自動控制原理 課件 5.1 頻率特性的基本概念

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析法

頻域分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的一種圖解方法，其具有以下特點。（1）控制系統(tǒng)或元部件的頻率特性可以由分析法和實驗法確定，且具有明確的物理意義。（2）頻率特性可以用多種形式的幾何方法表示，因此可以運用圖解法對控制系統(tǒng)進行研究，從而避免了求解微分方程時的一些繁瑣計算。（3）頻域分析法是通過開環(huán)頻率特性來分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，且能較方便地分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而進一步提出改善系統(tǒng)性能的方法。（4）控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計可以兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求。（5）頻域分析法既適用于線性定常系統(tǒng)，在一定條件下，也能推廣應(yīng)用于某些非線性控制系統(tǒng)（如含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）。因此，頻域分析法在工程實際中得到了廣泛的應(yīng)用。5.1頻率特性的基本概念

控制系統(tǒng)的頻率特性，指系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號作用下，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨輸入信號頻率變化（

從

變到

）而變化的特性，它是控制系統(tǒng)的頻率域數(shù)學(xué)模型。5.1.1控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)

階穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為假設(shè)

個極點

都是單極點。當輸入為正弦信號

時，有則所以系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為由于系統(tǒng)穩(wěn)定，所以當

時，上式右端第一項趨于

。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為其中則有根據(jù)歐拉公式得表明:穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是與輸入同頻率的正弦信號，其與輸入信號的幅值之比是

的值

，相位之差是

的相角

，它們都是輸入信號頻率

的函數(shù)。1.頻率特性的定義上述頻率特性的定義是通過穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來的，實際上也適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可以通過實驗的方法確定，即將不同頻率的正弦信號加到系統(tǒng)的輸入端，在輸出端測量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，根據(jù)幅值比和相位差就可獲得系統(tǒng)的頻率特性。而不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性是不能用實驗方法確定的。5.1.2頻率特性

線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入信號的幅值之比定義為系統(tǒng)的幅頻特性，相位之差定義為系統(tǒng)的相頻特性，分別用

和

表示。即指數(shù)形式表達式定義為系統(tǒng)的頻率特性。2.頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系同微分方程和傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，表征了系統(tǒng)本身的特性和運動規(guī)律，是描述線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之一。將系統(tǒng)傳遞函數(shù)

中的復(fù)變量

用

代替，就得到系統(tǒng)的頻率特性

，即

和

可以看作輸出和輸入的傅里葉變換。也就是說，穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和輸入的傅里葉變換之比，這正是頻率特性的物理意義。教材P51-P52例5-11.幅頻特性曲線和相頻特性曲線5.1.3頻率特性的幾何表示法

在以頻率

為橫軸、幅頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為幅頻特性曲線。在以頻率

為橫軸、相頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為相頻特性曲線。教材P51-P52例5-22.幅相頻率特性曲線教材P51-P52例5-3在以

的實部為橫軸（實軸）、虛部為縱軸（虛軸）的復(fù)平面（簡稱

平面）上，將頻率

作為參變量，繪制出幅頻特性

和相頻特性

之間的關(guān)系曲線，即為幅相頻率特性曲線，又稱奈奎斯特（Nyquist）曲線或極坐標圖。頻率特性

為

平面上的向量，向量的長度為幅頻特性

，向量與實軸正方向的夾角等于相頻特性

，且逆時針方向為正。當

從

到

變化時，向量的端點在

平面上畫出的曲線就是幅相頻率特性曲線。通常用箭頭表明

增大時幅相特性曲線的變化方向，并把

標在箭頭旁邊。3.對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線也稱伯德（Bode）圖，包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。（1）對數(shù)幅頻特性曲線在以頻率

為橫軸、幅頻特性

的對數(shù)值

為縱軸的坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為對數(shù)幅頻特性曲線。其中，縱坐標單位是分貝（

），為線性分度，即

每增加或減小10倍，

變化

；橫坐標單位是弧度/秒（

），以

對數(shù)分度，即

取常用對數(shù)后是線性分度，但為了便于觀察仍標注為頻率

，因此橫坐標對于

而言不是線性分度。對數(shù)分度（2）對數(shù)相頻特性曲線在以頻率

為橫軸、相頻特性

為縱軸的坐標平面上，繪制出

隨

變化而變化的曲線，即為對數(shù)相頻特性曲線。其中，縱坐標單位是度（

），為線性分度；橫坐標與對數(shù)幅頻特性曲線的橫坐標相同。教材P51-P52例5-4綜上所述，對數(shù)頻率特性曲線具有如下特點：（1）對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的縱坐標，分別以對數(shù)幅頻分貝數(shù)和相頻度數(shù)線性分度，是均勻的；橫坐標以頻率對數(shù)分度，但標注的是頻率的實際值，是不均勻的。由此構(gòu)成的坐標系稱為半對數(shù)坐標系。（2）橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大或減小十倍的范圍，稱為十倍頻程（

），橫軸上所有十倍頻程的長度是相等的。（3）橫坐標采用

的對數(shù)分度擴大了頻帶寬度，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。（4）對數(shù)幅頻特性采用

將幅值的乘除運算化為加減運算，簡化了曲線的繪制過程。（5）為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引入斜率的概念。半對數(shù)坐標系中的直線斜率為

4.對數(shù)幅相頻率特性曲線在以相頻特性

為橫軸、對數(shù)幅頻特性

為縱軸的直角坐標平面上，將

作為參變量，繪制出

與

的關(guān)系曲線，即為對數(shù)幅相頻率特性曲線，也稱尼柯爾斯（Nichols）圖。其中，縱坐標單位是分貝（

），橫坐標單位是度（

），均為線性分度。5.1.4MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下?？刂葡到y(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以用MATLAB提供的lsim()函數(shù)實現(xiàn)。例5-5已知某控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為1.控制系統(tǒng)在正弦信號作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的MATLAB實現(xiàn)當輸入信號

，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。clc;clearnum=[2,1];den=[1,3,2];G=tf(num,den);t=0:0.1:20;r=sin(t);y=lsim(G,r,t);plot(t,r,t,y);grid;xlabel('t');gtext('r(t)');gtext('c(t)');運行結(jié)果如圖所示。可見，正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是與輸入同頻率的正弦信號，僅是幅值與相位不同。系統(tǒng)的頻率特性可以用MATLAB提供的freqs()函數(shù)來分析。該函數(shù)可以求出系統(tǒng)頻率特性的數(shù)值解，也可以繪出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線，其調(diào)用格式如下。G=freqs(num,den,w)%w是形如w1:p:w2的頻率范圍，向量G返回向量w所定義的頻率點上的頻率特性的樣值。[G,w]=freq(b,a)%向量G返回默認頻率范圍內(nèi)200個頻率點上的頻率特性的樣值，200個頻率點記錄在w中。[G,w]=freq(b,a,n)%向量G返回默認頻率范圍內(nèi)n個頻率點上的頻率特性的樣值，n個頻率點記錄在w中。freq(b,a)%該調(diào)用格式不返回頻率特性的樣值，直接繪出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。2.系統(tǒng)頻率特性的MATLAB實現(xiàn)解：MATLAB程序如下。clc;clearw=[0:0.01:10];num=[2,1];den=[1,3,2];G=freqs(num,den,w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(G));xlabel('\omega(rad/s)');ylab