統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習第十二章復數(shù)推理與證明算法第三節(jié)直接證明和間接證明學生用書

第三節(jié)干脆證明和間接證明·最新考綱·1．了解干脆證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思索過程、特點．2．了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思索過程、特點．·考向預料·考情分析：干脆證明與間接證明是中學數(shù)學的重要推理方法，它們仍是高考的考點，題型將是選擇或填空題．學科素養(yǎng)：通過干脆證明和間接證明的應用考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記3個學問點1．干脆證明內容綜合法分析法定義從已知條件動身，經過逐步的推理，最終達到待證結論的方法，是一種從____推導到____的思維方法從待證結論動身，一步一步尋求結論成立的充分條件，最終達到題設的已知條件或已被證明的事實的方法，是一種從____追溯到產生這一結果的____的思維方法特點從“____”看“____”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事實上是要找尋它的____條件從“____”看“____”，逐步靠攏“____”，其逐步推理，事實上是要找尋它的____條件2.間接證明——反證法要證明某一結論Q是正確的，但不干脆證明，而是先去____________(即Q的反面非Q是正確的)，經過正確的推理，最終得出________，因此說明非Q是________的，從而斷定結論Q是________的，這種證明方法叫做反證法．3．數(shù)學歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取________(n0∈N*)時命題成立．(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當________時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對____________________都成立，上述證明方法叫做數(shù)學歸納法．二、必明2個常用結論1．分析法與綜合法的應用特點：對較困難的問題，經常先從結論進行分析，尋求結論與條件的關系，找到解題思路，再運用綜合法證明；或兩種方法交叉運用．2．利用反證法證明的特點：要假設結論錯誤，并用假設的命題進行推理，假如沒有用假設命題推理而推出沖突結果，其推理過程是錯誤的．三、必練2類基礎題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)綜合法是干脆證明，分析法是間接證明．()(2)分析法是從要證明的結論動身，逐步找尋使結論成立的充要條件．()(3)反證法是指將結論和條件同時否定，推出沖突．()(二)教材改編2．[選修1－2·P42練習T2改編]若P＝a+6+a+7，Q＝a+8+a+5(a≥0)，則A．P＞QB．P＝QC.P＜QD．不能確定3．[選修1－2·P52T2改編]6－22與5-提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一綜合法的應用[綜合性][例1]設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1)ab＋bc＋ca≤13(2)a2聽課筆記：一題多變(變問題)若例1條件不變，證明：a2＋b2＋c2≥13反思感悟綜合法證題的思路與方法【對點訓練】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C＝2π3，求證：5a＝3b考點二分析法的應用[綜合性][例2]已知a＞0，證明：a2+1a2聽課筆記：反思感悟分析法的證題思路分析法的證題思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經成立的定理、性質或已經證明成立的結論等．通常采納“欲證—只需證—已知”的格式，在表達中要留意敘述形式的規(guī)范．【對點訓練】設x≥1，y≥1，證明：x＋y＋1xy≤1考點三反證法的應用[綜合性][例3]已知非零實數(shù)a，b，c構成公差不為0的等差數(shù)列，求證：1a，聽課筆記：反思感悟反證法證明問題的一般步驟(1)反設——假設命題的結論不成立，即假設原結論的反面為真；(2)歸謬——把“反設”作為條件，經過一系列正確的推理，得出沖突；(3)存真——由沖突結堅決定反設錯誤，從而確定原結論成立．應用反證法時，當原命題的結論的反面有多種狀況時，要對結論的反面的每一種狀況都進行探討，從而達到否定結論的目的．【對點訓練】設a＞0，b＞0，且a＋b＝1a(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時成立．考點四數(shù)學歸納法的應用[綜合性]角度1用數(shù)學歸納法證明不等式[例4]用數(shù)學歸納法證明：1＋n2≤1＋12+13＋…＋12n≤聽課筆記：反思感悟數(shù)學歸納法證明不等式的適用范圍及關鍵(1)適用范圍：當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他方法不易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法．(2)關鍵：由n＝k時命題成立證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設運用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化.角度2歸納——猜想——證明[例5]設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù)．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．聽課筆記：反思感悟歸納—猜想—證明問題的一般步驟第一步：計算數(shù)列前幾項或特別狀況，視察規(guī)律揣測數(shù)列的通項或一般結論；其次步：驗證一般結論對第一個值n0(n0∈N*)成立；第三步：假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時結論成立，證明當n＝k＋1時結論也成立；第四步：下結論，由上可知結論對隨意n≥n0，n∈N*成立．【對點訓練】1．數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n-12．