專題14 導數(shù)的概念與運算 2023年新高考數(shù)學一輪復習方法技巧講義（原卷版）VIP

高中數(shù)學精編資源2/2專題14導數(shù)的概念與運算【考點預測】知識點一：導數(shù)的概念和幾何性質1.概念函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù),記作或．知識點詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．2.幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．3.物理意義函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．知識點二：導數(shù)的運算1.求導的基本公式基本初等函數(shù)導函數(shù)（為常數(shù)）2.導數(shù)的四則運算法則（1）函數(shù)和差求導法則：；（2）函數(shù)積的求導法則：；（3）函數(shù)商的求導法則：，則．3.復合函數(shù)求導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：【方法技巧與總結】1.在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．2.過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．【題型歸納目錄】題型一：導數(shù)的定義題型二：求函數(shù)的導數(shù)題型三：導數(shù)的幾何意義1.在點P處切線2.過點P的切線3.公切線4.已知切線求參數(shù)問題5.切線的條數(shù)問題6.切線平行、垂直、重合問題7.最值問題【典例例題】題型一：導數(shù)的定義例1．（2022·全國·高三專題練習（文））函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關系正確的是（

）A．B．C．D．例2．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（理））設函數(shù)滿足，則（

）A． B．1 C． D．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)，記為，已知二元函數(shù)，則下列選項中錯誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為例4．（2022·貴州黔東南·一模（文））一個質點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關系式，，則當時，該質點的瞬時速度為（

）A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒例5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．10 D．20例6．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（

）A． B． C． D．例7．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（

）A．1 B． C． D．4【方法技巧與總結】對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導數(shù)定義結構相同，然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出.題型二：求函數(shù)的導數(shù)例8．（2022·天津·耀華中學高二期中）求下列各函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)例9．（2022·新疆·莎車縣第一中學高二期中（理））求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)(3)例10．（2022·廣東·北京師范大學珠海分校附屬外國語學校高二期中）求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【方法技巧與總結】對所給函數(shù)求導，其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則，直接轉化為基本函數(shù)求導問題.題型三：導數(shù)的幾何意義1.在點P處切線例11．（2022·河北·模擬預測）曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．例12．（2022·安徽·巢湖市第一中學模擬預測（文））曲線在點處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1例13．（2022·海南·文昌中學高三階段練習）曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A．- B． C．1 D．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中學高三期中（理））已知，則曲線在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．例16．（2022·廣西廣西·模擬預測（理））曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．例17．（2022·河南省?？h第一中學模擬預測（理））曲線在處的切線方程為（

）A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝02.過點P的切線例18．（2022·四川·廣安二中二模（文））函數(shù)過點的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或例19．（2022·四川省成都市郫都區(qū)第一中學高三階段練習（文））若過點的直線與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（

）A． B． C． D．例20．（2022·陜西安康·高三期末（文））曲線過點的切線方程是（

）A． B．C． D．例21．（2022·廣東茂名·二模）過坐標原點作曲線的切線，則切點的縱坐標為（

）A．e B．1 C． D．例22．（2022·山東濰坊·三模）過點有條直線與函數(shù)的圖像相切，當取最大值時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.公切線例23．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．例24．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線和曲線，若存在斜率為1的直線與，同時相切，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．例25．（2022·江蘇·南京外國語學校模擬預測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例26．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（理））若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．例27．（2022·河北省唐縣第一中學高三階段練習）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．例28．（2022·重慶市育才中學高三階段練習）若直線（）為曲線與曲線的公切線，則l的縱截距（

）A．0 B．1 C．e D．例29．（2022·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例30．（2022·全國·高三專題練習）若僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，則實數(shù)（

）A． B． C． D．4.已知切線求參數(shù)問題例31．（2022·湖南·模擬預測）已知P是曲線上的一動點，曲線C在P點處的切線的傾斜角為，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例32．（2022·廣西·貴港市高級中學三模（理））已知曲線在點處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，例33．（2022·江蘇蘇州·模擬預測）已知奇函數(shù)在點處的切線方程為，則（

）A．或1 B．或 C．或2 D．或例34．（2022·云南昆明·模擬預測（文））若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，例35．（2022·河南·方城第一高級中學模擬預測（理））已知直線l的斜率為2，l與曲線：和圓：均相切，則（

）A．－4 B．－1 C．1 D．45.切線的條數(shù)問題例36．（2022·全國·高三專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．例37．（2022·河南洛陽·三模（理））若過點可作出曲線的三條切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例38．（2022·河南洛陽·三模（文））若過點作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條例39．（2022·河北·高三階段練習）若過點可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．例40．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））若過點可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例41．（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．6.切線平行、垂直、重合問題例42．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））對于三次函數(shù)，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（

）A． B． C． D．例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函數(shù)圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例44．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點A(x1，f(x1))與點B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線互相垂直，則x2－x1的最小值為（

）A． B．1C． D．2例45．（2022·全國·高三專題練習）若直線與兩曲線分別交于兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結論：①，使得；②當時，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4例46．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線重合，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例47．（2022·全國·高三專題練習（文））若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（

）A． B． C． D．7.最值問題例48．（2022·全國·高三專題練習）若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．例49．（2022·山東省淄博第一中學高三開學考試）動直線分別與直線，曲線相交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例50．（2022·江蘇·高三專題練習）已知，為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A． B． C． D．，例51.（2022·全國·高三專題練習）曲線上的點到直線的最短距離是（

）A． B． C． D．1例52．（2022·河北衡水·高三階段練習）已知函數(shù)在處的切線為l，第一象限內(nèi)的點在切線l上，則的最小值為（

）A． B． C． D．例53．（2022·山東聊城·二模）實數(shù)，，，滿足：，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．8例54．（2022·河南·許昌高中高三開學考試（理））已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于某一條直線l對稱，若P，Q分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．例55．（2022·河南·靈寶市第一高級中學模擬預測（文））已知直線是曲線的切線，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．3【方法技巧與總結】函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.（1）已知在點處的切線方程為.（2）若求曲線過點的切線方程，應先設切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.【過關測試】一、單選題1．（2022·河南·高三階段練習（理））若曲線在點（1，f（1））處的切線方程為，則a＝（

）A．1 B． C．2 D．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若對任意恒成立，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）設為可導函數(shù)，且，則曲線在點處的切線斜率為（

）A．2 B．-1 C．1 D．4．（2022·河南·模擬預測（文））已知，則曲線在點處的切線方程為(

)A． B．C． D．5．（2022·貴州黔東南·一模（理））一個質點作直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關系式，則當時，該質點的瞬時速度為（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若經(jīng)過點存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（

）A．0 B． C．3 D．或37．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）若不等式對任意，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·遼寧沈陽·二模）若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．-1 D．二、多選題9．（2022·遼寧丹東·模擬預測）若過點可以作出曲線的切線l，且l最多有n條，，則（

）A． B．當時，a值唯一C．當時， D．na的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三專題練習）為滿足人們對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改．設企業(yè)的污水排放量與時間的關系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如圖所示，則下列結論中正確的有（

）A．在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強B．在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強C．在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標D．甲企業(yè)在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強11．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是1B．曲線的切線斜率可以是C．過點且與曲線相切的直線有且只有1條D．過點且與曲線相切的直線有且只有2條12．（2022·全國·高三專題練習）過平面內(nèi)一點作曲線兩條互相垂直的切線?，切點為?（?不重合），設直線?分別與軸交于點?，則下列結論正確的是（

）A．?兩點的橫坐標之積為定值 B．直線的斜率為定值；C．線段的長度為定值 D．三角