機(jī)械振動(dòng)-課后習(xí)題和答案-第二章-習(xí)題和答案

2.1彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長(zhǎng)為3。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜

伸長(zhǎng)35,然后無初速度地釋放，求此后的運(yùn)動(dòng)方程。

解：設(shè)物體質(zhì)量為加，彈簧剛度為3貝h

mg=k6,即：con=y]k/m=Jg/5

取系統(tǒng)靜平衡位置為原點(diǎn)x=。，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

mx+履=0

-o=2b(參考教材P14)

k.%=°

解得：x(t)=25coscont

2.2彈簧不受力時(shí)長(zhǎng)度為65cm,下端掛上1kg物體后彈簧長(zhǎng)85cmo設(shè)用

手托住物體使彈簧回到原長(zhǎng)后無初速度地釋放，試求物體的運(yùn)動(dòng)方程、振

幅、周期及彈簧力的最大值。

解：由題可知：彈簧的靜伸長(zhǎng)-=0.85-0.65=0.2(⑷

所以：0==JU=7(&〃s)

取系統(tǒng)的平衡位置為原點(diǎn)，得到：

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：工+叼2%=。

其中，初始條件：=(參考教材P14)

、X0)=0

所以系統(tǒng)的響應(yīng)為：X(0=-0.2cOS69/(/7t)

彈簧力為：匕=辰。)=駕x?)=-cosoj(N)

因此：振幅為0.2m、周期為二。)、彈簧力最大值為1N。

7

2.3重物叫懸掛在剛度為Z的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物鈾從高

度為人處自由落到犯上而無彈跳，如圖所示，求其后的運(yùn)動(dòng)。

解：取系統(tǒng)的上下運(yùn)動(dòng)x為坐標(biāo)，向上為正，靜平衡位置為原點(diǎn)x=0,則

當(dāng)〃2有工位移時(shí)，系統(tǒng)有：

ET=+根2)比2

U=-kx2

2

由"(Er+。)=0可知：{m}+m2)x+丘=0

即：con=yjk/(m}+m2)

二二〃22g

系統(tǒng)的初始條件為：°k嗎

%o=-----=—,2歐

根1+m2

2

(能量守怛得：〃22劭=+m2)x0)

因此系統(tǒng)的響應(yīng)為：x(Z)=AQcosa)nt+4sincont

即：x(0=吆^(cosgj-12，"-sinct)nt)

k

2.4一質(zhì)量為〃八轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為/的圓柱體作自由純滾動(dòng),同心受到一彈簧攵

約束，如圖所示，求系統(tǒng)的臼有頻率。

解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角。為坐標(biāo)，逆時(shí)針為正,靜平衡位置時(shí)6=0,則當(dāng)〃z

有。轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)有：

E=-W2=-(/+mr2)^2

T22

u=

由"(￡7+U)=0可知：(/+機(jī)〃)8+公2。=0

22

即：con—yjkr/(I-\-mr)(rad/s)

2.5均質(zhì)桿長(zhǎng)L、重G,用兩根長(zhǎng)h的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示,

試求此桿相對(duì)鉛垂軸OO微幅振動(dòng)的周期。

2.6求如圖所示系統(tǒng)的周期，三個(gè)彈簧都成鉛垂，且&=23々=%。

解：取〃2的上下運(yùn)動(dòng)X為坐標(biāo),向上為正.靜平衡位置為原點(diǎn)x=0,則當(dāng)加

有X位移時(shí)，系統(tǒng)有：

7-71-2

E=-mx

T2

U=—kx2+-k,x2=2匕/

2216

由d(Er+U)=0可知：mx

即：①〃=(rad/s),

3m

2.7如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為K的圓軌面內(nèi)無滑動(dòng)地、

以圓軌面最低位置O為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，求其

臼有頻率。

解：設(shè)物體重量W,擺角坐標(biāo)。如圖所示.逆時(shí)

針為正，當(dāng)系統(tǒng)有夕擺角時(shí)，貝的

n2

U=W（R一廠）（1—cos。）kW（R-r）—

設(shè)夕為圓柱體轉(zhuǎn)角速度，質(zhì)心的瞬時(shí)速度：

vc=（R-r）O=r（p,即：（p=―—―0

記圓柱體繞瞬時(shí)接觸點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IA,貝I]:

