初一上角度計(jì)算專題(含答案)

初一上角度計(jì)算專題(含答案)角度計(jì)算能力專項(xiàng)練習(xí)1．已知：如圖示，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線．（1）求∠MON的大??；（2）當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時(shí)，∠MON的大小是否發(fā)生改變？為什么？2．如圖示，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）若將條件“∠AOB是直角，∠BOC=60°”改為：∠AOB=x°，∠EOF=y°，其它條件不變．①則請(qǐng)用x的代數(shù)式來(lái)表示y；②如果∠AOB+∠EOF=156°．則∠EOF是多少度？3．如圖，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從（1）、（2）、（3）的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律？

4．（1）如圖所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；（2）如（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，其它條件不變，請(qǐng)用求α或β來(lái)表示∠MON的度數(shù)．5．如圖所示，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）試判斷∠BOE和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)說(shuō)你的理由．6．如圖所示，O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=120°，則∠DOE=；若∠AOC=140°，則∠DOE=；（2）若∠AOC=α，則∠DOE=（用含α的式子表示），請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

7．如圖所示，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB=90°，∠BOC=60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB=70°，∠BOC=60°時(shí)，∠MON=（直接寫出結(jié)果）．（3）如圖3，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時(shí)，猜想：∠MON=（直接寫出結(jié)果）．8．已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“平分”的條件改為“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度數(shù)為．

9．在學(xué)習(xí)了角的相關(guān)知識(shí)后，老師給張萌留了道作業(yè)題，請(qǐng)你幫助張萌做完這道題．作業(yè)題已知∠MON=100°，在∠MON的外部畫∠AON，OB，BO分別是∠MOA和∠BON的平分線．（題中所有的角都是小于平角的角）（1）如圖1，若∠AON=40°，求∠COA的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AON=120°，求∠COA的度數(shù)．10．已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的條件改為“∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）

11．如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC=60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=60°時(shí)，猜想∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時(shí)，猜想∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如果有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．12．已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF=14°，則∠BOE=；若∠COF=n°，則∠BOE=，∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為；（2）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得∠BOD為直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，請(qǐng)求出∠COF的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13．問(wèn)題引入：（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC=（用α表示）；如圖②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如圖③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC=（用α表示），并說(shuō)明理由．類比研究：（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC=．

14．如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB=；若∠ACB=130°，則∠DCE=；（2）猜想∠ACB與∠DCE大大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖（b），若是兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點(diǎn)O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC=65°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（1）如圖①，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時(shí)，則∠MOC=；（2）如圖②，將三角板MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，此時(shí)OC是∠MOB的角平分線，求旋轉(zhuǎn)角∠BON和∠CON的度數(shù)；（3）將三角板MON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③時(shí)，∠NOC=∠AOM，求∠NOB的度數(shù)．

北師版初一上角度提升參考答案與試題解析一．解答題（共15小題）1．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時(shí)，∠MON的大小不發(fā)生改變．∵=，又∠AOB是直角，∴．2．解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC）﹣∠BOC=∠AOB=45°；（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°．y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．則x+y=156°，y=52°．3．解：（1）∠MON=60°﹣15°=45°；（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，∠MON=α+15°﹣15°=α．（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．∠MON=β+45°﹣β=45°．（4）根據(jù)（1）、（2）、（3）可知∠MON=∠BOC，與∠BOC的大小無(wú)關(guān)．4．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=60°﹣15°=45°，（2）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α．5．解：（1）∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；（2）∠BOE=∠COE，理由如下：∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°．6．解：（1）60°；70°；（2）。（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．7．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）35°．（3）∠MON=α，與β的大小無(wú)關(guān)．8．解：（1）：（1）∠EOF=∠COF+∠EOC=45°；（2）∠EOF=∠COF+∠EOC=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=α；（3）∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COB+∠COA=∠BOC+∠AOC=∠AOB=α．9．解：（1）∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°；（2）∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°．10．（1）∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；（2）∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．11．解：（1）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）∠MON=α，與β的大小無(wú)關(guān)．12．解：（1）28°；2n°；∠BOE=2∠COF．（2）∠BOE=2∠COF；（3）存在．∠COF=×104°=52°（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．13．解：（1）如圖①，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+α；如圖②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=120°+α；（2）如圖③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=120°﹣α；（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=﹣α．故答案為90°+α，120°+α；120°﹣α；﹣α．14．【解答】解：（1）155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β．15．解：（1）25°．（2）∠CON=∠COB﹣∠BON=65°﹣40°=25°．（3）∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°．

