浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page15浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．全部答案必需寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，然后干脆驗(yàn)證答案可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B2.函數(shù)的最小正周期是（）A.π B.2π C.3π D.4π【答案】A【解析】分析】化簡(jiǎn)得出，即可求出最小正周期.【詳解】，最小正周期故選：A.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為化為，故選B.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線，屬于簡(jiǎn)潔難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.4.寧波某中學(xué)某次高二年級(jí)測(cè)試，經(jīng)抽樣分析，成果X近似聽從正態(tài)分布，且，該校有500人參與此次測(cè)試，估計(jì)該校數(shù)學(xué)成果不低于96分的學(xué)生人數(shù)為（）A.60 B.80 C.100 D.120【答案】C【解析】【分析】先求出，再由對(duì)稱性得，再求人數(shù)即可.【詳解】由題意知：，，則學(xué)生人數(shù)為人.故選：C.5.已知是第四象限角，且，（）A.7 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再由兩角和的正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍遥?，又是第四象限角，所以，所以，所以；故選：D6.定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得微小值【答案】D【解析】【分析】先由函數(shù)圖像得到在各區(qū)間上的正負(fù)，再推斷單調(diào)性及極值即可.【詳解】由圖像知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；函數(shù)在單減，在上單增，在處取得微小值，D正確.故選：D.7.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別從籃球、足球、排球、羽毛球四種球類項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)進(jìn)行活動(dòng)，則四名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同且只有乙同學(xué)選籃球發(fā)生的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的選法，然后特別元素優(yōu)先排可得滿意題意的選法，再由古典概型概率公式可得.【詳解】四名同學(xué)從四種球類項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)，每人有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的選法有種，由于乙同學(xué)選籃球，且四名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同，所以問題相當(dāng)于將足球、排球、羽毛球三種球類項(xiàng)目分別安排給甲、丙、丁3位同學(xué)，共種，所以所求概率.故選：B8.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意在上恒成立，依據(jù)二倍角公式得到，令，即，恒成立，參變分別可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而得解；【詳解】解：在區(qū)間上是增函數(shù)，在上恒成立，，因?yàn)椋粤?，則，即，，，令，，則，在上單調(diào)遞減，，即，故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分．9.(多選)設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，則（）A.P(AB)＝ B.P(AB)＝C.P(B)＝ D.P(B)＝【答案】AC【解析】【分析】【詳解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.是其次象限角 B.已知，則C. D.若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為3【答案】ACD【解析】【分析】由終邊相同角的性質(zhì)推斷A；由誘導(dǎo)公式推斷B；由倍角公式推斷C；由弧長(zhǎng)公式得出半徑，進(jìn)而得出扇形面積.【詳解】，是其次象限角，則是其次象限角，故A正確；，，故B錯(cuò)誤；，故C正確；設(shè)扇形的半徑為，則，則，故D正確；故選：ACD11.的綻開式中（）A.常數(shù)項(xiàng)為8 B.常數(shù)項(xiàng)為16 C.的系數(shù)為32 D.的系數(shù)為40【答案】BD【解析】【分析】由結(jié)合二項(xiàng)綻開式求解即可.【詳解】，常數(shù)項(xiàng)為，A錯(cuò)誤，B正確；含的項(xiàng)為，則的系數(shù)為40，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)在（0，+）上的最小值為3，直線l表達(dá)式為，則下列結(jié)論正確的是（）A.實(shí)數(shù) B.當(dāng)時(shí)，l是曲線的切線C.存在直線l與曲線相切且與有2個(gè)公共點(diǎn) D.曲線與直線l可能有4個(gè)公共點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)侏得時(shí)，取得最小值，進(jìn)而可推斷A;對(duì)B，推斷方程是否有解；對(duì)C，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；對(duì)D，轉(zhuǎn)化為三次方程的根的個(gè)數(shù)；【詳解】對(duì)A，因?yàn)?因?yàn)?所以時(shí)，取得最小值，所以,所以.故A正確；對(duì)B，設(shè)切點(diǎn)為,又因?yàn)?，所以切線滿意斜率,方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)切點(diǎn)，則，切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，令，所以，令，，或；，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，，所以，使得，所以，聯(lián)立方程與可得：，，令，則，令或，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以在僅有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，方程在上至多有三個(gè)根，故D錯(cuò)誤；故選：AC非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.甲從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取4次，記摸得白球個(gè)數(shù)為X，若，則___________，____________．【答案】①.4②.【解析】【分析】先推斷出，再由二項(xiàng)分布的期望方差公式求解即可.【詳解】由題意知：，則，解得；.故答案為：4；.14.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則___________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)可得，然后可得.【詳解】因?yàn)樗?，整理得所以所?故答案為：15.冬奧會(huì)首金誕生于短道速滑男女混合接力賽，賽后4位運(yùn)動(dòng)員依次接受采訪，曲春雨要求不第1個(gè)接受采訪，武大靖在任子威后接受采訪（可以不相鄰），則采訪支配方式有__________種．【答案】9【解析】【分析】先考慮曲春雨，再結(jié)合倍縮法解確定序問題考慮剩下的3位選手，最終由分步計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】先考慮曲春雨，有3種采訪支配，再考慮剩下的3位選手，武大靖在任子威后，有種，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種.故答案為：9.16.