湖北省部分市州2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖北省部分市州2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期元月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1．已知i為虛數(shù)單位，則(1A．?i B．i C．-1 D．12．定義全集R，A={x∣x?1}，A．(?∞，1) B．(?∞，e) C．3．設(shè)命題p：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，命題q：數(shù)列{a2k?1}和A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計(jì)分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如12=2A．25 B．20 C．15 D．125．某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（）A．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人B．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人C．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人D．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人6．圓錐SO中，S為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓的圓心，底面圓O半徑為3，側(cè)面展開圖面積為63π，底面圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)A，A．4 B．25 C．337．拋物線C的方程為x2=4y，過點(diǎn)P(0，2)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，記直線A．-2 B．-1 C．?12 8．已知函數(shù)f(x)A．f(x)的一個(gè)周期為πB．f(x)在區(qū)間(?πC．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(πD．f(x)的最小值為2二、多選題：每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)選得0分.9．新能源汽車相比較傳統(tǒng)汽車具有節(jié)能環(huán)保?乘坐舒適?操控性好?使用成本低等優(yōu)勢，近幾年在我國得到越來越多消費(fèi)者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：月份123456銷量（萬輛）11.712.413.813.214.615.3針對(duì)上表數(shù)據(jù)，下列說法正確的有（）A．銷量的極差為3.6B．銷量的60%分位數(shù)是13.2C．銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D．若銷量關(guān)于月份的回歸方程為y=0.7x+b10．已知圓x2+(y?1)2=1與y軸交于OA．|AB|B．?x∈R，C．?2?D．令OA=λOB+μOC11．設(shè)f(x)=x3?3x2+a，點(diǎn)A是直線A．0條 B．1條 C．2條 D．3條12．如圖，某工藝品是一個(gè)多面體PABCD，AC=BD=42cm，AB=BC=CD=DA=213A．異面直線AD與BC所成角的余弦值為9B．當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，線段EF的最小值為4cmC．工藝品PABCD的體積為48cD．工藝品PABCD可以完全內(nèi)置于表面積為64πcm三、?填空題：每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)f(x)=x?lg(x2+1?ax)14．若角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(?35，415．已知方程eax?1+(a?1)x?1?lnx=0有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是16．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A，B，Q為橢圓上異于A，四、解答題：共70分.解答題需要在答題卡上寫出必要的說明或推理過程.17．如圖，在△ABC中，AB=AC=6，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且AD⊥AB，cos∠CAD=（1）求△BCE的面積；（2）求線段AD的長.18．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，（1）求二面角A?BE?F的正弦值；（2）是否存在點(diǎn)H使得GH∥平面BEF？若存在，求EHED19．第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州舉行.這是中國為世界呈現(xiàn)的體育盛會(huì)，也是亞洲人民攜手寫就的嶄新篇章.現(xiàn)有某場乒乓球比賽采用5局3勝制，先贏3局的一方獲勝，比賽結(jié)束.若參加比賽的甲每局比賽戰(zhàn)勝對(duì)手乙的概率均為23（1）求比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率；（2）設(shè)比賽進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果某場比賽賽前有3局2勝制和5局3勝制兩種方案供選手選擇，從概率角度考慮，乙如何選擇對(duì)自己有利？請(qǐng)直接寫出選擇方案.20．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）證明：數(shù)列{S（2）若數(shù)列{bn}滿足bnbn+1?bn21．已知0<x<π（1）證明：tanx?xx?sinx（2）若tanx+2sinx?ax>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．已知雙曲線C與雙曲線y24?（1）已知M(0，t)(t>4)，（2）已知?jiǎng)又本€l：y=kx+m(k≠±2)與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l垂直的直線l1與兩坐標(biāo)軸分別交于A(（i）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（ii）若對(duì)于一般情形，曲線C方程為y2a2?x2b

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】已知i為虛數(shù)單位，則(12+32．【答案】A【解析】【解答】定義全集R，A={x∣x?1}，B={y|y=ex，x∈A|=yy≥e，所以A∪3．【答案】A【解析】【解答】設(shè)命題p：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，命題q：數(shù)列{a2k?1}和{a2k}(k∈N*)均為等比數(shù)列，

先證充分性，因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以其中奇數(shù)列{a2k?1}和偶數(shù)列{a4．【答案】B【解析】【解答】由題意，因?yàn)?000=24×53，則2000的不同的正因數(shù)由2與5的乘積組成，

又因?yàn)橛?個(gè)2，3個(gè)5，

則選2時(shí)，有0，1，2，3，4共5種取法，同理，選5時(shí)，有0，1，2，3共4種取法，

即2000的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為5．【答案】B【解析】【解答】依題意，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的最低人數(shù)為1200×(60%+50%-1)=120人，參加兩項(xiàng)活動(dòng)的最高人數(shù)為1200×(65%+55%-1)=240人，所以參加兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)范圍為[120，240]。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件先求出兩項(xiàng)活動(dòng)的最低人數(shù)和最高人數(shù)，再根據(jù)這個(gè)范圍選出合適的選項(xiàng)。6．【答案】D【解析】【解答】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長為l，底面周長C=2πr=6π，所以r=3，

