江蘇省南京2024-2025高三數(shù)學(xué)暑期小練試題

江蘇省南京2024-2025高三暑期小練（1）試卷數(shù)學(xué)試題本卷考試時(shí)間：90分鐘總分：100分一?選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知復(fù)數(shù)，，且復(fù)數(shù)滿意，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（▲）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)命題：，，則為（▲）A．， B．，C．， D．，3．在中，角的對邊分別為，則外接圓的面積為（▲）A． B． C． D．4．在中，，則（▲）A． B． C． D．5．設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（▲）A．B．C． D．6．比較，，的大?。ā〢． B． C． D．7.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)且在上為減函數(shù)，則的值正確的是（▲）A．B．C． D．8.已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時(shí)，（▲）A．B． C． D．二?多選題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．若，，為實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（▲）A．若，則B．若，則C．“關(guān)于的不等式恒成立”的充要條件是“，”D．“”是“關(guān)于的方程有兩個(gè)異號的實(shí)根”的必要不充分條件10．聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)函數(shù)為，其中A影響音的響度和音長，影響音的頻率，響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大；音調(diào)與聲波的振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉．平常我們聽到的音樂都是由很多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是．則下列說法正確的有（▲）A．是偶函數(shù)；B．的最小正周期可能為；C．若聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度肯定比純音的響度大；D．若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙肯定比純音低沉．11.已知，則下列結(jié)論正確的是（▲）A．的最大值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的最小值為312.已知兩曲線與，則下列結(jié)論不正確的是（▲）A．若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)B．若，則兩曲線只有一條公切線C．若，則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為D．若分別是兩曲線上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)距離的最小值為1二?填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.將答案填寫在題中的橫線上.）已知命題p：對，，若p為真命題，則實(shí)數(shù)a的最小值是___▲___．14.已知sin，則____▲____．15．已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則|eq\o(\s\up7(→),a)－eq\o(\s\up7(→),b)|＝.16.若存在實(shí)數(shù)使得，則的值為____▲____．四?解答題（本大題共4小題，共44分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17．(10分)已知集合，.（1）求集合；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．(10分)在中，角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，當(dāng)取最小值時(shí)，求的面積．19．(12分)已知函數(shù).（1）若不等式對隨意恒成立，求整數(shù)m的最大值；（2）若函數(shù)，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20．(12分)設(shè)函數(shù)，其中.（1）探討函數(shù)在上的極值；（2）若函數(shù)f(x)有兩零點(diǎn)，且滿意，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】C【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求出，再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系求出復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，所以復(fù)數(shù)，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C.2．【答案】A【分析】由全稱量詞命題的否定求解即可.【詳解】全稱量詞命題的否定步驟為：“改量詞，否結(jié)論”，因?yàn)椋?，，所以為?故選：A.3．【答案】B【分析】利用正弦定理結(jié)合已知可求出三角形外接圓的半徑，從而可求出外接圓的面積》【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，解得，所以外接圓的面積為.故選：B.4．【答案】C【分析】先由得到，結(jié)合余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，由余弦定理，可得：，所?故選:C5．【答案】D【分析】先消參將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，得、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，轉(zhuǎn)化為，則問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)O到直線上一點(diǎn)P距離為1，建立不等式求斜率范圍即可.【詳解】橢圓方程為，橢圓中心在原點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則由對稱性可知，、關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以，故原點(diǎn)到直線的距離，解得或，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)于三角形中線的向量表示：在中，是邊上的中線，則.6．【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出，，進(jìn)而可推斷三者的大小關(guān)系.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，則，故選：B.6.1備選【答案】A【分析】因?yàn)?，所以?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，可得.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，所以，即，所以.令，，，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，即，所以，綜上所述：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性比較大小是解題關(guān)鍵.7.【答案】C【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，且遞減，所以且，即，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.故選：C.8.【答案】A【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合，及余弦定理可得，依據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，即，所以，所以，又，，則，所以，即，由，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)取最大值時(shí)，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形重心的性質(zhì)和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二?多選題9．【答案】BD【解析】若，則A選項(xiàng)不成立；依據(jù)不等式的性質(zhì)，可推斷B正確；依據(jù)充要條件的概念，可推斷C錯(cuò)；依據(jù)充分條件和必要條件的概念，結(jié)合方程根的個(gè)數(shù)，可推斷D正確.【詳解】A選項(xiàng)，若，，則，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，則，，即，B正確；C選項(xiàng)，不等式不肯定是一元二次不等式，所以不能推出；由，，可得出不等式恒成立，所以“關(guān)于的不等式恒成立”的充要條件不是“，”，C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)異號的實(shí)根，則，即，因此“”是“關(guān)于的方程有兩個(gè)異號的實(shí)根”的必要不充分條件，D正確.故選：BD.10．【答案】CD【分析】對于A，依據(jù)奇函數(shù)的定義推斷，可知A錯(cuò)誤；對于B，依據(jù)函數(shù)周期性的定義，可知B錯(cuò)誤；對于C，比較振幅的大小，可知C正確；對于D，求出頻率，比較大小，可知D正確.【詳解】對于A，因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以聲音甲的振幅大于，而純音的振幅等于，所以聲音甲的響度肯定比純音響度大，故C正確；對于D，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋淖钚≌芷跒?，所以的最小正周期為，頻率為，的頻率為，，所以聲音甲肯定比純音更低沉．故D正確.故選：CD11.【答案】AC【分析】依據(jù)均值不等式及不等式等號成立的條件推斷ACD，取特例推斷B即可得解.【詳解】.對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故正確；對于，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；對于D，，但是當(dāng)時(shí)，不符合題意，故等號不成立，故錯(cuò)誤.故選：AC.12.【答案】ABD【分析】對于選項(xiàng)A，由公切線斜率相等，可得關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)求出范圍；對于選項(xiàng)B，由有兩個(gè)零點(diǎn)可推斷為錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，解方程組可推斷；對于選項(xiàng)D，由圖象，或找到兩曲線斜率相等的切線，求出切線間的距離，可推斷.【詳解】若兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，記交點(diǎn)為，則，且在此處的切線為公切線，所以，即滿意.設(shè)，則時(shí)單調(diào)遞增，，所以錯(cuò)誤.