「W2iww

A=Ic+一廠=J—〃2+一廣2

g2gg

71L1/3W2、,R—

E=—I(P=—(———r)(-oy=-—(/?-r)202

T2A22gr4g

（或者理解為：E7=L,/+J_%（R—4加，轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的動(dòng)能）

22g

由"(七7+。)=0可知：——(/?-r)23+W(R-r)0=0

2g

2g

即：co=(rad/s)

n3(R-r)

2.8橫截面面積為A,質(zhì)量為m的圓柱形浮

子靜止在比重為/的液體中。設(shè)從平衡位置

壓低距離直見圖)，然后無初速度地釋放，若二三三

不計(jì)阻尼，求浮子其后的運(yùn)動(dòng)。二三

解：建立如圖所示坐標(biāo)系，系統(tǒng)平衡時(shí)x=0,由牛頓第二定律得:

mx+y(Ax)g=O,即：g

有初始條件為:

%、=0

所以浮子的響應(yīng)為：x?)=xsin(/

m2

2.9求如圖所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。圖中兩個(gè)摩擦輪可分別繞水平軸Oi,

。2轉(zhuǎn)動(dòng)，它們相互嚙合，不能相對(duì)滑動(dòng)，在圖示位置（半徑0M與。28在

同一水平線上），彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為

mi,機(jī)2。

解：兩輪的質(zhì)量分別為4,根），因此輪的半徑比為:

由于兩輪無相對(duì)滑動(dòng)，因此其轉(zhuǎn)角比為:

4=丫2=&

020仇

取系統(tǒng)靜平衡時(shí)4=0,則有：

E22

J=；（；冽，：）分冽療=；（%+m2）r,6?l

U=5%（八4）2+不攵2（，2。2）2=不（%1+女）2（。4）2

乙乙乙

40+62）202a=0

由號(hào)+。）=可知：-（m}。第+化+右）

取+Q(rad/s),T=21叫十根2&)

即：①n

m}+m22(2]+A2)

2.10如圖所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1,輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為尸

的物體，繩與輪緣之間無滑動(dòng)。在圖示位置，由

水平彈簧維持平衡。半徑K與Q均已知，求微振

動(dòng)的周期。

解：取輪的轉(zhuǎn)角。為坐標(biāo)，順時(shí)針為正，系統(tǒng)平衡p

時(shí)6=0,則當(dāng)輪子有。轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)有：

2222

ET=-I3-^-—(0R)=-(1+—/?)<9

22g2g

1

U=-k(0af?

22

由d(￡7+U)=0可知:(/+—R)0+而2°=。

g

(rad/s),

211彈簧懸掛一質(zhì)量為m的物體，自由振動(dòng)的周期為T,如果在m上附

加一個(gè)質(zhì)量，如，則彈簧的靜伸長(zhǎng)增加/,求當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

?"=25

2

,4"一"1

K=---------

T

??,叫g(shù)-k.1

kdl4兀-〃7./

g=-----=-------------

呵T仍

212用能量法求圖所示三個(gè)擺的微振動(dòng)的固有頻率。擺錘重p,S）與（C）

中每個(gè)彈簧的彈性系數(shù)為4/2。⑴桿重不計(jì)；（2）若桿質(zhì)量均勻，計(jì)入桿重。

一」

解：取系統(tǒng)的擺角。為坐標(biāo)，靜平衡時(shí)8=0

（a）若不計(jì)桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有:

號(hào)=：（乙2海

2g

U=PgL(l-cos6)2-PgLO2

由或E/，+U)=0可知：—l?0^PLe=Q

g

即：①〃=(rad/s)

如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有:

號(hào)=皆"+沙”=資+安崢

Jpm夕2

U=PgL(l-cos0)+mzg—(1-cos3)?(一+—-)gL一

2g22

由。（號(hào)+U）=0可知：（1++（—+*gL9=0

g3g2

LPm工、

（—十寸）g

即：o)-f-----------（rad/s）

n（巴+四9

g3

(b)如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有：

口,Pm321

Up（一十—Lx）gLT—+-x2

g222

/Pm【、kL

（一+*+7

即：①〃=gp---------（rad/s）

（乙+叼L

g3

(C)如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動(dòng)，則有：

號(hào)=3一/W資+M

〃PmO11

U“T—+寸Lx磔7彳+3x2

g222

BP：(rad/s)

2.13求如圖所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與“的關(guān)系式。

答案:

