2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課時精講精練學(xué)案必刷小題3　基本初等函數(shù)（含詳解）

第第頁必刷小題3基本初等函數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝log3x與g(x)的圖象關(guān)于y＝x對稱，則g(－1)等于()A．3B.eq\f(1,3)C．1D．－1答案B解析由題意知g(x)是f(x)＝log3x的反函數(shù)，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝eq\f(1,3).2．已知冪函數(shù)f(x)滿足eq\f(f6,f2)＝4，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值為()A．2B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．－2答案B解析依題意，設(shè)f(x)＝xα，則eq\f(f6,f2)＝eq\f(6α,2α)＝3α＝4，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))α＝eq\f(1,3α)＝eq\f(1,4).3．函數(shù)y＝log0.5(2－x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))答案D解析由2－x－x2>0，解得－2<x<1，故函數(shù)的定義域是(－2,1)，因?yàn)楹瘮?shù)u＝2－x－x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，且函數(shù)y＝log0.5u在定義域上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)y＝log0.5(2－x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).4．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的圖象可能是()答案A解析對于A，B，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象正確，則0<a<1，∴y＝logax＋a單調(diào)遞減，又當(dāng)x＝1時，y＝loga1＋a＝a>0，故A正確，B錯誤；對于C，D，若y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象正確，則a>1，∴y＝logax＋a單調(diào)遞增，故C，D錯誤．5．函數(shù)f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是()A．10B．1C．11D．lg11答案B解析設(shè)t＝4x－2x＋1＋11，則y＝lgt，因?yàn)閠＝4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，所以y＝lgt≥lg10＝1，所以f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值為1.6．若實(shí)數(shù)m，n，p滿足SKIPIF1<0，p＝eq\f(18,e2)，則()A．p<m<n B．p<n<mC．m<p<n D．n<p<m答案A解析∵實(shí)數(shù)m，n，p滿足SKIPIF1<0，p＝eq\f(18,e2)，∴eq\f(m,n)＝SKIPIF1<0<1，∴m<n；又eq\f(m,p)＝SKIPIF1<0>1，∴m>p，∴p<m<n.7．已知函數(shù)f(x)＝loga(x2＋ax＋3)(a>0且a≠1)，若f(x)>1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))D．(2，＋∞)答案A解析令g(x)＝x2＋ax＋3，可得函數(shù)g(x)的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為x＝－eq\f(a,2)，所以g(x)≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－eq\f(a2,4)，因?yàn)閒(x)>1恒成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3－\f(a2,4)>a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,a2＋4a－12<0，))解得1<a<2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)．8．凈水機(jī)常采用分級過濾，其中第一級過濾一般由孔徑為5微米的PP棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)．假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為25mg/L，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2.5mg/L，則PP棉濾芯層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．5B．6C．7D．8答案B解析設(shè)過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為ymg/L，則經(jīng)過x層過濾后，滿足y＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))x＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，x∈N*，若要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2.5mg/L，則25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤2.5，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤eq\f(1,10)，∵y＝lgx在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤lgeq\f(1,10)，∴xlgeq\f(2,3)≤－1，∴x(lg2－lg3)≤－1，∵lg2－lg3<0，∴x≥eq\f(－1,lg2－lg3)≈eq\f(1,0.18)≈5.6，∵x∈N*，∴x的最小值為6，∴PP棉濾芯層數(shù)最少為6.二、多項(xiàng)選擇題9．在下列四個圖形中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx與指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的圖象可能是()答案ABD解析當(dāng)a>b>0時，A正確；當(dāng)b>a>0時，B正確；當(dāng)0>a>b時，D正確；當(dāng)0>b>a時，無此選項(xiàng)．10．若0<a<1，則下列關(guān)系成立的是()A．