因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖面積為63π，所以πrl=63π，所以l=23，

所以SA=SB=23，

設(shè)AB之間的距離為x，(0≤x≤6)，取AB的中點(diǎn)D，

則AD=BD=12x，

在Rt?ODB中，OB2=OD2+BD2，

OD2=r2-(12x)2=9-14x2，

7．【答案】C【解析】【解答】拋物線C的方程為x2=4y，設(shè)過點(diǎn)P（0，2）的直線方程為y=kx+2，

過點(diǎn)P(0，2)的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

聯(lián)立直線與拋物線的方程，則y8．【答案】D【解析】【解答】依題意，對(duì)于A，f(x+π4)=|sin(x+π4)|3+|cos(x+π4)|3≠f(x)，

所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期不為π4，所以A錯(cuò)；

對(duì)于B，f(-π6)=sin(-π6)3+cos(-π6)3=18+338=1+338，f(0)=sin9．【答案】A,C,D【解析】【解答】由題意可知，對(duì)于A，銷量的極差為15.3-11.7=3.6萬輛，所以A對(duì)；

對(duì)于B，將銷量從小到大排序得出11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，

因?yàn)?×60%=3.6，所以銷量的60%分位數(shù)是第四個(gè)數(shù)為13.8，所以B錯(cuò)；

對(duì)于C，將銷量從小到大排序得出11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，

所以銷量的中位數(shù)為13.2+13.82=272=13.5萬輛，

銷量的平均數(shù)為11.7+12.4+13.2+13.8+14.6+15.36=13.5萬輛，所以C對(duì)；

對(duì)于D，若銷量關(guān)于月份的回歸方程為y=0.7x+b，因?yàn)榫€性回歸直線恒過樣本中心點(diǎn)(x-10．【答案】A,C【解析】【解答】已知圓x2+(y?1)2=1與y軸交于O（原點(diǎn)），C兩點(diǎn)，點(diǎn)A是圓上的動(dòng)點(diǎn)，B(2，0)，

對(duì)于A，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心M(0，1)，半徑長r=1，

所以MB=22+（-1）2=5，所以ABmax=MB+r=5+1，所以A對(duì)；

對(duì)于B，由題意可知C(0，2)，所以O(shè)B→?xBC→=(2+2x，-2x)，

所以O(shè)B→?xBC→=(2+2x)2+(-2x)2=22x2+2x+1=22(x+11．【答案】B,C【解析】【解答】設(shè)A(m，a+1-3m)為直線上任意一點(diǎn)，切點(diǎn)為B(x0，f(x0))，

f(x0)=x03-3x02+a，f'(x)=3x2-6x，f'(x0)=3x02-6x0，12．【答案】B,C【解析】【解答】根據(jù)題意可以構(gòu)造長寬高分別為6cm，4cm，4cm的長方體，

對(duì)于A，因?yàn)锽M∥CN，且BM=CN，則BCNM為平行四邊形，可得BC∥MN，可知異面直線AD與BC所成的角為∠DEM（或其補(bǔ)角），

在?DEM中，可知DE=EM=13，DM=4，由余弦定理可得，

cos∠DEM=DE2+EM2-DM22DE·EM=513，所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為513，所以A錯(cuò)；

13．【答案】±1???????【解析】【解答】已知函數(shù)f(x)=x?lg(x2+1?ax)是偶函數(shù)，則f(x)=f(-x)，

所以x?lg(x2+1?ax)=-xlg((-x)2+1+ax)=xlg(x2+114．【答案】7【解析】【解答】若角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(?35，45)，

則tanα=-4535=-15．【答案】(?∞，0]∪{1}(寫【解析】【解答】因?yàn)閑ax?1+(a?1)x?1?lnx=0，x>0，所以eax?1+ax-1=x+lnx，

令f(x)=ex+x，則f(ax-1)=f(lnx)，而函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，所以ax-1=lnx，

所以a=lnx+1x，令g(x)=lnx+1x，則g'(x)=-lnxx2，

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)的最大值為g(1)=1，

當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→0，作出函數(shù)g(x)的圖象，如下圖所示，16．【答案】(【解析】【解答】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，直線x=a2c與x軸交于點(diǎn)H，

因?yàn)锳P=λPC(1?λ?2)結(jié)合圖形知，λ=APPC=AFFH=a+ca2c-c=c2+aca2-c2=e2+e17．【答案】（1）解：∵而S△ABC∴S（2）解：解法（1）：∵cos∠CAD=∴cos∠CAB=cos(∠CAD+在△ABC中，B∴BC=46，∴在等腰∴Rt△ABD中，cosB=∴AD=B解法（2）：由SABC12【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合向量共線定理和三角形的面積公式和三角形中角的關(guān)系以及誘導(dǎo)公式，進(jìn)而得出三角形△BCE的面積。