2.14一臺(tái)電機(jī)重470N,轉(zhuǎn)速為1430r/min,固定在兩根5號(hào)槽鋼組成的

簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)，如圖所示。每根槽鋼長(zhǎng)1.2m,重65.28N,彎曲剛度EI=

1.66xl05Nm2o

(〃)不考慮槽鋼質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率；

(切設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率；

⑹計(jì)算說明如何避開電機(jī)和系統(tǒng)的共振區(qū)。

a:

7^7--

2.15定于長(zhǎng)L,彎曲剛度為EI,密度為的彈性梁的一端,

如圖所示，試以有效質(zhì)量的概念計(jì)算其固有頻率。

wL3/(3EI)

2.16求等截面U形管內(nèi)液體振動(dòng)的周期，阻力不計(jì),假定液柱總長(zhǎng)度為1。

解：假設(shè)u形管內(nèi)液柱長(zhǎng)/,截面積為A,密度為夕，取系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能

為0,左邊液面下降x時(shí)，有：

1,

Ej=-pA.lx7??

U=pAxxxgxx

由d(E7+U)=0可知：pAlx+2gpAx=0

即：con=^1^-(rad/s),T=TV(S)

2.17水箱1與2的水平截面面積分別

為4、42,底部用截面為Ao的細(xì)管連接。

求液面上下振動(dòng)的固有頻率。

解：設(shè)液體密度為0,取系統(tǒng)靜平衡時(shí)勢(shì)能為0,當(dāng)左邊液面下降/時(shí)，右

邊液面上升馬，液體在水箱1與2和細(xì)管中的速度分別為盯J%，則有:

號(hào)=，研（〃f—+扣+%2謫

oAA

"[A"+"(7)2+4/2(/)2卜：

（由于:

h—xx?h\h+x2x〃；Axxx—A2X2=A3x3;A}x{-A2x2)

Tr人X]+%2

u=pAx}g

AAA

由成號(hào)+U)=0可知：[/2(l+」)+L(」)k1+g(l+」)X1=0

A

gd+j)

即：a)=---------T-------T-(rad/s)

n.1+4)+*

?4AN

2.18如圖所示，一個(gè)重W、面積為A的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性

液體中振動(dòng)。設(shè)心、乃分別為無阻尼的振動(dòng)周期和在粘性液體中的阻尼周

期。試證明：

2?W

4

并指出〃的意義（式中液體阻尼力Fd=-2Av）o

2.19試證明：對(duì)數(shù)衰減率也可用下式表示b=Ln叢，（式中X〃是經(jīng)過〃

〃當(dāng)

個(gè)循環(huán)后的振幅）。并給出在阻尼比二為O.OK0.K0.3時(shí)振幅減小到50%

以下所需要的循環(huán)數(shù)。

解：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動(dòng)的響應(yīng)為尤⑺；

務(wù)時(shí)刻的位移為與；LJ+"時(shí)刻的位移為乙；則：

X。=Xe3cosQj?！?e3〃〃Td

xJXe-M—%）cos[44+M/）-勿~

所以有：In工=〃5=〃ln血，即：6=—\n—

Xn%"4

_ih_/

當(dāng)振幅衰減到50%時(shí)，z=0.5x°,即：〃=Lln2=ln2義—一

B2<

1）當(dāng)7=0.01時(shí)，n=n；要11個(gè)循環(huán)；

2）當(dāng)4=0.1時(shí)，n=\A;要2個(gè)循環(huán)；

3）當(dāng)二=0.3時(shí)，〃=0.34；要1個(gè)循環(huán)；

2.20某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為/ni=1151kg,前懸架剛度為^i=1.02x105N

/m,若假定前、后懸架的振動(dòng)是獨(dú)立的，試計(jì)算前懸架垂直振動(dòng)的偏頻。

如果要求前懸架的阻尼比，=0.25,那么應(yīng)給前懸架設(shè)計(jì)多大阻尼系數(shù)(c)

的懸架減振器？

2.21重量為尸的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長(zhǎng)在上下運(yùn)動(dòng)時(shí)所

遇到的阻力與速度v成正比。要保證物體不發(fā)生振動(dòng)，求阻尼系數(shù)c的最低

值。若物體在靜平衡位置以初速度即開始運(yùn)動(dòng)，求此后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

解：設(shè)系統(tǒng)上下運(yùn)動(dòng)為X坐標(biāo)系，系統(tǒng)的靜平衡位置為原點(diǎn)，得到系統(tǒng)的運(yùn)

動(dòng)微分方程為：

pP

—X+CXH—X—0

gS

系統(tǒng)的阻尼比：

2ylmk

系統(tǒng)不振動(dòng)條件為：^>1,即：C>2P!y[^

y-Q

物體在平衡位置以初速度以開始運(yùn)動(dòng)，即初始條件為：[I/

V.