已知正項數(shù)列{an}中，對于一切的n∈N*均有an2≤an－an(1)證明：數(shù)列{an}中的隨意一項都小于1；(2)探究an與1n第三節(jié)干脆證明和間接證明積累必備學問一、1．緣由結果結果緣由已知可知必要未知需知已知充分2．假設Q不成立沖突錯誤正確3．(1)第一個值n0(2)n＝k＋1從n0起先的全部正整數(shù)n三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：假設P＞Q，只需P2＞Q2，即2a＋13＋2a+6a+7＞2a＋13＋2a+8a+5，只需a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40.因為42＞40成立，所以P＞答案：A3．解析：假設6－22＞5-要證6－22＞5-7，只需證6+7＞即證13＋242＞13＋410，即42＞210.因為42＞40，所以6－22＞5-答案：6－22＞5提升關鍵實力考點一例1證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13當且僅當“a＝b＝c”時等號成立．(2)因為a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2當且僅當“a2＝b2＝c2”時等號成立，故a2b+b2c+c2a＋(a＋即a2b+b2c+c2一題多變證明：因為a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.因為2ab≤a2＋b2，2bc≤b2＋c2，2ac≤a2＋c2，當且僅當“a＝b＝c”時等號成立，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13對點訓練證明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因為sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以ab＝35，即5a＝3考點二例2證明：要證a2+1a2只需證a2+1a2因為a＞0，故只需證(a2+1a2＋2)2≥(a＋1a+2)2，即a2＋1a2＋4a2+1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，從而只需證2a2+1a對點訓練證明：由于x≥1，y≥1，所以要證明x＋y＋1xy≤1只要證明xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只要證明(xy)2－1＋(x＋y)－xy(x＋y)≥0，只要證明(xy－1)(xy＋1－x－y)≥0，只要證明(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.由于x≥1，y≥1，上式明顯成立，所以原命題成立．考點三例3證明：假設1a則2b＝1所以2ac＝bc＋ab，①又a，b，c成等差數(shù)列且公差d≠0，所以2b＝a＋c，②所以把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b，所以b2＝ac，③由②平方，得4b2＝(a＋c)2，④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，所以(a－c)2＝0，所以a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，所以數(shù)列a，b，c的公差為0，這與已知沖突，所以1a，對點訓練證明：由a＋b＝1a+1b＝a+bab，a(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假設a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立，則由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1沖突．故a2＋a＜2與b2＋b＜2不行能同時成立．考點四例4證明：①當n＝1時，左邊＝1＋12，右邊＝1所以32≤1＋1②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時命題成立，即1＋k2≤1＋12+13則當n＝k＋1時，1＋12+13＋…＋12k+12k+1又1＋12+13＋…＋12k+12k+1+12k即n＝k＋1時，命題成立．由①②可知，命題對全部n∈N*都成立．例5解析：由題設得g(x)＝x1+x(x(1)由已知，g1(x)＝x1+xg2(x)＝g(g1(x))＝x1+x1+xg3(x)＝x1+3x，…，可猜想gn(x)＝x下面用數(shù)學歸納法證明：①當n＝1時，g1(x)＝x1+x②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立，即gk(x)＝x1+kx則當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1+gk即n＝k＋1時結論成立．由①②可知，結論對n∈N*都成立．(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1+x設φ(x)＝ln(1＋x)－ax1+x(x則φ′(x)＝11+x-a當a≤1時，φ′(x)≥0(當且僅當x＝0，a＝1時等號成立)，所以φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增．又φ(0)＝0，所以φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以當a≤1時，ln(1＋x)≥ax1+x恒成立(當且僅當x當a＞1時，對x∈[0，a－1]，有φ′(x)≤0，所以φ(x)在[0，a－1]上單調遞減，所以φ(a－1)＜φ(0)＝0.即當a＞1時，存在x＞0，使φ(x)＜0，所以ln(1＋x)≥ax1+x綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1].對點訓練1．證明：①當n＝2時，左邊＝1＋13＝43，右邊＝因為左邊＞右邊，所以不等式成立．②假設當n＝k(k≥2，且k∈N*)時不等式成立，即(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1則當n＝k＋1時，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k-1)·1+12k+1-1＞2k+12＝2k+32k+122k+1所以當n＝k＋1時，不等式也成立．由①②知對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．2