2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題09數(shù)列求和方法之裂項(xiàng)相消法教師版

專題09數(shù)列求和方法之裂項(xiàng)相消法一、單選題1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿意，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先依據(jù)得到，設(shè)，再利用裂項(xiàng)求和即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.檢驗(yàn)，所以.設(shè)，前項(xiàng)和為，則.故選：C2．談祥柏先生是我國(guó)聞名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告知我們，古埃及人喜愛運(yùn)用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.則下列埃及分?jǐn)?shù)，，，…，的和是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求和.【詳解】因?yàn)?，故選：B3．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若恒成立，則的最小值為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】由，求得，又由，求得，求得，得到，進(jìn)而求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，整理得，即，由，可得，即，所以，所以，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，故的最小值?.故選：A.【點(diǎn)睛】若把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在去和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而取得前和，其中常見裂項(xiàng)的技巧：①；②；③；④；⑤.4．定義為個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，又，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合新定義的概念求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后利用前n項(xiàng)和求解通項(xiàng)公式，最終裂項(xiàng)求和即可求得最終結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由題意可得：，則：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，據(jù)此可得，故，，據(jù)此有：故選：D5．已知數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用倒數(shù)法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】已知數(shù)列滿意，，在等式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，則，，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】運(yùn)用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要留意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不行漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．二、解答題6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由得到，兩式相減，然后再利用累積法求解.（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，整理得．故．當(dāng)時(shí)，滿意上式，故．（2），，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(5)錯(cuò)位相減法：假如一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采納兩項(xiàng)合并求解．7．?dāng)?shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)合條件可得，即可得（），閱歷證可得（），從而數(shù)列是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列，可得出答案.

（2）用裂項(xiàng)相消可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以，故（）.又因?yàn)椋?，所以，故（），所以?shù)列是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列，故.（2），所以.8．等差數(shù)列各項(xiàng)都為正數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得，即可得，再結(jié)合，即可得是等差數(shù)列，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和即可，.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以，故.又因?yàn)?，，所以，故，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：假如一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：假如一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采納兩項(xiàng)合并求解.9．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）或，；（2）證明見解析．【分析】（1）是等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，，成等比數(shù)列，列方程解出公差，進(jìn)而得出數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，與原式作差得數(shù)列；（2），利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出放縮后的數(shù)列和，即可證得不等式成立．【詳解】（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，解得或，故或，令，得，當(dāng)時(shí)，，與原式作差得，，驗(yàn)證得滿意通項(xiàng)，故．（2）因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列，由（1）可知，，則，即，不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的放縮與求和，考查了學(xué)生計(jì)算實(shí)力，數(shù)列求和的方法有：1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可；2.裂項(xiàng)相消法，通過把數(shù)列的通項(xiàng)公式拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；3.錯(cuò)位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時(shí)運(yùn)用此方法；4.倒序相加法，假如一個(gè)數(shù)列滿意首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和相等，可以運(yùn)用此方法求和．10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知、、成等差數(shù)列，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，的前項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）8．【分析】（1）本題首先可依據(jù)、、成等差數(shù)列得出以及，然后兩式相減，得出，最終依據(jù)求出，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）本題可依據(jù)題意得出并將其轉(zhuǎn)化為，然后通過裂項(xiàng)相消法求和得出，最終依據(jù)得出，通過計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，當(dāng)，有，兩式相減，可得，即，由題意易知，故是公比為2的等比數(shù)列，，因?yàn)椋裕獾?，故的通?xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)?，所以，解得，故成立的最大正整?shù)的值為8.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和，考查等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，常見的裂項(xiàng)有、、等，考查計(jì)算實(shí)力，是中檔題.11．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）依據(jù)條件，可得數(shù)列的公差為整數(shù)，且，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可得的關(guān)系，即可求得d的值，代入公式即可得答案；（2）由知：，可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可得答案.