天津市一中2025屆高考數(shù)學押題試卷含解析

天津市一中2025屆高考數(shù)學押題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．2．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．193．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④4．的展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．305．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．206．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．設函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤8．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析，隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績，并根據(jù)這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內(nèi)的學生人數(shù)為（）A．800 B．1000 C．1200 D．16009．設，則關于的方程所表示的曲線是（）A．長軸在軸上的橢圓 B．長軸在軸上的橢圓C．實軸在軸上的雙曲線 D．實軸在軸上的雙曲線10．設雙曲線的左右焦點分別為，點.已知動點在雙曲線的右支上，且點不共線.若的周長的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．12．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．84二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________；經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為，則隨機變量的期望為________.14．將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為__________．15．設第一象限內(nèi)的點(x，y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.16．設函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設曲線與曲線交于，兩點，求.18．（12分）若數(shù)列前n項和為，且滿足（t為常數(shù)，且）（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，且數(shù)列為等比數(shù)列，令，.求證：.19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC邊上的點，且△ACD的面積為，求sin∠ADB.20．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足：，，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圓的方程；（2）設直線ax﹣y+5＝0（a＞0）與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點P（﹣2，4），若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.2、B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應用.3、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.4、C【解析】

由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知，，因為展開式的通項為，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應寫準確，本題是一道基礎題.5、C【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的概念與運算，屬基礎題.6、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因為時，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點，所以，解得．故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應用和函數(shù)的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關鍵，屬于基礎題.8、B【解析】

由圖可列方程算得a，然后求出成績在內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學生人數(shù).【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內(nèi)的頻率，所以成績在內(nèi)的學生人數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應用，屬基礎題.9、C【解析】

根據(jù)條件，方程．即，結合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型．【詳解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C．【點睛】本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關鍵．10、A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.11、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結合四邊形面積關系求得與等量關系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關系如下圖所示：設四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質的簡單應用，圓錐曲線與基本不等式綜合應用，屬于中檔題.12、B【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示：故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點睛】本題考查了概率的計算，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.14、【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式，再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.15、【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時，目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當且僅當時取等號，則的最小值為.16、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)形結合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標方程為：當時，，當時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標為，化直角坐標方程為，化直角坐標方程為，∴，∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標，考查計算能力.18、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用可得的遞推關系，從而可求其通項.（2）由為等比數(shù)列可得，從而可得的通項，利用錯位相減法可得的前項和，利用不等式的性質可證.【詳解】（1）由題意，得：（t為常數(shù)，且），當時，得，得.由，故，，故.（2）由，由為等比數(shù)列可知：，又，故，化簡得到，所以或（舍）.所以，，則.設的前n項和為.則，相減可得【點睛】數(shù)列的通項與前項和的關系式，我們常利用這個關系式實現(xiàn)與之間的相互轉化.數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)誘導公式和二倍角公式，將已知等式化為角關系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在中，根據(jù)面積公式求出長，根據(jù)余弦定理求出，由正弦定理求出，即可求出結論.【詳解】（1），，；（2）在中，由（1）得，，由余弦定理得，，在中，，.【點睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）令，，利用可求得數(shù)列的通項公式，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法求得，進而可得出結論.【詳解】（1）令，，當時，；當時，，則，故；（2），.【點睛】本題考查利用求通項，同時也考查了裂項相消法求和，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.21、（1）（2）當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學歸納法證明.（3）分類討論,當n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當時,,當時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當時,,①當時,,所以,②當時,,③當時,,所以,④……當時,n為偶數(shù)當時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當n為偶數(shù)時,.同理,當n為奇數(shù)時,,所以,當n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當n為奇數(shù)時,.猜測：當n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學歸納法證明：,命題成立；假設當時,命題成立；當n為奇數(shù)時,,當時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當n為奇數(shù)時同理,當n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.①當n為偶數(shù)時,,所以隨n的