數(shù)學(xué)課堂探究：頻率與概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系剖析：根據(jù)它們的概念可知，頻率因試驗的不同而不同,而概率則不因試驗的不同而改變．頻率是指在已經(jīng)發(fā)生的隨機(jī)事件中，某一個隨機(jī)事件在整個隨機(jī)事件中所占的比例．概率是由大量數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)論，講的是一種大的整體的趨勢；而頻率是較少數(shù)據(jù)統(tǒng)計的結(jié)果，是一種具體的趨勢和規(guī)律．舉例來說，擲一枚硬幣,正面和反面出現(xiàn)的概率相等，都是eq\f(1，2)，這是經(jīng)過上百萬次試驗取得的理論數(shù)據(jù)．但某人只擲20次,正面出現(xiàn)的頻率為eq\f(13,20)，反面出現(xiàn)的頻率僅為eq\f（7,20）。概率和頻率的關(guān)系是整體和具體、理論和實踐的關(guān)系．頻率隨著隨機(jī)試驗次數(shù)的增加，會趨向于概率．在處理具體的隨機(jī)事件時,用概率作指導(dǎo)，以頻率為依據(jù)．如果隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗中發(fā)生了m次,則稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率．如果隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，則稱為事件A發(fā)生的概率．概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量，是隨機(jī)事件自身的一個屬性．頻率是通過反復(fù)試驗“測量”出來的,當(dāng)試驗次數(shù)相當(dāng)大時，頻率就會“靠近”概率．2．教材中的“思考與討論"“某彩票的中獎概率為eq\f（1,1000）”是否意味著買1000張彩票就一定能中獎？剖析:買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗,結(jié)果可能是一次獎也沒中，或多次中獎，所以“彩票中獎概率為eq\f(1，1000）”并不意味著買1000張彩票就一定能中獎,這一數(shù)據(jù)只是一個理論上的可能性的大小．題型一概率概念的理解【例1】有人說：“擲一枚骰子一次得到的點數(shù)是2的概率是eq\f（1,6)，這說明擲一枚骰子6次會出現(xiàn)一次點數(shù)是2。"對此說法，在同學(xué)中出現(xiàn)了兩種不同的看法：一些同學(xué)認(rèn)為這種說法是正確的．他們的理由是：因為擲一枚骰子一次得到點數(shù)是2的概率是eq\f（1，6），所以擲一枚骰子6次得到一次點數(shù)是2的概率P＝eq\f(1,6)×6＝1,即“擲一枚骰子6次會出現(xiàn)一次點數(shù)是2”是必然事件,一定發(fā)生．還有一些同學(xué)覺得這種說法是錯誤的，但是他們卻講不出是什么理由來．你認(rèn)為這種說法對嗎?請說出你的理由．分析：正確理解隨機(jī)事件概率的意義是解此題的關(guān)鍵．解：這種說法是錯誤的．上述認(rèn)為說法正確的同學(xué)，其計算概率的方法自然也是錯誤的．為了弄清這個問題，我們不妨用類比法，即把問題變換一下說法．原題中所說的問題，類似于“在一個不透明的盒子里放有6個標(biāo)有數(shù)字1,2,3，4,5，6的同樣大小的球，從盒中摸一個球恰好摸到2號球的概率是eq\f(1,6).那么摸6次球是否一定會摸到一次2號球呢?”在這個摸球問題中，顯然還缺少一個摸球的規(guī)則，即每次摸到的球是否需要放回盒子里？顯然，如果摸到后不放回,那么摸6次球一定會摸到一次2號球．如果摸到球后需要放回，那么摸6次球就不一定會摸到一次2號球了．由此看來，我們先要弄清這個摸球問題與上面的擲骰子問題是否完全類同，是否應(yīng)當(dāng)有每次摸到的球還要放回盒子里的要求．我們先看看上面擲骰子問題中的規(guī)則吧，在擲骰子問題中,表面上好像沒寫著什么規(guī)則，但實際上卻藏有一個自然的規(guī)則，即第一次如果擲得某個數(shù)（如3)，那么后面還允許繼續(xù)擲得這個相同的數(shù)．于是摸球問題要想與擲骰子問題中的規(guī)則相同,顯然每次摸到的球必須要放回盒子里才妥當(dāng)．那么摸6次球就不一定會摸到一次2號球了．反思隨機(jī)事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映，認(rèn)識了這種隨機(jī)中的規(guī)律性，可以幫助我們預(yù)測事件發(fā)生的可能性的大?。珜σ欢〝?shù)量n次的試驗來說，某事件發(fā)生的頻率并不一定與概率完全相同。題型二隨機(jī)事件的頻率與概率【例2】某籃球運動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712進(jìn)球頻率eq\f（m，n）(1)計算表中進(jìn)球的頻率；（2)這位運動員投籃一次進(jìn)球的概率大約是多少？分析：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m，n）.當(dāng)n很大時,eq\f（m,n）總在某個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)叫做事件A的概率．所以先計算eq\f（m,n），再仔細(xì)觀察這個常數(shù)為多少．解：(1)依據(jù)公式可算出表中進(jìn)球的頻率依次為eq\f（3，4）,eq\f（4，5)，eq