自動控制原理 課件 2.2 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是用來描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，利用它可以方便地研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來的，它是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1.傳遞函數(shù)的定義定義：零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。2.2.1傳遞函數(shù)的定義和表達式

控制系統(tǒng)的零初始條件有兩層含義：一是指系統(tǒng)輸入是在

時才作用于系統(tǒng)，所以，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時均為零；二是指輸入作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)工作狀態(tài)是穩(wěn)定的，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在

時也為零。2.傳遞函數(shù)的表達式（1）有理分式形式表達式設(shè)階線性定常系統(tǒng)的微分方程為

式中，

是系統(tǒng)的輸出量；

是系統(tǒng)的輸入量；

和

都是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的常系數(shù)。在零初始條件下，兩端取拉普拉斯變換得若用

表示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則根據(jù)定義有這是一個關(guān)于復(fù)變量

的有理分式，即為傳遞函數(shù)的有理分式形式表達式。（2）零極點形式表達式令對

和

進行因式分解，可得傳遞函數(shù)的零極點形式表達式為式中，

稱為零極點形式表達式的傳遞系數(shù)。這種形式表達式在根軌跡法中

使用較多，所以

又稱根軌跡增益；

是

的

個根，稱為傳遞函數(shù)的零點；

是

的

個根，稱為傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的零點和極點可能是實數(shù)，也可能是共軛復(fù)數(shù)。將零、極點分別用“

”和“

”表示在

平面上的圖形，稱為傳遞函數(shù)的零極點分布圖。（3）時間常數(shù)形式表達式若

中有

個極點為0，則傳遞函數(shù)的時間常數(shù)形式表達式為

式中，一次因子對應(yīng)于不為0的實數(shù)零極點，二次因子對應(yīng)于共軛復(fù)數(shù)零極點；

，

；

和

稱為時間常數(shù)；

稱為時間常數(shù)形式表達式的傳遞系數(shù)，其與根軌跡增益

之間的關(guān)系為這種形式表達式在頻率法中使用較多，

又稱開環(huán)增益。例2-7試求例2-1

網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

，并畫出零極點圖。已知

，

，

。解：在例2-1中已建立出微分方程為在零初始條件下兩端進行拉普拉斯變換，得根據(jù)傳遞函數(shù)的定義并代入給定的元件參數(shù)有畫出零極點分布圖如圖示。2.2.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)

傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)

（1）傳遞函數(shù)是由拉普拉斯變換定義的，拉普拉斯變換是一種線性變換，因此傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。

（2）傳遞函數(shù)是復(fù)變量

的有理分式函數(shù)，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。實際系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子階次

總是小于或等于分母階次

，即

，且所有系數(shù)都為實數(shù)。

（3）傳遞函數(shù)表示的是系統(tǒng)輸入量和輸出量之間關(guān)系的表達式，不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)輸入量和輸出量的形式和大小無關(guān)，因此它表征了系統(tǒng)本身的特性。一個具有傳遞函數(shù)

的線性系統(tǒng)可以用如圖示的方框圖表示。

（4）傳遞函數(shù)與微分方程有相對應(yīng)的關(guān)系。微分方程左端和右端各階導(dǎo)數(shù)及其系數(shù)分別與相應(yīng)傳遞函數(shù)分母和分子多項式

的各次方及其系數(shù)相對應(yīng)。

（5）傳遞函數(shù)

與單位脈沖響應(yīng)

是一對拉普拉斯變換對，它們分別從復(fù)域和時域的角度表征了同一系統(tǒng)的特性。

單位脈沖響應(yīng)

定義為，零初始條件下單位脈沖信號

作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。

此時

，所以有

反之，有

（6）傳遞函數(shù)具有一定的局限性。一是它只能描述單輸入、單輸出系統(tǒng)，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)需采用現(xiàn)代控制理論中的傳遞函數(shù)矩陣來描述；二是它只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量之間的關(guān)系，而不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息，針對這一不足，可以用現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)變量法進行彌補；三是它只能研究零初始條件下系統(tǒng)的運動特性，而對非零初始條件下的系統(tǒng)運動特性，需通過傳遞函數(shù)寫出微分方程，然后在考慮非零初始條件后進一步進行分析。解：（1）在例2-3中已建立出電樞控制直流電動機的微分方程為例2-8（1）試求例2-3電樞控制直流電動機的傳遞函數(shù)

和

。

（2）若忽略擾動的影響，確定電動機的單位脈沖響應(yīng)。當(dāng)

單獨作用時，有零初始條件下兩端進行拉普拉斯變換并整理得當(dāng)

單獨作用時，有零初始條件下兩端進行拉普拉斯變換并整理得（2）電動機的單位脈沖響應(yīng)為1.比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)或無慣性環(huán)節(jié)）微分方程為2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)為式中

，為比例系數(shù)或增益。比例環(huán)節(jié)的實例有電位器、理想運算放大器、齒輪系、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角速度為輸入的測速發(fā)電機等。2.積分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為積分環(huán)節(jié)的實例有運放構(gòu)成的積分調(diào)節(jié)器、以轉(zhuǎn)子角位移為輸出量且忽略了電樞電路的等效電阻和電感及電動機轉(zhuǎn)動慣量的電樞控制直流電動機等。3.慣性環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)的實例有電加熱爐、以轉(zhuǎn)子角速度為輸出量且忽略了電樞電路的等效電感的電樞控制直流電動機、兩相伺服電動機等。式中

