自動控制原理 課件 3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

3.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

在控制系統(tǒng)的分析與設計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標，它是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。控制系統(tǒng)設計的任務之一是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結構參數(shù)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的原理性穩(wěn)態(tài)誤差，不包括由于元件的不靈敏區(qū)、機械間隙、零點漂移、老化等原因所引起的附加穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義假設控制系統(tǒng)的結構圖如圖3-6-1(a)所示，經(jīng)過等效變換可以化為圖3-6-1(b)的形式，系統(tǒng)的誤差通常有以下兩種定義方法。圖3-6-1控制系統(tǒng)的結構圖及等效變換圖1.誤差的定義(1)從輸入端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸入信號

與反饋信號

之差，即由圖3-6-1(a)可得用這種方法定義的誤差，又稱為偏差。由于它是可以測量的，因而在應用中具有實際意義。(2)從輸出端定義：系統(tǒng)的誤差定義為輸出量的期望值

和實際值

之差，即由圖3-6-1(b)可得按輸出端定義的誤差，在系統(tǒng)性能指標的提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法測量，因而一般只有數(shù)學意義。顯然，兩種誤差定義之間存在如下關系對單位反饋系統(tǒng)而言，由于

，兩種誤差定義的方法是一致的。本書除了特別說明外，之后討論的誤差都是按輸入端定義的誤差。2.穩(wěn)態(tài)誤差的定義對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，當時間

時，系統(tǒng)的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差

，以

表示，即如果有理函數(shù)

sE(s)的極點均位于s左半平面(包括坐標原點)，則可根據(jù)拉普拉斯變換終值定理，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對于圖3-6-1(a)所示系統(tǒng)，在輸入信號R(s)

作用下的誤差傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的誤差為穩(wěn)態(tài)誤差為上式表明，穩(wěn)態(tài)誤差既與系統(tǒng)的結構參數(shù)有關，也與外作用的形式有關。注意到

的分母與閉環(huán)傳遞函數(shù)

的分母相同，都是閉環(huán)特征方程式，所以應用終值定理的條件實際上包含系統(tǒng)必須穩(wěn)定。這樣的要求是和物理概念一致的，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)來講，系統(tǒng)無法進入穩(wěn)態(tài)，求穩(wěn)態(tài)誤差就沒有意義。3.6.2控制系統(tǒng)的型別由于穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結構參數(shù)有關，這里介紹一種控制系統(tǒng)按開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)個數(shù)來分類的方法。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中，K為系統(tǒng)的開環(huán)增益，v為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。通常根據(jù)v

的數(shù)值定義系統(tǒng)的型別，稱

v=0,

1,

2，…的系統(tǒng)分別為

0型、

Ⅰ型、Ⅱ型等系統(tǒng)。由于當

v>

2

時，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性是不利的，因此除航天控制系統(tǒng)外，Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)幾乎不采用。1.單位階躍輸入下面分別討論在幾種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.6.3典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差當

r(t)=1(t)時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，對于階躍輸入，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為有限值，且穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減小；Ⅰ型及以上系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。習慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)稱為無差系統(tǒng)，反之則稱為有差系統(tǒng)。因此，0型系統(tǒng)為有差系統(tǒng)，Ⅰ型及以上系統(tǒng)為無差系統(tǒng)。2.單位斜坡輸入當

r(t)=t

時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型系統(tǒng)，對于Ⅱ型系統(tǒng)，由此可見，0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號；Ⅰ型系統(tǒng)雖然能跟蹤斜坡輸入信號，但存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差隨開環(huán)增益

K的增大而減?。虎蛐图耙陨舷到y(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時系統(tǒng)能準確跟蹤斜坡輸入信號，穩(wěn)態(tài)誤差為零。3.單位加速度輸入由此可見，0型和Ⅰ型系統(tǒng)均不能跟蹤加速度輸入信號，Ⅱ型系統(tǒng)能跟蹤加速度輸入信號，但存在穩(wěn)態(tài)誤差。與前面情況類似，加速度誤差是指系統(tǒng)在加速度信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的位置誤差。當

時，則

，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中

稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對于0型和Ⅰ型系統(tǒng),對于Ⅱ型系統(tǒng)，表3-6-1列出了各型系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。

表3-6-1揭示了控制系統(tǒng)在輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差隨系統(tǒng)結構參數(shù)及輸入形式變化的規(guī)律。即在輸入一定時，增大開環(huán)增益