【詳解】（1）由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù)，又，故，即：解得：，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，.（2）由（1）知：，，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求通項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和，常見的裂項(xiàng)技巧：（1）；（2）；（3）；（4）；裂項(xiàng)時(shí)，簡(jiǎn)單出現(xiàn)多項(xiàng)或丟項(xiàng)的問題，需留意，考查分析理解，計(jì)算求值的實(shí)力，屬中檔題.12．給出下列三個(gè)條件：①，，成等差數(shù)列；②；.③對(duì)于，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，其中為常數(shù).請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并求解.設(shè)是一個(gè)公比為的等比數(shù)列，且它的首項(xiàng)，（填所選條件序號(hào)）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求【答案】選擇見解析；（1）；（2）.【分析】（1）若選①：解得，即得數(shù)列的通項(xiàng)；若選②：解得公比，即得數(shù)列的通項(xiàng)；若選③：求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）求得，再利用裂項(xiàng)相消求出數(shù)列的前項(xiàng)和為.【詳解】（1）若選①：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，即解得或（舍去）又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式若選②：，因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，所以，即解得或（舍去）所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為若選③：點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）證明：因?yàn)?，所以所以所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）分組求和法；（4）裂項(xiàng)相消法；（5）倒序相加法.要依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特征，敏捷選用，仔細(xì)計(jì)算.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，所以，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法干脆求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，，成等比數(shù)列．（1）求和；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，由求出，即可求解；（2）由，可得，利用裂項(xiàng)相消求和求出，再利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列的單調(diào)性即可求證.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，由，得，則所以解得，，所以，．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)閱握{(diào)遞增．所以，綜上，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：假如一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：假如一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如an=(?1)nf(n)類型，可采納兩項(xiàng)合并求解.15．已知數(shù)列，，滿意，，，.（1）若為等比數(shù)列，公比，且，求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為等差數(shù)列，且，證明，.【答案】（1）；；（2）證明見解析.【分析】（1）先由題設(shè)求得，從而求得及，然后求得，再利用疊加法求得即可；（2）先由題設(shè)求得等差數(shù)列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最終利用裂項(xiàng)相消法求得，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）解：由題設(shè)知：，解得：或（舍，，，，，即，，，，，，，，，，將以上式子相加可得：，，，，又當(dāng)時(shí)，也適合，；（2）證明：，，，公差，，，，，，，，，，將以上式子相乘可得：，，，，，又當(dāng)時(shí)，也適合上式，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題主要考查數(shù)列的問題，方法如下：（1）利用疊加法求通項(xiàng)公式；（2）累乘法求通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)相消法求和.16．已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，數(shù)列滿意，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若的前項(xiàng)和，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）先求出，再得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得；（2）由題得，利用裂項(xiàng)相消求出，再利用單調(diào)性求解.【詳解】（1）令，則，所以，令，則，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以.因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，②由①-②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以，（2）由（1）可知，所以，因?yàn)殡S著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法.要依據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特征，敏捷選擇方法求和.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）依據(jù)得兩式作差，得出，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（2）先由（1）得到，由裂項(xiàng)相消的方法求出，進(jìn)而可得結(jié)論成立.【詳解】（1）∵①∴②，①-②得：，；∴數(shù)列是首項(xiàng)和公比都為的等比數(shù)列，于是，.（2）由（1）得，∴，∴.又易知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，而，所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無(wú)理型；（3）指數(shù)型；（4）對(duì)數(shù)型.18．?dāng)?shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證：.【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.【分析】（1）由，化簡(jiǎn)得到，依據(jù)等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得.（2）由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)法，求得數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可作出證明.【詳解】（1）由題意，數(shù)列中，，，可得，即，又由，可得，所以是以2為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得，所以.（2）由（1）可得，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，又因?yàn)?，所以，所以，?【點(diǎn)睛】關(guān)于裂項(xiàng)法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項(xiàng)：視察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式；累加：將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加；消項(xiàng)：將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前項(xiàng)和.2、消項(xiàng)的規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).19．已知等比數(shù)列的公比，且滿意，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）依據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解出與的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再依據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先分為奇數(shù)和為偶數(shù)分別計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求前項(xiàng)和時(shí)，對(duì)奇數(shù)項(xiàng)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)偶數(shù)項(xiàng)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，最終相加進(jìn)行計(jì)算即可得到前項(xiàng)和.