loga(1－a)>loga(1＋a)B．loga(1＋a)<0C．SKIPIF1<0D．a(chǎn)1－a<1答案ABD解析因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1＋a，因此loga(1－a)>loga(1＋a)，故A正確；因?yàn)?<a<1，所以1<1＋a<2，因此loga(1＋a)<loga1＝0，故B正確；因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1，因此SKIPIF1<0，故C不正確；因?yàn)?<a<1，所以0<1－a<1，因此a1－a<a0＝1，故D正確．11．已知函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0C．若x<y<0，則f(x)<f(y)D．f(x)的值域?yàn)閇0,2)答案ABD解析∵函數(shù)f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋b的圖象過原點(diǎn)，∴a＋b＝0，故A正確；即b＝－a，f(x)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|－a，∵函數(shù)f(x)的圖象無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，∴b＝2，即a＝－2，f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2.由于f(x)為偶函數(shù)，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＝－y，即x＋y＝0，故B正確；由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故若x<y<0，則f(x)>f(y)，故C錯誤；由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|∈(0,1]，∴f(x)＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|＋2∈[0,2)，故D正確．12．已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x＝3y＝6z，則()A.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,z) B．2x>3y>6zC．xy<4z2 D．x＋y>4z答案AD解析令2x＝3y＝6z＝t，則t>1，可得x＝log2t，y＝log3t，z＝log6t.對于A，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2t)＋eq\f(1,log3t)＝eq\f(lg2,lgt)＋eq\f(lg3,lgt)＝eq\f(lg6,lgt)＝logt6＝eq\f(1,z)，故A正確；對于B，因?yàn)閠>1，所以lgt>0，2x－3y＝2log2t－3log3t＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgtlg32－lg23,lg2·lg3)＝eq\f(lgt·lg\f(9,8),lg2·lg3)>0，即2x>3y；3y－6z＝3log3t－6log6t＝eq\f(3lgt,lg3)－eq\f(6lgt,lg6)＝eq\f(3lgtlg6－lg32,lg3·lg6)＝eq\f(3lgt·lg\f(2,3),lg3·lg6)<0，即3y<6z，故B錯誤；對于C，xy＝log2t·log3t＝eq\f(lgt,lg2)·eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lgt2,lg2·lg3)，4z2＝4(log6t)2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgt,lg6)))2＝eq\f(4lgt2,lg62)，lgt>0，因?yàn)?<lg2·lg3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2＋lg3,2)))2＝eq\f(lg62,4)，所以eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，則eq\f(lgt2,lg2·lg3)>eq\f(4lgt2,lg62)，即xy>4z2，故C錯誤；對于D，x＋y＝log2t＋log3t＝eq\f(lgt,lg2)＋eq\f(lgt,lg3)＝eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)，4z＝4log6t＝eq\f(4lgt,lg6)，lgt>0，由C的分析可知eq\f(1,lg2·lg3)>eq\f(4,lg62)，則eq\f(lg6·lgt,lg2·lg3)>eq\f(4lg6·lgt,lg62)＝eq\f(4lgt,lg6)，即x＋y>4z，故D正確．三、填空題13．計(jì)算：SKIPIF1<0＋πl(wèi)g1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝________.答案eq\f(4,9)解析SKIPIF1<0＋πl(wèi)g1＋log2eq\f(2,3)－log4eq\f(16,9)＝SKIPIF1<0＋π0＋log2eq\f(2,3)－log2eq\f(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(3,4)))＝eq\f(4,9)＋1－1＝eq\f(4,9).14．方程logx10＋SKIPIF1<0＝6的解為________．答案x＝eq\r(4,10)解析由題意得logx10＋SKIPIF1<0＝eq\f(lg10,lgx)＋eq\f(lg10,lgx2)＝eq\f(2＋1,2lgx)＝eq\f(3,2lgx)＝6，即lgx＝eq\f(1,4)，解得x＝eq\r(4,10).15．已知函數(shù)f(x)＝lg(|x|＋1)，則使不等式f(2x＋1)<f(3x)成立的x的取值范圍是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>1))))解析f(x)＝lg(|x|＋1)的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(－x)＝lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x>0時，f(x)＝lg(|x|＋1)＝lg(x＋1)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x<0時，f(x)＝lg(|x|＋1)單調(diào)遞減，由f(2x＋1)<f(3x)可得|2x＋1|<|3x|，解得x<－eq\f(1,5)或x>1，所以x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>1)))).16．若關(guān)于x的不等式kex＋(k－1)e－x＋2k＋1<0在(0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(k<－\f(1,8)))))解析因?yàn)閑x>0，