如上圖，時(shí)，設(shè)，則，由于，，所以存在，使得，那么當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，則兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故沒有公切線，所以錯(cuò)誤.時(shí)，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的曲線切線方程為，即①，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即所以，解得或所以所以兩斜率分別是1和，所以正確.

時(shí)，曲線的一條切線為，的一條切線,兩切線間的距離為最小值，所以錯(cuò)誤.二?填空題13．【答案】【分析】利用一元二次不等式恒成立，求出a的范圍作答.【詳解】因?yàn)?，，于是，解得，所以?shí)數(shù)a的最小值是.故答案為：14.【答案】【解析】【分析】“給值求值”問題，找角與角之間的關(guān)系【詳解】所以所以故答案為：15．【答案】2【分析】依據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結(jié)合投影定義求解可得.【詳解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：216.【答案】/【分析】由已知得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得，再依據(jù)等號成立的條件可得答案.【詳解】由已知得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，此時(shí)的值為.故答案為：.16.備選【答案】【解析】由，利用二倍角公式，和差化積化簡為，再依據(jù)為最大角，得到，設(shè)，則，由，得到，從而得到，然后令，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)椋?，，，，又因?yàn)闉樽畲蠼?，所以，所以，即，設(shè)，則，所以，解得，所以，令，則，所以，即，解得或（舍去），所以的最小值為4，故答案為：4【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由，結(jié)合為最大角，得到，從而設(shè)，建立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)得解.四?解答題（本大題共4小題，共44分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡集合A、B，再利用并集定義去求即可解決；（2）利用題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榧希?，所以?）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，，滿意，符合題意；當(dāng)時(shí)，，若則，解之得綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是18．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理得，利用三角恒等變換及特別角的三角函數(shù)即得；（2）利用余弦定理得及基本不等式可得不等式成立時(shí)可得為等邊三角形，進(jìn)而即得.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，又，所以，∴，∴，得，又，所以，即．（2）因?yàn)椋杂?，所以．?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值1，即為等邊三角形．所以．19．【答案】(1)4(2)(1)由題意得，.因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為1；當(dāng)時(shí)，的最大值為2，所以.由題意得，，所以對一切恒成立，所以，解得，所以整數(shù)m的最大值為4.(2)由題意知，，將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向右平移個(gè)單位得，因?yàn)殛P(guān)于x的方程在區(qū)間上有解，整理得：，即（*）在區(qū)間上有解，，因?yàn)椋粤睿?）式可轉(zhuǎn)化為：在內(nèi)有解，所以，，又因?yàn)楹驮跒樵龊瘮?shù)，所以在為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，綜上所述：k的取值范圍為.20．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出，分、探討，可得答案；（2）由零點(diǎn)存在定理可知，而題設(shè)，消去a可得，令，且，求出，，將其代入得，再利用導(dǎo)數(shù)分、探討可得答