統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)12函數(shù)模型及其應(yīng)用理

課時(shí)作業(yè)12函數(shù)模型及其應(yīng)用[基礎(chǔ)落實(shí)練]一、選擇題1．物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特殊是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)料，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)料的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()2.某廠有很多形態(tài)為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形的兩邊長x，y應(yīng)分別為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝143．加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿意函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常數(shù))，下圖記錄了三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘4．某旅游景點(diǎn)為吸引游客，推出團(tuán)體購票實(shí)惠方案如表：購票人數(shù)1～5051～100100以上門票價(jià)格13元/人11元/人9元/人兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)支配巡游該景點(diǎn)，若分別購票，則共需支付門票費(fèi)1290元；若合并成一個(gè)團(tuán)隊(duì)購票，則需支付門票費(fèi)990元，那么這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為()A．20B．30C．35D．405．[2024·武漢檢測(cè)]人們用分貝(dB)來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)d(x)(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：W/m2)滿意d(x)＝9lgeq\f(x,1×10－13).一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為54dB，在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為63dB，那么老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的()A．1倍 B．10倍C．100倍 D．1000倍二、填空題6．“好酒也怕巷子深”，很多聞名品牌是通過廣告宣揚(yáng)進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿意關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為________(用常數(shù)a表示).7．2024年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄，標(biāo)記著中華五千年文明史得到國際社會(huì)認(rèn)可．良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史．考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而削減”這一規(guī)律．已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t(單位：年)的衰變規(guī)律滿意N＝N0·2-t5730(N0表示碳14原有的質(zhì)量)，則經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼腳_______；經(jīng)過測(cè)定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的eq\f(1,2)至eq\f(3,5)，據(jù)此推想良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到5730年之間．(參考數(shù)據(jù)：log23≈1.6，log25≈2.3)8.[2024·陜西咸陽二模]為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司探討出一種消毒劑，據(jù)試驗(yàn)表明，該藥物釋放量y(mg/m3)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0<t<\f(1,2)，,\f(1,kt)，t≥\f(1,2)))，(如圖所示)試驗(yàn)表明，當(dāng)藥物釋放量y<0.75(mg/m3)時(shí)對(duì)人體無害．(1)k＝________；(2)為了不使人身體受到藥物損害，若運(yùn)用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過________分鐘人方可進(jìn)入房間．三、解答題9．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．探討表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在肯定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等緣由，v的值為0千克/年．(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值．10．某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的狀況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危急狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇復(fù)原正常．排氣4分鐘后測(cè)得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，接著排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時(shí)間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y＝c(eq\f(1,2))mt(c，m為常數(shù)).(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？[素養(yǎng)提升練]11．[2024·威海調(diào)研改編]小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯遺忘曲線，為了解自己記憶一組單詞的狀況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量f(x)與時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0<x≤1，,\f(1,5)＋\f(9,20)x－\f(1,2)，1<x≤30.))則下列說法不正確的是()A．隨著時(shí)間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低B．第一天小菲的單詞記憶保持量下降的最多C．9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%D．26天后，小菲的單詞記憶保持量不足20%12．天文學(xué)中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念．星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的數(shù)值越大，它就越暗．到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天體明暗程度的概念．天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿意m1－m2＝2.5(lgE2－lgE1).其中星等為mi的天體的亮度為Ei(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，則與r最接近的是(當(dāng)|x|較小時(shí)，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A．1.24 B．1.25C．1.26 D．1.2713．[2024·河南安陽模擬]5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是聞名的香農(nóng)公式：C＝Wlog2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中eq\f(S,N)叫做信噪比．依據(jù)香農(nóng)公式，若不變更帶寬W，而將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，則C大約增加了()A．10%B．30%C．50%D．100%14.某公司支配投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)料能獲得10～1000萬元的收益．現(xiàn)打算制定一個(gè)對(duì)開發(fā)科研小組的嘉獎(jiǎng)方案：資金y(單位：萬元)隨收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金總數(shù)不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金總數(shù)不超過收益的20%.(1)若建立嘉獎(jiǎng)方案函數(shù)模型y＝f(x)，試確定這個(gè)函數(shù)的定義域、值域和eq\f(y,x)的范圍；(2)現(xiàn)有兩個(gè)嘉獎(jiǎng)函數(shù)模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求？