專題39 兩條直線的位置關(guān)系-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破(原卷)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專題39兩條直線的位置關(guān)系9題型分類1．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用結(jié)論1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對稱關(guān)系(1)點(x，y)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y)．(2)點(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為(x，－y)，關(guān)于y軸的對稱點為(－x，y)．(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．(5)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．（一）判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．題型1：兩條直線的平行與垂直1-1．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（

）A．或 B． C． D．1-2．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．1-3．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過點的直線方程是（

）A．B．C．D．1-4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．1-5．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件1-6．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知過點和點的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8（二）利用距離公式應(yīng)注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．題型2：兩直線的交點問題2-1．（2024高二下·全國·課堂例題）直線與直線相交，則實數(shù)的值為（）A．或 B．或C．或 D．且2-2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．242-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個2-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．題型3：點到直線的距離問題3-1．（2024高二上·江蘇淮安·期中）已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則.3-2．（2024高二上·江西新余·開學(xué)考試）若點到直線的距離為3，則.3-3．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）過直線與直線的交點，且到點的距離為1的直線l的方程為．3-4．（2024高二上·吉林長春·期中）已知點在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43-5．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4題型4：平行線間距離問題4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不過原點的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．4-2．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．4-3．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是.題型5：有關(guān)距離的最值問題5-1．（2024高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．5-2．（2024高二·全國·課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．5-3．（2024高一·全國·課后作業(yè)）在直線上求一點P，使得：(1)P到和的距離之差最大；(2)P到和的距離之和最小.5-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．65-5．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.5-6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上的兩點，滿足，則的最小值為(

)A． B．C． D．5-7．（2024高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．（三）對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題．求直線l關(guān)于直線對稱的直線若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．此時分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．題型6：點線對稱6-1．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（

）A． B． C． D．6-2．（2024高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點，則總路徑長即總長為（

）A． B．6 C． D．6-3．（2024高二上·四川遂寧·期末）已知點A與點關(guān)于直線對稱，則點A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．題型7：線點對稱7-1．（2024高二·全國·單元測試）直線關(guān)于點的對稱直線方程是．7-2．（2024高三上·遼寧營口·期末）若直線：與直線關(guān)于點對稱，則當(dāng)經(jīng)過點時，點到直線的距離為.7-3．（2024高二上·江蘇蘇州·周測）直線恒過定點，則直線關(guān)于點對稱的直線方程為．7-4．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．題型8：線線對稱8-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．8-2．（2024高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．8-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．（四）題型9：直線系方程9-1．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.9-2．（2024高二·全國·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點，且斜率為，則直線l的方程為．9-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．一、單選題1．（2024高二上·浙江·期中）已知點到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（

）A．2 B．3 C．5 D．103．（2024高二·全國·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝04．（2024高二·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于直線對稱的直線為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江溫州·三模）已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．26．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直線：，：，則條件“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件7．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．8．（2024高二下·四川廣元·期中）若直線過點，其中，是正實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．59．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）若直線與之間的距離為，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．8或10．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）拋物線的焦點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．11．（2024·四川）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的取值范圍是A． B． C． D．12．（2024·全國）點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．213．（2024·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個 B．2個 C．個 D．無數(shù)個14．（2024高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（）A． B．C． D．15．（2024高一下·海南·期末）設(shè)分別是中所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直16．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點到的距離為318．（2024·全國）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么（

）A． B． C． D．19．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知ΔABC的頂點，，其垂心為，則其頂點的坐標(biāo)為A． B． C． D．20．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．421．（2024高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．222．（2024高一上·湖南長沙·開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，，點是軸上一點，點，分別為直線和軸上的兩個動點，當(dāng)周長最小時，點，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，23．（2024高二上·廣東深圳·期中）過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．24．（2024高二下·陜西西安·期末）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．1025．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．26．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．27．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．28．（2024高三·北京·強基計劃）的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B．C． D．前三個答案都不對29．（2024·北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為A． B．C． D．二、多選題30．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點到坐標(biāo)原點的距離可能為（

）A． B． C． D．31．（24-25高二上·全國·單元測試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交32．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的一個法向量為B．若直線m：，則C．點到直線l的距離是2D．過與直線l平行的直線方程是33．（2024高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知曲線和直線，則（

）A．曲線上與直線l平行的切線的切點為B．曲線上與直線l平行的切線的切點為C．曲線上的點到直線l的最短距離為D．曲線上的點到直線l的最短距離為34．（福建省莆田第三中學(xué)，勵志學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）以下四個命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B．直線和的交點為，且在直線上，則的值是C．設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2D．直線，若，則或2三、填空題35．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知，，點是線段的中點，則.36．（2024高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點與點間的距離為，則．37．（2024高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點對稱的直線的方程為.38．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為．39．（2024高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于40．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）點到直線的距離的最大值是．41．（2024高二上·江蘇南通·期中）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標(biāo)為，則線段的長度為.42．（2024高二·全國·課堂例題）已知點，，，則的面積為．43．（2024·云南保山·一模）已知坐標(biāo)原點為O，過點作直線n不同時為零)的垂線，垂足為M，則的取值范圍是．44．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）已知點、、，且，則.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為.46．（2024高三上·上海青浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若動點到兩直線和的距離之和為，則的最大值為.47．（2024·四川）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距離之和最小的點的坐標(biāo)是．48．（2024高三·陜西