江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page172024-2025學(xué)年度第1學(xué)期高二年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線方程干脆寫(xiě)出漸近線方程即可.【詳解】由雙曲線方程知：，，而漸近線方程為，所以雙曲線漸近線為.故選：B2.若將直線沿軸正方向平移3個(gè)單位，再沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位，又回到了原來(lái)的位置，則的斜率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別寫(xiě)出平移前后的直線的方程，結(jié)合題意運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則平移后直線的方程為，則可得：，即．故選：C.3.若數(shù)據(jù)，，，…，的方差為7，則數(shù)據(jù)，，，…，的方差為（）A.7 B.49 C.8 D.64【答案】A【解析】【分析】波動(dòng)程度沒(méi)有發(fā)生改變.【詳解】數(shù)據(jù)，，，…，到，，，…，，波動(dòng)性并沒(méi)有發(fā)生改變，所以方差還是7.故選：A4.已知橢圓，若的頂點(diǎn)，分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，則的值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】【分析】利用橢圓方程得到，，再利用正弦定理即可求解詳解】由橢圓可得，，所以，則，，所以在中，利用正弦定理可得，故選：A5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而依據(jù)橢圓的定義得，再求離心律即可.【詳解】：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，若，且，所以，，所以，，，因?yàn)橛蓹E圓定義得所以，．故選：B6.已知矩形的長(zhǎng)為2，寬為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，邊分別為軸正半軸，軸正半軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上（包括端點(diǎn)），則折痕所在直線縱截距的最小值為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)折的對(duì)稱性可得，若點(diǎn)折疊后落在上點(diǎn)為，則斜率相乘得，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，求得截距即可得到答案.【詳解】設(shè)折痕所在直線斜率，設(shè)點(diǎn)折疊后落在上點(diǎn)為，則與折痕垂直，即，即，所以中點(diǎn)，因此折痕所在直線方程為：，其縱截距為．故選：B.7.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，若垂足在圓上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)直線與相切，利用點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于的表達(dá)式，即可得范圍.【詳解】因?yàn)榇棺阍趫A上，即直線與該圓相切，

所以.故選：C8.已知實(shí)數(shù)滿意，，，則的最大值是（）A. B.6 C. D.12【答案】D【解析】【分析】分析所給出條件的幾何意義，作圖，依據(jù)幾何意義運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出最大值.【詳解】如圖：設(shè)，，則原題等價(jià)于點(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，并且，所以，，所以所求最大值就是兩點(diǎn)到直線的距離之和的倍，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由上圖可知：，就是M點(diǎn)到直線的距離的倍，由于是直角三角形，，設(shè)的中點(diǎn)為，所以在圓上運(yùn)動(dòng)，所以本題等價(jià)于求到直線的距離倍的最大值，明顯，最大值=原點(diǎn)O到直線的距離與圓的半徑之和的倍；故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9.若曲線：，下列結(jié)論正確的是（）A.若曲線是橢圓，則 B.若曲線是雙曲線，則C.若曲線是橢圓，則焦距為 D.若曲線是雙曲線，則焦距為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)方程表示橢圓、雙曲線的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A，時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，曲線不是橢圓，故不正確；對(duì)于B，若曲線為雙曲線，則，解得，故正確；對(duì)于C，若曲線為橢圓，則，故即所以，故正確；對(duì)于D，若曲線為雙曲線，則，故即，所以，故正確；故選：BCD10.為迎接黨的二十大成功召開(kāi)，某中學(xué)實(shí)行黨史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分狀況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)依據(jù)?分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，依據(jù)圖中信息，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.得分在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200C.該校學(xué)生黨史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)干脆計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖性質(zhì)得：，解得，故正確；對(duì)于B，由頻率分布直方圖得：成果落在區(qū)間的頻率為，所以人數(shù)為，故B正確；對(duì)于，由頻率分布直方圖得：的頻率為的頻率為，所以成果的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)成果的平均數(shù)為：，所以成果的平均數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，故D正確.故選：ABD.11.在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的可能取值有（）A. B. C.3 D.4【答案】AC【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示，用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題.【詳解】以為圓點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知有：，，，，即在圓上，所以有，則．故選：AC12.已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，、為雙曲線的兩條漸近線，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足依次為、，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可推斷A選項(xiàng)；分析可知、、、四點(diǎn)共圓，利用圓的幾何性質(zhì)可推斷B選項(xiàng)；求出、的面積，可推斷C選項(xiàng)；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，，則、、、四點(diǎn)共圓，且為該圓的一條直徑，為該圓的一條弦，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線兩漸近線的斜率分別為、，所以，雙曲線兩漸近線的夾角為，由B選項(xiàng)可知，，，因?yàn)?，則，因?yàn)椋瑒t，同理，，所以，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，且，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_(kāi)______________.【答案】或【解析】【分析】分類(lèi)探討直線是否過(guò)原點(diǎn)確定直線方程即可.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，直線方程為，即，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的求解，分類(lèi)探討的數(shù)學(xué)思想等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.14.若，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，為橢圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)________．【答案】8【解析】【分析】依據(jù)橢圓對(duì)稱性及矩形的性質(zhì)知四邊形為矩形，進(jìn)而有，再依據(jù)橢圓定義、勾股定理求即可.【詳解】由已知及對(duì)稱性得：四邊形為矩形，即，所以，由橢圓定義與勾股定理知：，可得．所以四邊形的面積為8.故答案為：815.