K，可以減小穩(wěn)態(tài)誤差；提高系統(tǒng)型別，可以消除穩(wěn)態(tài)誤差。

特別需要指出，通過采用提高系統(tǒng)型別或增大開環(huán)增益以消除或減小穩(wěn)態(tài)誤差的措施，必然導致系統(tǒng)穩(wěn)定性降低，甚至造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，從而惡化系統(tǒng)的動態(tài)性能。因此應以確保系統(tǒng)穩(wěn)定性為前提，同時兼顧動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標解：(1)先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-17已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，若輸入信號為

，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為列出勞斯表為由于勞斯表第一列系數(shù)均為正數(shù)，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)求穩(wěn)態(tài)誤差。將開環(huán)傳遞函數(shù)化為時間常數(shù)標準形式，即由此可知，該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，開環(huán)增益為

。當輸入

時，

；當輸入

時，

；當輸入

時，

；系統(tǒng)在輸入信號

作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為①系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，否則計算穩(wěn)態(tài)誤差是沒有意義的，因此計算穩(wěn)態(tài)誤差之前必須首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由以上分析可見，掌握了系統(tǒng)結構特征與輸入信號之間的規(guī)律性聯(lián)系后，就可以直接由表3-6-1得出穩(wěn)態(tài)誤差，而不需要再利用終值定理逐步計算，但是值得注意的是：②這種規(guī)律性的聯(lián)系只適用于典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，而不適用于擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。③表3-6-1中指的是系統(tǒng)的開環(huán)增益

K，即開環(huán)傳遞函數(shù)應化為時間常數(shù)標準形式。④上述規(guī)律適用于按輸入端定義的誤差，若誤差定義有變，則必須將誤差化成滿足上述定義的形式才能使用本結論。系統(tǒng)在擾動作用下的典型結構圖如圖3-6-2所示。擾動信號N(s)

作用下的誤差傳遞函數(shù)為3.6.4擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差圖3-6-2控制系統(tǒng)的結構圖擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為當

時，有即在深度反饋條件下，

主要與

和

有關。而

是誤差信號點到擾動作用點之間前向通道的傳遞函數(shù)。例3-18某系統(tǒng)結構圖如圖3-6-3所示，已知擾動信號

，試分析擾動信號作用于系統(tǒng)不同位置時，穩(wěn)態(tài)誤差有何不同？圖3-6-3系統(tǒng)結構圖解：系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與

K1

有關，而與K2

和K3

無關。因此，增大擾動作用點之前的前向通道增益，可以減小系統(tǒng)對擾動作用的穩(wěn)態(tài)誤差，而增大擾動作用點之后系統(tǒng)的前向通道增益，不能改變系統(tǒng)對擾動的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值。圖3-6-3所示系統(tǒng)，當滿足

,

時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，當擾動為零時，對單位階躍輸入信號，穩(wěn)態(tài)誤差為零。由于擾動作用點不同，相同的擾動會引起不同的穩(wěn)態(tài)誤差。對于圖3-6-3(a)所示系統(tǒng)，在單位階躍擾動

作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對于圖3-6-3(b)所示系統(tǒng)，在單位階躍擾動

作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)對于階躍擾動作用的穩(wěn)態(tài)誤差為零，由此可以看出，在擾動作用點和誤差信號點之間增加積分環(huán)節(jié)，可減小或消除擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。由例3-18可見，同一系統(tǒng)對同一形式的擾動作用，由于擾動作用點不同，其穩(wěn)態(tài)誤差不一定相同。例3-19某系統(tǒng)結構圖如圖3-6-4所示，已知輸入信號

，擾動信號

，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，當滿足

，

時，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，開環(huán)增益為

。因此總的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)在干擾信號

作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)在輸入信號

作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為利用函數(shù)dcgain()可求取控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，其調(diào)用格式為3.6.5MATLAB實現(xiàn)ess=dcgain(num,den)%其中ess為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；num和den分別為傳遞函數(shù)的分子和分母多項式的系數(shù)按降冪排列構成的系數(shù)行向量。解：系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為例3-20利用MATLAB求解例3-17系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。clc;clearGs=tf([10,10],[1,4,0,0]);sys=feedback(Gs,1);[num,den]=tfdata(sys,'v');sys1=tf(den-num,den);s=tf([10],[1]);sys2=sys1*s;3.6.5MATLAB實現(xiàn)MATLAB程序如下：運行結果為R1=tf([1],[1,0]);ess1=dcgain(sys2*R1)R2=tf([2],[1,0,0]);ess2=dcgain(sys2*R2)R3=tf([6],[1,0,0,0]);ess3=dcgain(sys2*R3)