（2）用兩種方法求解。

解法一：利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和三角形中角的取值范圍以及誘導(dǎo)公式，進(jìn)而得出cos∠CAB的值，再利用余弦定理得出BC的長，再利用等腰三角形和直角三角形的結(jié)構(gòu)特征和余弦函數(shù)的定義，進(jìn)而得出BD的長，再結(jié)合勾股定理得出AD的長。

解法二：利用已知條件可知SABC18．【答案】（1）解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，則建系如圖，則A(3∴AB設(shè)平面ABE，平面BEF的法向量分別為n1由AB?n由BF?n設(shè)二面角A?BE?F的大小為θ，∴∴sinθ=所以二面角A?BE?F的正弦值為77（2）解：存在H符合題意，且EHED解法①：（幾何法）取FC中點(diǎn)M，連接GM，則GM∥BF，而GM?平面BEF，BF?平面∴GM∥平面BEF；過M作MN∥EF交ED于N，連接MN，NG.同理可知，MN∥平面由GM∩MN=M，∴平面GMN∥平面∴GN∥平面BEF，∴點(diǎn)N即為所求的點(diǎn)∵四邊形EFMN為平行四邊形，EN=FM，DE=2FC=2，所以∴H為DE靠近點(diǎn)E的四等分點(diǎn)（即EH=解法②：（向量法）令EH=λED∴若GH∥平面BEF，∵GH?∴0?【解析】【分析】（1）由菱形的結(jié)構(gòu)特征得出對(duì)角線互相垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出平面ABE，平面BEF的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，進(jìn)而得出二面角A?BE?F的正弦值。

（2）用兩種方法求解。

解法一：（幾何法）利用中點(diǎn)作中位線的方法和中位線的性質(zhì)，進(jìn)而得出線線平行，再結(jié)合線線平行證出線面平行，再利用線面平行證出面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理證出線面平行，進(jìn)而得出點(diǎn)N即為所求的點(diǎn)H，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出EHED的值，從而得出點(diǎn)H為DE靠近點(diǎn)E的四等分點(diǎn)；

解法二：（向量法）利用向量共線的坐標(biāo)表示和三角形法則以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而由線面平行結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出EH19．【答案】（1）解：比賽進(jìn)行4局后甲獲勝，則甲在前3場需要?jiǎng)?局，第4局勝，∴P=（2）解：由題意知，X的取值可能為3，P(X=3)=(P(X=4)=CP(X=5)=1?∴X的分布列為：X345P1108∴E(X)=3×（3）解：乙應(yīng)該選擇3局2勝制.附理由如下：（供研究使用，考生無需在答題卡上計(jì)算）“3局2勝制”，乙可能2：0，2：1兩種方式獲勝，獲勝概率：P“5局3勝制”，乙可能3：0，3：1，3：2三種方式獲勝，獲勝概率：P因?yàn)镻1【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合二項(xiàng)分布求概率公式，進(jìn)而得出比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率。（2）利用已知條件得出隨機(jī)變量X可能的取值，再結(jié)合隨機(jī)變量X滿足二項(xiàng)分布，從而得出隨機(jī)變量X的分布列，再結(jié)合隨機(jī)變量X的分布列求數(shù)學(xué)期望公式，進(jìn)而得出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。

（3）利用已知條件結(jié)合互斥事件求概率公式和二項(xiàng)分布求概率公式，進(jìn)而得出某場比賽賽前有3局2勝制和5局3勝制兩種方案獲勝的概率，再結(jié)合比較法選出對(duì)乙有利的方案。20．【答案】（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，2S1當(dāng)n≥2時(shí)，2S∴Sn∴數(shù)列{S（2）解：由（1）知，S∵∴數(shù)列{b∴【bn∴∴=?1+也可分類討論得：T【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合Sn，an的關(guān)系式和分類討論的方法，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，進(jìn)而證出數(shù)列{Sn2}是等差數(shù)列。

（2）由（1）證出的數(shù)列{Sn2}是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出數(shù)列{Sn2}的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列{b21．【答案】（1）證明：先證當(dāng)0<x<π2時(shí)，令m(x)=x?sinx，則m'(x)=1?cos>0在∴m(x)=x?sinx在(0，π2即當(dāng)0<x<π2時(shí)，要證tanx?xx?sinx>2，只需證明tanx?x>2(x?sinx)令φ(x)=tanx+2sinx?3x，φ'（或1co當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)等號(hào)成立，而0<cosx<1∴在φ(x)在(0，π2)∴當(dāng)0<x<π2時(shí)，（2）解：令f(x)=tanx+2sinx?ax，x∈(0，令t=cosx，則t在x∈(