數(shù)學(xué)自我小測(cè)：合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．根據(jù)下面給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9＋7＝()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．11111132．下面使用類比推理，得出正確結(jié)論的是(）A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0,則a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc"類比推出“（a·b）c＝ac·bc”C．“若（a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f（a＋b,c）＝eq\f(a，c)＋eq\f（b，c)（c≠0）"D．“（ab)n＝anbn"類比推出“（a＋b）n＝an＋bn"3．?dāng)?shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)．若a1＝1,通過(guò)計(jì)算a2，a3,a4，猜想an＝（）A。eq\f（2，（n＋1）2)B。eq\f(2,n(n＋1））C。eq\f(2,2n－1）D.eq\f(2，2n－1)4．設(shè)f1（x）＝cosx，f2(x)＝f1′（x)，f3（x）＝f2′（x),fn＋1(x)＝fn′(x),n∈N＋,則f2014（x）等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx5．如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1，2，3,3,6,4,10，…，記這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn，則S16等于（）A．128B．144C．155D．1646．設(shè)函數(shù)f（x)＝eq\f(x，x＋2）(x＞0），觀察：f1(x）＝f（x)＝eq\f（x,x＋2）,f2(x)＝f(f1(x））＝eq\f（x，3x＋4），f3(x)＝f（f2（x）)＝eq\f(x，7x＋8),f4（x)＝f（f3(x））＝eq\f（x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋,且n≥2時(shí)，fn(x)＝f（fn－1(x））＝__________。7．如圖，在三棱錐SABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分別為α1,α2，α3，三側(cè)面△SBC,△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個(gè)猜想____________________．8．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為eq\f（n(n＋1），2)＝eq\f(1,2）n2＋eq\f（1，2）n。記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k)（k≥3)，以下給出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n，3)＝eq\f(1，2)n2＋eq\f(1，2）n,正方形數(shù)N（n,4）＝n2，五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f（3,2)n2－eq\f（1，2）n，六邊形數(shù)N(n，6)＝2n2－n，…………可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10,24)＝__________。9．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣,如圖所示，試求數(shù)陣中第n（n≥3）行的從左至右的第3個(gè)數(shù)．10．將自然數(shù)排成如下的螺旋狀：第1個(gè)拐彎處的數(shù)是2，第2個(gè)拐彎處的數(shù)是3，則第20個(gè)及第25個(gè)拐彎處的數(shù)各是多少？11．已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AO，BO，CO并延長(zhǎng)交對(duì)邊于A′，B′，C′，則eq\f(OA′,AA′）＋eq\f（OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′）＝1，這是一道平面幾何題，其證明常采用“面積法”．eq\f(OA′，AA′）＋eq\f(OB′,BB′）＋eq\f（OC′，CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f（S△OCA,S△ABC）＋eq\f(S△OAB，S△ABC）＝eq\f（S△ABC，S△ABC)＝1。請(qǐng)運(yùn)用類比思想，對(duì)于空間中的四面體A-BCD，存在什么類似的結(jié)論？并證明．

參考答案1。答案：B2。答案:C3。解析：由已知可得，a2＝S2－S1＝4a2－a1，解得a2＝eq\f(1,3）。代入選項(xiàng)中可知B適合．答案：B4。解析：f1（x)＝cosx，f2(x）＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x）＝(－sinx)′＝－cosx，f4（x)＝（－cosx)′＝sinx，f5(x)＝（sinx)′＝cosx，…則fn(x)的取值呈周期性,且4是最小正周期，∴f2014(x）＝f2(x)＝－sinx.答案：B5.解析:由題意可知該數(shù)列的前16項(xiàng)為：1,2,3,3，6,4,10,5，15,6，21,7，28,8，36，9。故S16＝1＋2＋3＋…＋36＋9＝164.答案:D6。解析:觀察知：四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為x＋2,3x＋4，7x＋8，15x＋16，即（2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1）x＋8，（16－1）x＋16，所以歸納出fn(x）＝f（fn－1(x）)的分母為（2n－1)x＋2n，故當(dāng)n∈N＋，且n≥2時(shí)，fn(x）＝f（fn－1（x））＝eq\f（x,（2n－1)x＋2n）。答案：eq\f（x,（2n－1）x＋2n)7.解析：如圖，在△DEF中，由正弦定理,得eq\f(d，sinD）＝eq\f（e，sinE)＝eq\f（f，sinF)，于是，類比三角形中的正弦定理，在三棱錐SABC中，我們猜想＝＝.答案：＝＝8。解析：由題中數(shù)據(jù)可猜想：含n2項(xiàng)的系數(shù)組成首項(xiàng)是eq\f（1，2）,公差是eq\f（1,2）的等差數(shù)列，含n項(xiàng)的系數(shù)組成首項(xiàng)是eq\f(1，2),公差是－eq\f(1,2)的等差數(shù)列，因此N(n，k）＝eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)＋（k－3）\f(1,2))）n2＋eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）＋（k－3)\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2））)))n＝eq\f(k－2,2)n2＋eq\f(4－k,2)n.故N(10,24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1000。答案：10009.解：第1行，第2行，第3行，…分別有1，2,3，…個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字前后差1，則第n－1行的最后一個(gè)數(shù)字再加3即為第n（n≥3）行的從左至右的第3個(gè)數(shù)，前n－1行共有數(shù)字1＋2＋3＋…＋（n－1）＝eq\f(n（n－1)，2)，則第n(n≥3）行的從左至右的第3個(gè)數(shù)為eq\f（n(n－1)，2）＋3＝eq\f（n2－n＋6,2)。10.分析：先根據(jù)前面的情況歸納出一般結(jié)論,再求解．解：前幾個(gè)拐彎處的數(shù)依次是2,3,5,7,10,13,17，21,26,…，這是一個(gè)數(shù)列，題目要求找出它的第20項(xiàng)和第25項(xiàng)各是多少,因此要找出這個(gè)數(shù)列的規(guī)律．把數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，得一新數(shù)列，1,2，2,3，3,4,4，5，5，…,把原數(shù)列的第一項(xiàng)2添在新數(shù)列的前面，得到2,1,2,2，3，3，4,4，5，5，…，于是,原數(shù)列的第n項(xiàng)an就等于上面數(shù)列的前n項(xiàng)和，即a1＝2＝1＋1＝2,a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋（1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以,第20個(gè)拐彎處的數(shù)a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×（1＋2＋…＋10)＝111.第25個(gè)拐彎處的數(shù)a25＝1＋（1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13）＝111＋2×（11＋12)＋13＝170。11。解:在四面體A。BCD中，任取一點(diǎn)O,連接AO,DO,BO，CO并延長(zhǎng)分別交四個(gè)面于E，F(xiàn)，G，H點(diǎn)．則eq\f（OE，AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG）＋eq\f（OH，CH）＝1。在四面體O。BCD與A。BCD中,eq\f(OE,AE)＝eq\f（hO.BCD，hA.BCD)＝eq\f（\f(1,3)S△BCD·hO。BCD,\f（1,3）S△BCD·hA。BCD)＝eq\f(VO。BCD,VA-BCD).同理，eq\f（OF,DF）＝eq\f(VO。ABC,VD-ABC），e