【詳解】（1）依題意，由，，可得，因?yàn)?，所以解得，，，，?duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿意上式，，.（2）由題意及（1），可知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，，則，，，兩式相減，可得，，，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：其次問中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，求出，并對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)為是解題關(guān)鍵，本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類探討思想，轉(zhuǎn)化與化歸實(shí)力，整體思想，裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，以及邏輯推理實(shí)力和數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.本題屬中檔偏難題.20．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1＝1且S1，S3，S10－1成等比數(shù)列.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使得Tn>成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）6.【分析】（1）由，，成等比數(shù)列，得，再利用首項(xiàng)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法求出，然后解不等式可求出的最大值.【詳解】（1），，成等比數(shù)列，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，又，，即，又公差，，.（2）由（1）知，，，由可得：，故要使得成立，則的最小值為6.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，考查等比中項(xiàng)的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.21．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)條件列出關(guān)于的不等式，再依據(jù)為整數(shù)確定出的值，從而的通項(xiàng)公式可求；（2）先計(jì)算出的通項(xiàng)公式，然后采納裂項(xiàng)相消的方法求解出的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意可知，且，∴，解得，∵為整數(shù)，∴，∴的通項(xiàng)公式為.（2）∵，∴.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的數(shù)列中可進(jìn)行裂項(xiàng)相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.22．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)寫出，通過作差以及化簡(jiǎn)說明為等差數(shù)列，并求解出通項(xiàng)公式；（2）將的通項(xiàng)公式變形為，采納裂項(xiàng)相消法求解出的結(jié)果.【詳解】(1)由又有，，兩式相減得因?yàn)?，所以又，，解得，滿意因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為所以(2)所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的數(shù)列中可進(jìn)行裂項(xiàng)相消的形式：（1）；（2）；（3）；（4）.23．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列和等比數(shù)列滿意，且，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）若，求.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）依據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的公比，由此求得數(shù)列，的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】(1)因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以可設(shè)公差為d，則，所以，.因?yàn)椋?，解得?又等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以不合題意，舍去，所以.因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，所以可設(shè)公比為，則.因?yàn)椋?，解得，滿意各項(xiàng)均為正數(shù)，所以.(2)由(1)知，所以.所以.24．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿意，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿意，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的最大值.【答案】（1），，；（2）9.【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列基本量運(yùn)算，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，依據(jù)遞推關(guān)系，多遞推一項(xiàng)再相減，即可得答案；（2）求出，再進(jìn)行等差數(shù)列求和及裂項(xiàng)相消求和；【詳解】（1）為等差數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，解得，，所?因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，，.（2），所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，為關(guān)于的遞增數(shù)列，，，所以的最大值為9.【點(diǎn)睛】已知數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和的遞推關(guān)系，常采納多遞推一項(xiàng)再相減的思想；通過探討數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而探討數(shù)列項(xiàng)的最值或解不等式，是常用的方法.25．已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿意（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）依據(jù)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)上式也符合.所以.（2）由題意知，可設(shè)則.三、填空題26．已知數(shù)列滿意，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和________.【答案】【分析】先依據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得，進(jìn)而得，再依據(jù)裂項(xiàng)相消求和法求解即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，兩式相減得，當(dāng)時(shí)也滿意，故，，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，裂項(xiàng)相消求和.解題的關(guān)鍵在于依據(jù)已知條件得的前項(xiàng)和為，再依據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求得，進(jìn)而再依據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可.考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.27．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為_________【答案】．【分析】先依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可列出關(guān)于a1和d的方程組，解出a1和d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，即求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求出前2024項(xiàng)和．【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則，解得．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1+（n﹣1）×1＝n，n∈N*．∴=．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝2（1）＝2（1）．∴T2024．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主