20161130北師版初一上角度提升參考答案與試題解析一．解答題（共15小題）1．（2015秋?惠城區(qū)期末）已知：如圖，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分線，OM是∠BOC的平分線．（1）求∠MON的大?。唬?）當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時(shí)，∠MON的大小是否發(fā)生改變？為什么？【分析】（1）根據(jù)∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，再利用OM是∠BOC的平分線，ON是∠AOC的平分線，即可求得答案．（2）根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改變，可得．【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM是∠BOC的平分線，ON是∠AOC的平分線，∴，．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣20°=45°，（2）當(dāng)銳角∠AOC的大小發(fā)生改變時(shí)，∠MON的大小不發(fā)生改變．∵=，又∠AOB是直角，不改變，∴．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查角的計(jì)算和角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2．（2015秋?文安縣期末）如圖，已知∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）若將條件“∠AOB是直角，∠BOC=60°”改為：∠AOB=x°，∠EOF=y°，其它條件不變．①則請(qǐng)用x的代數(shù)式來(lái)表示y；②如果∠AOB+∠EOF=156°．則∠EOF是多少度？【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和角的和差倍分關(guān)系求∠EOF的度數(shù)；（2）①用字母代替數(shù)字理由同（1）；（3）將∠AOB+∠EOF=156°與①的式子聯(lián)立成方程組，可求∠EOF的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC）﹣∠BOC=∠AOB=45°；（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC﹣∠FOC=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOB+∠BOC）﹣∠BOC=∠AOB．即y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．則x+y=156°，又∵y=x．聯(lián)立解得y=52°．即∠EOF是52度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)和角的和差倍分關(guān)系運(yùn)算，用字母代替數(shù)字，由特殊到一般，更具有普遍性．3．（2015秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市期末）如圖所示，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從（1）、（2）、（3）的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律？【分析】（1）先求得∠AOC的度數(shù)，然后由角平分線的定義可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分線的定義可知∠MOC=α+15°，∠CON=15°，最后根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分線的定義可知∠MOC=β+15°，∠CON=β，最后根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根據(jù)計(jì)算結(jié)果找出其中的規(guī)律即可．【解答】解：（1）∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30=120°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=∠BOC=15°．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=60°﹣15°=45°；（2）∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=∠AOC=α+15°，∠CON=∠BOC=15°．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=α+15°﹣15°=α．（3）∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=∠AOC=β+45°，∠CON=∠BOC=β．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=β+45°﹣β=45°．（4）根據(jù)（1）、（2）、（3）可知∠MON=∠BOC，與∠BOC的大小無(wú)關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角的計(jì)算、角平分線的定義，求得∠MOC和∠CON的大小，然后再依據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解是解題的關(guān)鍵．4．（2015秋?和縣期末）（1）如圖，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；（2）如果（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，其它條件不變，請(qǐng)用求α或β來(lái)表示∠MON的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，則∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB，然后把∠AOB的度數(shù)代入計(jì)算即可；（2）由∠AOB=α，∠BOC=β，得到∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，根據(jù)OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，于是得到∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=60°，∠NOC=∠BOC=15°，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=60°﹣15°=45°，（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的定義，熟知角平分線的定義是解答此題的關(guān)鍵．5．（2015秋?連城縣期末）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）試判斷∠BOE和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)說(shuō)你的理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，可得答案；（2）根據(jù)角的和差，可得答案．【解答】解：（1）由角平分線的定義，得∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°．由鄰補(bǔ)角的定義，得∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；（2）∠BOE=∠COE，理由如下：由角的和差，得∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，則∠BOE=∠COE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算，利用角的和差是解題關(guān)鍵．6．（2015秋?