已知圓和直線相交于，兩點(diǎn)，若射線，可由軸正方向圍著原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)，角得到，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】先聯(lián)立方程組求出，兩點(diǎn)，然后依據(jù)射線，可由軸正方向圍著原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)得到，，然后求出答案【詳解】，即，，所以，設(shè)直線傾斜角為，其中，因?yàn)樯渚€，可由軸正方向圍著原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)，角得到，故，，即.故答案為：.16.已知，為橢圓左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)點(diǎn)作垂直于軸的直線，若直線上存在點(diǎn)滿意，則橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】過(guò)，點(diǎn)作圓，使得，進(jìn)而得在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，再依據(jù)幾何關(guān)系得圓的圓心為，半徑為，再依據(jù)直線與優(yōu)弧有交點(diǎn)得，進(jìn)而求得離心率的范圍.【詳解】解：如圖，過(guò)，點(diǎn)作圓，使得，所以，由同弧所對(duì)圓周角為定角可知，即在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，所以，由可得，即，所以，圓的圓心為，半徑為，又因在直線上，所以直線與優(yōu)弧有交點(diǎn)，即，所以，即橢圓離心率的取值范圍為.依據(jù)對(duì)稱性，同理，圓心可以在軸下方時(shí)，方法相同，答案相同.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．17.已知直線l經(jīng)過(guò)兩直線：和：的交點(diǎn)．（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；（2）若點(diǎn)，到直線的距離相等，求直線的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）求得兩直線的交點(diǎn)，結(jié)合直線的斜率，即可求得直線方程；（2）探討直線與點(diǎn)之間的位置關(guān)系，在不同狀況下求對(duì)應(yīng)直線的方程即可.【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立直線的方程：，解得，設(shè)直線斜率為，則，所以方程為：.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)在同側(cè)，則//，即，所以方程為：，即；當(dāng)在兩側(cè)，則中點(diǎn)在上，所以，即；綜上所述，直線的方程為或.18.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的寵愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種主流經(jīng)濟(jì)形式．某直播平臺(tái)對(duì)平臺(tái)內(nèi)800個(gè)直播商家進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺(jué)所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、飾品類(lèi)等，各類(lèi)直播商家所占比例如圖．（1）該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，準(zhǔn)備隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢溝通．假如依據(jù)分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類(lèi)、玩具類(lèi)商家各多少家？（2）在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），并將平均日利潤(rùn)超過(guò)300元的商家稱為“優(yōu)秀商家”，所得頻率直方圖如圖所示．（i）請(qǐng)依據(jù)頻率直方圖計(jì)算抽取的商家中“優(yōu)秀商家”個(gè)數(shù)，并以此估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)；（ii）若從抽取的“優(yōu)秀商家”中隨機(jī)邀請(qǐng)兩個(gè)商家共享閱歷，求邀請(qǐng)到的商家來(lái)自不同平均日利潤(rùn)組別的概率．【答案】（1）16家；4家；（2）（i）6家；120家；（ii）.【解析】【分析】（1）由已知，可先計(jì)算小吃類(lèi)、玩具類(lèi)商家所占的比例，然后依據(jù)分層抽樣的方法干脆計(jì)算；（2）由已知題意和圖像可先求解出，然后再干脆計(jì)算直播平臺(tái)優(yōu)秀商家個(gè)數(shù)；可依據(jù)條件，優(yōu)秀商家中來(lái)自300-350元平均日利潤(rùn)組的有4家，來(lái)白350-400元平均日利潤(rùn)組的有2家，干脆計(jì)算邀請(qǐng)到的商家來(lái)自不同平均日利潤(rùn)組別的事務(wù)的概率.【小問(wèn)1詳解】抽取小吃類(lèi)商家（家），抽取玩具類(lèi)商家（家）；【小問(wèn)2詳解】由圖可得，（i）該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”個(gè)數(shù)約為（家）；（ii）由已知得：抽取的“優(yōu)秀商家”中來(lái)自300-350元平均日利潤(rùn)組的有4家，來(lái)白350-400元平均日利潤(rùn)組的有2家．設(shè)邀請(qǐng)到的商家來(lái)自不同平均日利潤(rùn)組別的事務(wù)為，則．19.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，分別為其下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，且的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線，使得與橢圓相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的重心？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在直線滿意題意，其方程為：．【解析】【分析】（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)可得，，結(jié)合的面積和離心率求出即可；（2）設(shè)，，直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程得關(guān)于的解析式，若存在直線使得為重心，則，利用向量加法的坐標(biāo)公式解的值即可，留意探討直線斜率不存在的狀況.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，聯(lián)立，令，所以，，若存在直線使得為重心，則，即，由解得，此時(shí)有，所以存在直線.②直線斜率不存在時(shí)，由重心可知中點(diǎn)應(yīng)在直線上，而此時(shí)明顯不成立，綜上所述，存在直線滿意題意，其方程為：．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的直線與圓：交于點(diǎn)（與不同），過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與圓：交于，兩點(diǎn)．（1）記直線的傾斜角為，求的取值范圍；（2）若線段的中點(diǎn)為，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，可分兩種狀況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可通過(guò)計(jì)算直線、直線與圓心的位置關(guān)系來(lái)推斷直線與圓相交，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)得到直線、直線即可依據(jù)圓的方程干脆做出推斷；（2）由已知，可分兩種狀況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可通過(guò)計(jì)算圓心到直線、直線的距離來(lái)計(jì)算三角形面積，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)可干脆計(jì)算三角形面積.【小問(wèn)1詳解】由題意即直線與圓相交，且直線與圓相交，直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線斜率為，即，由題意有，因?yàn)橹本€傾斜角的范圍為，即；直線斜率不存在時(shí)，易得：，：，即，，滿意題意，此時(shí)．綜上所述，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，則①直線斜率存在時(shí)，有，所以，②直線斜率不存在時(shí)，．綜上所述，面積的取值范圍是．21.已知橢圓：，若點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求的方程；（2）點(diǎn)是的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與交于不同的兩點(diǎn)，，求證：內(nèi)切圓的圓心在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分