIF1<08．關(guān)于函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0存在唯一極小值點(diǎn)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均存在零點(diǎn)D．存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點(diǎn)9．已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)a的可能取值為（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SK