請(qǐng)說明理由．15．近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”供應(yīng)了極大的便利，某共享單車公司支配在甲、乙兩座城市共投資240萬元．依據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資80萬元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿意P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿意Q＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))設(shè)甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個(gè)城市的總收益為f(x)(單位：萬元).(1)當(dāng)投資甲城市128萬元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；(2)試問：如何支配甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使公司總收益最大？課時(shí)作業(yè)12函數(shù)模型及其應(yīng)用1．解析：由運(yùn)輸效率（單位時(shí)間的運(yùn)輸量）逐步提高得，曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)漸漸增大，故函數(shù)的圖象應(yīng)始終是下凹的．答案：B2．解析：由三角形相像得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)（24－y），0<x≤20，8≤y<24，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)（y－12）2＋180，所以當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15.檢驗(yàn)符合題意．答案：A3．解析：由題意可知p＝at2＋bt＋c過點(diǎn)（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入p＝at2＋bt＋c中可解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2（t－3.75）2＋0.8125∴當(dāng)t＝3.75分鐘時(shí)，可食用率最大．答案：B4．解析：設(shè)兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)分別為a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.因?yàn)?290不能被13整除，所以a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，則11（a＋b）＝990，得a＋b＝90，①由共需支付門票費(fèi)為1290元可知，11a＋13b＝1290，②聯(lián)立①②解得b＝150，a＝－60，不符合題意；若a＋b>100，則9（a＋b）＝990，得a＋b＝110，③由共需支付門票費(fèi)為1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④聯(lián)立③④解得a＝70，b＝40.所以這兩個(gè)旅游團(tuán)隊(duì)的人數(shù)之差為70－40＝30.答案：B5．解析：設(shè)老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度，一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度分別為x1W/m2，x2W/m2，依據(jù)題意得d（x1）＝9lgeq\f(x1,1×10－13)＝63，解得x1＝10－6，d（x2）＝9lgeq\f(x2,1×10－13)＝54，解得x2＝10－7，所以eq\f(x1,x2)＝10，因此，老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍．答案：B6．解析：令t＝eq\r(A)（t≥0），則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時(shí)，D取得最大值．答案：eq\f(1,4)a27．解析：當(dāng)t＝5730時(shí)，N＝N0·2－1＝eq\f(1,2)N0，∴經(jīng)過5730年后，碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2).令N＝eq\f(3,5)N0，則2－eq\f(t,5730)＝eq\f(3,5)，∴－eq\f(t,5730)＝log2eq\f(3,5)＝log23－log25≈－0.7，∴t＝0.7×5730＝4011，∴良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間．答案：eq\f(1,2)40118．解析：（1）由題圖可知，當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝1，所以eq\f(2,k)＝1，所以k＝2.（2）由（1）可知，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0<t<\f(1,2)，,\f(1,2t)，t≥\f(1,2)，))當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，y＝eq\f(1,2t)，令y<0.75，得t>eq\f(2,3)，所以在消毒后至少經(jīng)過eq\f(2,3)小時(shí)，即40分鐘人方可進(jìn)入房間．答案：（1）2（2）409．解析：（1）由題意得當(dāng)0<x≤4時(shí)，v＝2；當(dāng)4≤x≤20時(shí)，設(shè)v＝ax＋b，a≠0，明顯v＝ax＋b在[4，20]內(nèi)是減函數(shù)，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2)，故函數(shù)v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N＋,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20，x∈N＋.))（2）設(shè)年生長量為f（x）千克/立方米，依題意并由（1）可得f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當(dāng)0<x≤4時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故f（x）max＝f（4）＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時(shí)，f（x）＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)（x2－20x）＝－eq\f(1,8)（x－10）2＋eq\f(25,2)，f（x）max＝f（10）＝12.5.所以當(dāng)0<x≤20時(shí)，f（x）的最大值為12.5.因?yàn)?<12.5，所以當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．10．解析：（1）由題意可列方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c（\f(1,2)）4m，,32＝c（\f(1,2)）8m，))兩式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))（2）由題意可列不等式128(12)所以(12)14t≤（eq\f(1,2)）8，即14t≥故至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)．11．解析：由函數(shù)解析式可知f（x）隨著x的增加而削減，故A正確；由圖象可得B正確；當(dāng)1＜x≤30時(shí)，f（x）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)x－eq\f(1,2)，則f（9）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×9－eq\f(1,2)＝0.35，即9天后，小菲的單詞記憶保持量低于40%，故C正確；f（26）＝eq\f(1,5)＋eq\f(9,20)×26－eq\f(1,2)>eq\f(1,5)，故D錯(cuò)誤．答案：D12．解析：由題意，得1－1.25＝2.5（lgE2－lgE1），∴l(xiāng)geq\f(E1,E2)＝eq\f(1,10)，解得r＝eq\f(E1,E2)＝10eq\s\up6(\f(1,10)).∵10x≈1＋2.3x＋2.7x2（|x|較?。鄏≈1＋2.3×eq\f(1,10)＋2.7×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(2)＝1.257.故與r最接近的是1.26.答案：C13．解析：將信噪比eq\f(S,N)從1000提升至2000，C大約增加了eq\f(Wlog2（1＋2000）－Wlog2（1＋1000）,Wlog2（1＋1000）)×100%＝eq\f(log22001－log21001,log21001)×100%≈eq\f(10.967－9.967,9.967)×100%≈10%.答案：A14．解析：（1）y＝f（x）的定義域是[10，1000]，值域是（0，9]，eq\f(y,x)∈（0，0.2].（2）①不符合，②符合．理由如下：當(dāng)y＝eq\f(x,150)＋2時(shí)，eq\f(y,x)＝eq\f(1,150)＋eq\f(2,x)的最大值是eq\f(31,150)>0.2，不符合公司的要求．當(dāng)y＝4lgx－3時(shí)，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，最大值為9.由eq\f(y,x)≤0.2可知y－0.2x≤0.令g（x）＝4lgx－3－0.2x，x∈[10，1000]，則