自動(dòng)控制原理 課件 3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

3.4高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析凡是由三階或三階以上微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。確定高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)是比較復(fù)雜的，工程上常利用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析或直接應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行高階系統(tǒng)分析。3.4.1高階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型高階系統(tǒng)的微分方程式為設(shè)初始條件為零，對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。式中，

；

為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)；

為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)。

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)

n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，有

n1

個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，n2

對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且閉環(huán)極點(diǎn)互不相等。由于一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)形成一個(gè)

s

的二階項(xiàng)，因此，式(3-4-2)的因式包括一階項(xiàng)和二階項(xiàng)，故3.4.2高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，高階系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

將上式展開成部分分式，可得其中，A0

為

C(s)

在原點(diǎn)處的留數(shù)，

Al

為

C(s)

在實(shí)數(shù)極點(diǎn)sl

處的留數(shù)，其值為Bk

和Ck

為與

C(s)

在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)

處的留數(shù)有關(guān)的常系數(shù)

對(duì)式(3-4-5)兩邊取拉普拉斯反變換，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為根據(jù)式(3-4-6)可以得到以下結(jié)論。(1)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量?jī)刹糠?。其中穩(wěn)態(tài)分量A0

與時(shí)間

t

無(wú)關(guān)，瞬態(tài)分量與時(shí)間

t

有關(guān)，包括指數(shù)項(xiàng)、正弦和余弦項(xiàng)。(2)若所有閉環(huán)極點(diǎn)都分布在

s左半平面，即如果所有實(shí)數(shù)極點(diǎn)為負(fù)值，所有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，當(dāng)時(shí)間t

趨于無(wú)窮大時(shí)，瞬態(tài)分量衰減為零，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為A0

，這種情況高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定是系統(tǒng)能正常工作的首要條件，有關(guān)這方面的內(nèi)容，將在3.5節(jié)中作較詳細(xì)的闡述。(3)瞬態(tài)分量衰減的快慢取決于閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸的距離。閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量衰減越快，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響越小。反之，閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越近，相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減越慢，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響越大。(4)瞬態(tài)分量的幅值（即部分分式系數(shù)）與閉環(huán)極點(diǎn)、零點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)。若某極點(diǎn)離原點(diǎn)很遠(yuǎn)，那么相應(yīng)瞬態(tài)分量幅值很??；若某極點(diǎn)靠近閉環(huán)零點(diǎn)又遠(yuǎn)離原點(diǎn)及其他極點(diǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量的幅值也很小。工程上常把處于這種情況的閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)，稱之為偶極子。偶極子對(duì)瞬態(tài)分量影響較小的現(xiàn)象，稱之為零、極點(diǎn)相消；若某極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)又接近原點(diǎn)，相應(yīng)瞬態(tài)分量幅值大，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響較大。3.4.3高階系統(tǒng)的分析方法

由以上高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的求解過(guò)程和討論可知，對(duì)高階系統(tǒng)的分析是十分煩瑣的事情。為簡(jiǎn)單和方便起見，在控制工程中常常利用下面介紹的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析。實(shí)踐表明，這種近似分析方法是行之有效的。

對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，如果存在離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)，且其附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其他閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量，隨時(shí)間的推移衰減緩慢，在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。除閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)外，其他閉環(huán)極點(diǎn)由于其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量隨時(shí)間的推移迅速衰減，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。實(shí)際工程中，一般非主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部比閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大6倍以上時(shí)，則非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用可以忽略。有時(shí)甚至比主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部大2～3倍的非主導(dǎo)極點(diǎn)也可忽略不計(jì)。

在對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，常根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念將高階系統(tǒng)近似為一、二階系統(tǒng)進(jìn)行分析。同樣，在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，也常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，以便于近似地按二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

若高階系統(tǒng)不滿足應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的條件，則高階系統(tǒng)不能近似為一、二階系統(tǒng)。這時(shí)高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程必須具體求解。應(yīng)當(dāng)指出，利用MATLAB軟件，可以很容易求出高階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)及繪制出相應(yīng)的響應(yīng)曲線，這給高階系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來(lái)了方便。解：這是一個(gè)三階系統(tǒng)，可以求得三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分別為該系統(tǒng)的實(shí)數(shù)極點(diǎn)與復(fù)數(shù)極點(diǎn)距離虛軸距離之比為10.5，故復(fù)數(shù)極點(diǎn)可視為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，因此該三階系統(tǒng)可以用具有這一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)近似。近似的二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

例3-8某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

和

。由二階系統(tǒng)性能指標(biāo)計(jì)算公式，可求出

注意近似后的二階系統(tǒng)應(yīng)與原高階系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)增益，以保證階躍響應(yīng)終值相同。將其與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式相比較，可得

，

。

解：MATLAB程序如下。clc;cleart=[0:0.1:25];tf1=tf([0,2.688],conv([1,4.2],[1,0.8,0.64]));step(tf1,'b-',t);holdon;tf2=tf(0.64,[1,0.8,0.64]);step(tf2,'r--',t);legend('原系統(tǒng)階躍響應(yīng)','降階系統(tǒng)階躍響應(yīng)');xlabel('t/s');ylabel('c(t)');title('stepresponse')gridon例3-9利用MATLAB繪制例3-8降階前后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，并比較降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)。3.4.4MATLAB實(shí)現(xiàn)執(zhí)行命令后，運(yùn)行結(jié)果如圖3-4-1所示，同時(shí)記錄降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表3-4-1所示。可以看出，當(dāng)系統(tǒng)存在一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，三階系統(tǒng)可降階為二階系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果不會(huì)帶來(lái)太大的誤差。圖3-4-1單位階躍響應(yīng)曲線表3-4-1降階前后系統(tǒng)的性能指標(biāo)解：clc;clearnum=[1,7,24,24];den=[1,10,35,50,24,0];[r,p,k]=residue(num,den)例3-10某控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用MATLAB求解該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式。當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換式為

MATLAB程序如下。執(zhí)行該程序，運(yùn)行結(jié)果為r=-1.0000