揚(yáng)州校級(jí)期末）如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC=120°，則∠DOE=60°；若∠AOC=140°，則∠DOE=70°；（2）若∠AOC=α，則∠DOE=（用含α的式子表示），請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在∠AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足∠AOC﹣3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）首先利用補(bǔ)角的定義可得出∠BOC，再利用角平分線的定義可得出∠COE，易得∠DOE；（2）同理由（1）可得；（3）設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，根據(jù)已知和（2）的結(jié)論可得出x﹣y=45°，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）若∠AOC=120°，則∠BOC=180°﹣120°=60°，∵OE平分∠BOC，∴，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣30°=60°；若∠AOC=140°，則∠BOC=180°﹣140°=40°，∵OE平分∠BOC，∴，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣20°=70°；故答案為：60°；70°；（2）；∵∠AOC=α，∴∠BOC=180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=90°﹣（90）=，故答案為：；（3）∠DOE﹣∠AOF=45°．理由：設(shè)∠DOE=x，∠AOF=y，左邊=∠AOC﹣3∠AOF=2∠DOE﹣3∠AOF=2x﹣3y，右邊=2∠BOE+∠AOF=2（90°﹣x）+y=180°﹣2x+y，∴2x﹣3y=180﹣2x+y即4x﹣4y=180°，∴x﹣y=45°∴∠DOE﹣∠AOF=45°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)及角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差倍分．7．（2015秋?南雄市期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB=90°，∠BOC=60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？為什么？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB=70°，∠BOC=60°時(shí)，∠MON=35°（直接寫出結(jié)果）．（3）如圖3，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時(shí)，猜想：∠MON=α（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如圖2，∵∠AOB=70°，∠BOC=60°，∴∠AOC=70°+60°=130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=65°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=65°﹣30°=35°．故答案為：35°．（3）如圖3，∠MON=α，與β的大小無(wú)關(guān)．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α．故答案為：α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數(shù)和得出∠MON=∠MOC﹣∠NOC．8．（2015秋?安達(dá)市期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“平分”的條件改為“∠EOB=∠COB，∠COF=∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度數(shù)為α．【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠COF，然后求得∠BOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得∠EOC，然后根據(jù)∠EOF=∠COF+∠EOC求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可以得到∠COF=∠AOC，∠EOC=∠BOC，然后根據(jù)∠EOF=∠COF+∠EOC=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）即可得到；（3）根據(jù)∠EOB=∠COB，可以得到，∠EOC=∠COB，則∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=∠AOB，從而求解．【解答】解：（1）：（1）∵OF平分∠AOC，∴∠COF=∠AOC=×30°=15°，∵∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，OE平分∠BOC，∴∠EOC=∠BOC=30°，∴∠EOF=∠COF+∠EOC=45°；（2））∵OF平分∠AOC，∴∠COF=∠AOC，同理，∠EOC=∠BOC，∴∠EOF=∠COF+∠EOC=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=α；（3）∵∠EOB=∠COB，∴∠EOC=∠COB，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠COB+∠COA=∠BOC+∠AOC=∠AOB=α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及角度的計(jì)算，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵．9．（2015秋?叢臺(tái)區(qū)期末）在學(xué)習(xí)了角的相關(guān)知識(shí)后，老師給張萌留了道作業(yè)題，請(qǐng)你幫助張萌做完這道題．作業(yè)題已知∠MON=100°，在∠MON的外部畫∠AON，OB，BO分別是∠MOA和∠BON的平分線．（題中所有的角都是小于平角的角）（1）如圖1，若∠AON=40°，求∠COA的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AON=120°，求∠COA的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠AOM=140°，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到∠AOM=140°，根據(jù)角平分線的定義得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠MON=100°，∠AON=40°，∴∠AOM=140°，∵OB，CO分別是∠MOA和∠BON的平分線，∴∠AOB=∠BOM=，∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°，∴∠BOC==15°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°；（2）∵∠MON=100°，∠AON=120°，∴∠AOM=360°﹣∠AON﹣∠MON=140°，∵OB，CO分別是∠MOA和∠BON的平分線，∴∠AOB=∠BOM=，∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°，∴∠BOC==85°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了周角的定義，角的計(jì)算，角的和差，角平分線的定義，正確的識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．（2015秋?越秀區(qū)期末）已知∠AOB內(nèi)部有三條射線，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．（1）如圖1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度數(shù)；（2）如圖2，若∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）；（3）若將題中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的條件改為“∠EOB=∠BOC，∠COF=∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）【分析】（1）首先求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解；（2）根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC），即可求解；（3）根據(jù)角的等分線的定義可得∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB，即可求解．