，為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。4.振蕩環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為振蕩環(huán)節(jié)的實例有

無源網(wǎng)絡(luò)、彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)、雙容水槽等。式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；

為無阻尼振蕩角頻率。5.微分環(huán)節(jié)微分方程為傳遞函數(shù)為工程上，理想的微分環(huán)節(jié)是難以實現(xiàn)的。實際的元部件或系統(tǒng)普遍存在慣性，因此實際的微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，其傳遞函數(shù)為微分環(huán)節(jié)的實例有以電壓為輸出電流為輸入的電感、以電樞電壓為輸出轉(zhuǎn)子角位移為輸入的測速發(fā)電機等。實際中，除微分環(huán)節(jié)外，還有一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)。它們的微分方程分別為傳遞函數(shù)為式中

，為阻尼系數(shù)或阻尼比；

為微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。6.延遲環(huán)節(jié)（時滯環(huán)節(jié)或時延環(huán)節(jié)）微分方程為傳遞函數(shù)為延遲環(huán)節(jié)的實例有很多，如管道壓力和流量等物理量的控制過程、皮帶輸送裝置、燃料輸送過程等都存在延遲環(huán)節(jié)。式中

為延遲時間。2.2.4MATLAB實現(xiàn)（1）傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)模型用MATLAB提供的tf()函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=tf(num,den)%建立連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，num、den分別為傳遞函數(shù)分子、分母多項式按降冪排列的系數(shù)向量。注意，若某項系數(shù)為0，向量中不可空缺，應(yīng)寫為0；若傳遞函數(shù)的分子或分母為多項式相乘的形式，則可以用MATLAB提供的多項式乘法函數(shù)conv()得到分子或分母多項式向量，且conv()函數(shù)允許多級嵌套使用。sys=tf(num,den,Ts)%建立離散時間系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)模型sys，Ts是采樣周期。sys=tf(num,den,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時間。1.控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中的描述經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在MATLAB中常用傳遞函數(shù)模型和零極點模型來描述。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=conv([13],conv([105],[1710]));sys=tf(num,den)例2-9已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運行結(jié)果為sys=s^2+5s+4--------------------------------------------s^5+10s^4+36s^3+80s^2+155s+150Continuous-timetransferfunction.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=tf([14],conv([11],[1710]),'InputDelay',0.35)例2-10已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其傳遞函數(shù)模型。運行結(jié)果為sys=s+4exp(-0.35*s)*-----------------------s^3+8s^2+17s+10Continuous-timetransferfunction.（2）零極點模型零極點模型用MATLAB提供的zpk()函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式如下。sys=zpk(z,p,k)%建立連續(xù)時間系統(tǒng)的零極點模型sys。其中，z、p、k分別為傳遞函數(shù)的零點向量、極點向量和增益。注意，若無零、極點，則用[]表示。sys=zpk(z,p,k,Ts)%建立離散時間系統(tǒng)的零極點模型sys，Ts是采樣周期。sys=zpk(z,p,k,’InputDelay’,tao)%建立帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的零極點模型sys。其中，InputDelay為關(guān)鍵詞，tao為系統(tǒng)延遲時間。解：MATLAB程序如下：clc;clearz=[-1-4];p=[0-2i*sqrt(3)-i*sqrt(3)];k=5;sys=zpk(z,p,k)例2-11已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為用MATLAB建立其零極點模型。運行結(jié)果為sys=5(s+1)(s+4)-----------------s(s+2)(s^2+3)Continuous-timezero/pole/gainmodel.解：MATLAB程序如下：clc;clearsys=zpk([-4],[-1-2-5],1,'InputDelay',0.35)例2-12用MATLAB建立例2-10系統(tǒng)的零極點模型。運行結(jié)果為sys=(s+4)exp(-0.35*s)*-----------------(s+1)(s+2)(s+5)Continuous-timezero/pole/gainmodel.2.傳遞函數(shù)模型與零極點模型的相互轉(zhuǎn)換MATLAB提供了傳遞函數(shù)模型和零極點模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)tf2zp()和zp2tf()，其調(diào)用格式如下。[z,p,k]=tf2zp(num,den)%將分子系數(shù)向量為num、分母系數(shù)向量為den的傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零點向量為z、極點向量為p、增益為k的零極點模型[num,den]=zp2tf(z,p,k)%將零點向量為z、極點向量為p、增益為k的零極點模型轉(zhuǎn)換為分子向量為num、分母向量為den的傳遞函數(shù)模型。注意，z和p必須是列向量。解：MATLAB程序如下：clc;clearnum=[154];den=[1103680155150];[z,p,k]=tf2zp(num,den)例2-13已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為用MATLAB將其轉(zhuǎn)換為零極點模型。運行結(jié)果為z=-4-1p=-5.0000+0.0000i-0.0000+2.236