此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)為：（可參考教材P22）

1）當(dāng)<>1時(shí)：x?）=6一的'（4屋如痣W+4戶一如廬?）

4=0

2)當(dāng)<=1時(shí)：x(t)=Ae-^t^-Ate~^,其中:

l2“2=°。

即：x?)=

3)當(dāng)二v1時(shí)：x(Z)=e<""(Gcosa)dt+C2sina)j)

G=o

0,,t

其中：<C2=uG/a)d,即：x(t)=e~^—sincodt

5=例，1一，

2.22一個(gè)重5500N的炮管具有剛度為3.03x105N/m的駐退彈簧。如果發(fā)

射時(shí)炮管后座L2m,試求：

①炮管初始后座速度；

②減振器臨界阻尼系數(shù)（它是在反沖結(jié)束時(shí)參加工作的）；

③炮管返回到離初始位置0.05m時(shí)所需要的時(shí)間。

2.23設(shè)系統(tǒng)阻尼比二=0.1,試按比例畫出在%=0.5、1.0、2.0三種情

況下微分方程的向量關(guān)系圖。

2.24試指出在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)復(fù)頻率響應(yīng)、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)

系，并計(jì)算當(dāng)7=0.2、q=5rad/s時(shí)系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。

2.25已知單自由度系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)其阻力為“（其中c是常數(shù)，p是運(yùn)動(dòng)速度）,

激勵(lì)為尸=E）sincot,當(dāng)/=例即共振時(shí)，測(cè)得振動(dòng)的振幅為X,求激勵(lì)的

幅值幾。若測(cè)得共振時(shí)加速度的幅值為A,求此時(shí)的仆。

2.26某單自由度系統(tǒng)在液體中振動(dòng)，它所受到的激勵(lì)為b=50cosm（N）,

系統(tǒng)在周期T=0.20s時(shí)共振，振幅為0.005cm,求阻尼系數(shù)。

解：由T=0.20s時(shí)共振可知，系統(tǒng)固有頻率為：例=竽=10%

當(dāng)。一華時(shí)，已知響應(yīng)振幅：X=%，（參教材P30）

CCO

所以：c=-^-=W_（N?S/“）

Xco71

2.27一個(gè)具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動(dòng)內(nèi)耗散的能量為它的

最大勢(shì)能的1.2%,試計(jì)算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)人

2.28要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。

2.29若振動(dòng)物體受到的阻力與其運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，即

2

[Fd=cixx<0

=-ax2x>0

求其等效阻尼系數(shù)和共振時(shí)的振幅。

解：實(shí)際上，這是一種低粘度流體阻尼。

設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為：x?)=Xcos(W-0)

4=Jax2dx

C冗Iwc

=[ax^d(A|H(w)|w)(wt-cp)

JO/

=J；a\a|H(vv)|w(wt-\H(w)|wAsin(w/-⑼也

牛"3A3sin-(p)dt

二『"-aw3X3sin3(69/-(p)dt

=-aXW[2(0)^-1(0)V]

A32

cod=^axco~

Q32

cod=^axCD

^ax^co1=CTKDX2

_8aL02

—3>7T

2.29

X=XCOS(69Z一(p)

x=-a)Xsin(&-。)

C7tl(o2.2兀Ia)2

W=axdx+-ax~dx

'rJo3Ms

廣萬/(D2222

=J。aco~X~sin~(a)t-(p)(-a)^Xcos(a)t-(p))dt

+co-a(D"2X"2sin”2(g/—(p\-co2Xcos(①/-(p))dt

=5aX%2

2

WP=WC=CTTO)X

「-8ax出

C―3」

%―3乃吊

X=cs~8?Xw2

2

coe=JF(1dx=41)axdx

rT/4*

=4axdx

Jo

rT/4AN

=41Zcocos-{cot-(p)dt

=1aZ%2

2

cOp=coc=CTIOJZ

coe=^aZco

Z二4Z=J叫

C。。8aZ<y2

2.30KG1II電動(dòng)機(jī)重P,裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為。當(dāng)轉(zhuǎn)速為〃r/

min時(shí)，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵(lì)，電機(jī)產(chǎn)生振幅為A的強(qiáng)迫振