已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由條件是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，說(shuō)明在上無(wú)解，或有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值【詳解】的定義域?yàn)槭呛瘮?shù)的唯一極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的唯一根（Ⅰ）在無(wú)變號(hào)零點(diǎn)令，則，即在上單調(diào)遞增此時(shí)（Ⅱ）當(dāng)在有解時(shí)，此時(shí)，解得此時(shí)在和上均單調(diào)遞增，不符合題意故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17.已知的二項(xiàng)式綻開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和均為128，（1）求綻開式中全部的有理項(xiàng)；（2）求綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和性質(zhì)，以及二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，解出，再由通項(xiàng)公式，再寫出有理項(xiàng)；（2）由通項(xiàng)得出綻開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【小問1詳解】二項(xiàng)綻開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，各項(xiàng)系數(shù)的和為由已知得，故，此時(shí)綻開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，故綻開式中全部的有理項(xiàng)為，【小問2詳解】綻開式通項(xiàng)為，，故二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)系數(shù)最大，即第或第項(xiàng)系數(shù)最大，即系數(shù)最大的項(xiàng)為，；18.已知函數(shù)（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）2（2）最大值為3，最小值為.【解析】【分析】（1）先由倍角公式和協(xié)助角公式得到，再代入計(jì)算即可；（2）先求出，再由正弦函數(shù)的最值求解即可.【小問1詳解】

，則；【小問2詳解】由得，則，則，即在區(qū)間上的最大值為3，最小值為.19.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)換為恒成立問題即在上恒成立，進(jìn)行求解即可；（2）求導(dǎo)可得，依據(jù)，進(jìn)行探討，由單調(diào)性求最值即可得解.【小問1詳解】∵，∴∵在上是增函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立.∴.【小問2詳解】由（1）得，.①若，在上恒成立，此時(shí)在上是增函數(shù).所以，解得（舍去）.②若時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).所以，解得綜上，20.某中學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)生物試驗(yàn)考查方案：考生從5道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，依據(jù)題目要求獨(dú)立完成全部試驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過，已知5道備選題中考生甲有3道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（2）試從兩位考生正確完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的試驗(yàn)操作實(shí)力．【答案】（1）分布列見解析，期望均為；（2）見解析【解析】【分析】（1）先求出甲正確完成的題目為1，2，3，乙正確完成的題目為0，1，2，3，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列計(jì)算期望即可；（2）干脆比較兩人完成題數(shù)的數(shù)學(xué)期望及至少正確完成2題的概率即可做出推斷.【小問1詳解】設(shè)甲、乙兩考生正確完成題數(shù)分別為，則，，則甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列為：123數(shù)學(xué)期望；易得，，，則乙考生正確完成題數(shù)的概率分布列為：0123數(shù)學(xué)期望；【小問2詳解】由（1）知：，從期望上看兩人水平相當(dāng)；，，因?yàn)?，則甲通過的可能性要大于乙，因此可以推斷甲的試驗(yàn)操作實(shí)力更強(qiáng).21.某中學(xué)調(diào)查暑假學(xué)生居家每天熬煉時(shí)間狀況，從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人，由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：

（1）求的值，并求高一、高二全體學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該人每天熬煉時(shí)間超過40分鐘的概率；（2）在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，求至少有一人的熬煉時(shí)間小于30分鐘的概率；（3）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生熬煉時(shí)間Z聽從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，且每名學(xué)生熬煉時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)X表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取50人，其熬煉時(shí)間位于的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．注：①計(jì)算得標(biāo)準(zhǔn)差；②若，則：，．【答案】（1），概率為；（2）0.84；（3）17.065【解析】【分析】（1）由頻率和為1求出即可，干脆由古典概型計(jì)算概率即可；（2）先分別求出在高一、高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，熬煉時(shí)間小于30分鐘的概率，再由對(duì)立事務(wù)計(jì)算至少有一人的熬煉時(shí)間小于30分鐘的概率即可；（3）先求出，再由二項(xiàng)分布期望公式求解即可.【小問1詳解】，解得，該人每天熬煉時(shí)間超過40分鐘的概率為；【小問2詳解】設(shè)事務(wù)在高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，熬煉時(shí)間小于30分鐘，事務(wù)在高二學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，熬煉時(shí)間小于30分鐘，事務(wù)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，至少有一人熬煉時(shí)間小于30分鐘，則，，則；【小問3詳解】，又，則，從而，則，依題意知：，則.22.已知函數(shù)，（1）探討單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)若對(duì)于隨意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行探討，解導(dǎo)數(shù)不等式，即可得到函數(shù)單調(diào)性;（2）由題意可將原不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，不等式可變?yōu)?，求?dǎo)推斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，通過分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)即可得到答案.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，則：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減