【解答】解：（1）∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=∠BOC=×60°=30°，∠COF=∠AOC=×30°=15°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=∠BOC，∠COF=∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a；（3）∵∠EOB=∠BOC，∴∠EOC=∠BOC，又∵∠COF=∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC）=∠AOB=a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度的計(jì)算，理解角的平分線的定義以及角度的和、差之間的關(guān)系是關(guān)鍵．11．（2015秋?太康縣期末）如圖，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB是直角，∠BOC=60°時(shí)，∠MON的度數(shù)是多少？（2）如圖2，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=60°時(shí)，猜想∠MON與α的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)∠AOB=α，∠BOC=β時(shí)，猜想∠MON與α、β有數(shù)量關(guān)系嗎？如有，指出結(jié)論并說(shuō)明理由．【分析】（1）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）求出∠AOC度數(shù)，求出∠MOC和∠NOC的度數(shù)，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．【解答】解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=90°+60°=150°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．（2）如圖2，∠MON=α，理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，∴∠AOC=α+60°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．（3）如圖3，∠MON=α，與β的大小無(wú)關(guān)．理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=α+β．∵OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，∴∠MOC=∠AOC=（α+β），∠NOC=∠BOC=β，∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）﹣β=α即∠MON=α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度數(shù)和得出∠MON=∠MOC﹣∠NOC．12．（2015秋?河西區(qū)期末）已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE．（1）如圖1，若∠COF=14°，則∠BOE=28°；若∠COF=n°，則∠BOE=2n°，∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為∠BOE=2∠COF；（2）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如圖3，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得∠BOD為直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，請(qǐng)求出∠COF的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由OF平分∠AOE得到∠AOE=2∠EOF，利用∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，得2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，則2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，把∠AOB=160°，∠COE=80°代入?即可得到∠BOE=2∠COF，這樣可分別計(jì)算出∠COF=14°或n°時(shí)，∠BOE的度數(shù)；（2）與（1）的推理一樣．（3）設(shè)∠AOF=∠EOF=2x，由∠DOF=3∠DOE，得∠DOE=x，而∠BOD為直角，2x+2x+x+90°=160°，解出x=14°，則∠BOE=90°+x=104°，于是∠COF=×104°=52°（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．【解答】解：（1）∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，而∠AOB=160°，∠COE=80°，∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，∴∠BOE=2∠COF，當(dāng)∠COF=14°時(shí)，∠BOE=28°；當(dāng)∠COF=n°時(shí)，∠BOE=2n°，故答案為28°；2n°；∠BOE=2∠COF．（2）∠BOE=2∠COF仍然成立．理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，∴2（∠COE﹣∠COF）=∠AOB﹣∠BOE，而∠AOB=160°，∠COE=80°，∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，∴∠BOE=2∠COF；（3）存在．設(shè)∠AOF=∠EOF=2x，∵∠DOF=3∠DOE，∴∠DOE=x，而∠BOD為直角，∴2x+2x+x+90°=160°，解得x=14°，∴∠BOE=90°+x=104°，∴∠COF=×104°=52°（滿足∠COF+∠FOE=∠COE=80°）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度的計(jì)算：利用幾何圖形計(jì)算角的和與差．也考查角平分線的定義．13．（2016?內(nèi)江）問(wèn)題引入：（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC=90°+α（用α表示）；如圖②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則∠BOC=120°+α（用α表示）拓展研究：（2）如圖③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC=120°﹣α（用α表示），并說(shuō)明理由．類比研究：（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請(qǐng)猜想∠BOC=﹣α．【分析】（1）如圖①，根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如圖②，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α；（2）如圖③，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=﹣α．【解答】解：（1）如圖①，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α；如圖②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+α；（2）如圖③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣α；（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=﹣α．故答案為90°+α，120°+α；120°﹣α；﹣α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．14．（2016春?濱海縣校級(jí)月考）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB=155°；若∠ACB=130°，則∠DCE=50°；（2）猜想∠ACB與∠DCE大大小有何特殊關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖（b），若是兩個(gè)同樣的三角尺60°銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=