動(dòng)。試求激勵(lì)的幅值，不計(jì)阻尼。

231電動(dòng)機(jī)重P,裝在彈性梁上，使梁有靜撓度。轉(zhuǎn)子重偏心距為

eo試求當(dāng)轉(zhuǎn)速為時(shí)，電動(dòng)機(jī)上下強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅A,不計(jì)梁重。

2.32一飛機(jī)升降舵的調(diào)整片被接于升降舵的0軸上（圖T—2.32）,并由

聯(lián)動(dòng)裝置控制。該裝置相當(dāng)于一剛

度為kr的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動(dòng)慣

量為/,因而系統(tǒng)有頻率

con=KT!I,但因kT不能精確計(jì)

算，必須用試驗(yàn)測(cè)定與o為此固定

升降舵，利用彈簧心對(duì)調(diào)整片做簡(jiǎn)

諧激勵(lì)，并用彈簧隊(duì)來抑制。改變

激勵(lì)頻率力直至達(dá)到其共振頻率

試以在和試驗(yàn)裝置的參數(shù)來表示調(diào)整片的固有頻率七。

解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為氏系統(tǒng)的微分方程為:

104-［得+（自+—2）/八=k2Lysincot

系統(tǒng)的共振頻率為：①;」7+6+公乂2

因此:博=/就一（匕+3）〃

（匕+k2）l?

調(diào)整片的固有頻率為:

2.33如圖所示由懸架支承的車輛沿高低

不平的道路行進(jìn)。試求W的振幅與行進(jìn)速

度的關(guān)系，并確定最不利的行進(jìn)速度。

解：由題目

2.33

T=令卬=苧=等

y=Ycos^-t

wX=-K(x-y)

wX=KYcos2f匕，

VPX+KX=KY

_2W

卬片乂⑸+0⑸二燈尋后

L

V/\KY手2K

X($)=".(等)2)g+K)q一

X=sin(74--^rsincot

co~+a~%一an

Y_y_y_y=KI?丫

~-1-(。/戴)2-1上娛―KI}-T^2V-W

KL

V=*k/w

2.33

3=專

L

Tv=L

mX+KX=Ky

X^(D；lX=co；y

Y_y*

丫*

丫2=卑

47rm

2.34單擺懸點(diǎn)沿水平方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(圖T—2.34),=asinto試求在微

幅的強(qiáng)迫振動(dòng)中偏角的變化規(guī)律。已知擺長(zhǎng)為L(zhǎng),擺錘質(zhì)量為m。

2.35一個(gè)重90N的飛機(jī)無線電要與發(fā)動(dòng)機(jī)的頻率1600~2200r/min范圍的

振動(dòng)隔離，為了隔離85%,隔振器的靜變形需要多少？

2.36試從式(2.95)證明：

1.無論阻尼比，取何值，在頻率比。/例=0時(shí)，恒有X=A。

2.在外/4〈血，XZ4隨二增大而減小，而在G/q隨二

增大而增大。

2.37某位移傳感器固有頻率為4.75Hz,阻尼比=0.650試估計(jì)所能測(cè)量

的最低頻率，設(shè)要求誤差口%,<2%o

2.38一位移傳感器的臼有頻為率2Hz,無阻尼，用以測(cè)量頻率為8Hz的簡(jiǎn)

諧振動(dòng)，測(cè)得振幅為0.132cm。問實(shí)際振幅是多少?誤差為多少?

2.39一振動(dòng)記錄儀的固有頻率為/?=3.0Hz,阻尼比=0.50o用其測(cè)量某

物體的振動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)方程已知為

x=2.05sin4^+1.0sin8t(cm)

證明：振動(dòng)記錄儀的振動(dòng)z將為

z=1.03sin(4Z-50°)+1.15sin(8M20°)(cm)

2.40求單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖所示激勵(lì)的響應(yīng)，設(shè)初始條件為零。

解：

a

牝）二網(wǎng)/sincodt

MT}

Kt-「)=六e~~sin[^(Z-r)]

砥)=&sin%

2)二卷sin[0Q-明

XQ)=[dcosq(z-r)=4