信陽市羅山縣2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

9/23信陽市羅山縣2022年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題共10小題，每小題3分，滿分30分。1．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣2≥0，解得x≥2．故選：C．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3+2【分析】直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．【解答】解：A、﹣＝2﹣＝，故此選項正確；B、+無法合并，故此選項錯誤；C、4﹣3＝，故此選項錯誤；D、3+2無法合并，故此選項錯誤；故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．3．下列二次根式中，最簡二次根式是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：A、原式＝|x|，不是最簡二次根式；B、是最簡二次根式；C、原式＝2，不是最簡二次根式；D、原式＝，不是最簡二次根式，故選：B．【點評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．4．一個三角形的三邊長為15，20，25，則此三角形最大邊上的高為（）A．10 B．12 C．24 D．48【分析】根據(jù)三角形的三邊的長，利用勾股定理逆定理求證該三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式得出BD?AC＝AB?BC，即可求得答案．【解答】解：已知三角形的三邊分別是BC＝15，AB＝20，AC＝25，BD是AC上的高，因為BC＝15，AB＝20，AC＝25，所以AC2＝AB2+BC2，所以三角形ABC為直角三角形，因為BD是AC上的高，所以BD?AC＝AB?BC，所以BD＝12．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形面積，以及勾股定理逆定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊的長，利用勾股定理逆定理求證該三角形為直角三角形．5．下列選項中，不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形的面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析得出即可．【解答】解：A，B，C都可以利用圖形面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項不符合題意；D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確．故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關(guān)鍵．6．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．76 B．72 C．68 D．52【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個輪子，進一步求得四個．【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169所以x＝13所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76．故選：A．【點評】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．7．如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈達到點B，那么所用細線最短需要（）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm【分析】要求所用細線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】解：把長方體的側(cè)表面展開得到一個長方形，高6cm，寬＝2+3+2+3＝10cm，AB為對角線．AB＝＝2cm．故選：B．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，本題就是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決．8．如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝5，對角線AC、BD相交于點O．過點O作OE⊥AC，交AD于點E．連接CE，則△CDE的周長為（）A．3 B．5 C．8 D．11【分析】由平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，OE⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝CE，又由平行四邊形ABCD的AB+BC＝AD+CD＝8，繼而可得△CDE的周長等于AD+CD．【解答】解：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC，AB＝CD，AD＝BC，因為AB＝3，BC＝5，所以AD+CD＝8，因為OE⊥AC，所以AE＝CE，所以△CDE的周長為：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝8．故選：C．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進行分析．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9．已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積問題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年）給出求其面積的海倫公式S＝，其中p＝；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202﹣1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S＝，若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個三角形的三邊長分別為2，3，4的面積，從而可以解答本題．【解答】解：因為S＝，所以若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則其面積是：S＝＝，故選：B．【點評】本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積．10．如圖1，已知AC是矩形紙片ABCD的對角線，AB＝3，∠ACB＝30°，現(xiàn)將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖2中A′B′C′，當(dāng)四邊形A′ECF是菱形時，平移距離AA′的長是（）A． B． C．2 D．【分析】由∠A＝30°，A′B＝DC＝3，可得AD＝3，通過特殊角30°的函數(shù)值，把線段A′E、A′F用AA′的代數(shù)式表示出來，由A′E＝A′F，可求出AA′的值．【解答】解：如圖（2）設(shè)AA′＝x，因為∠A＝30°，A′B＝DC＝3，所以AD＝3，所以A′D＝3﹣x，A′E＝因為四邊形A′ECF是菱形所以A′E∥FC，A′E＝A′F，所以∠DA′F＝∠A＝30°，所以A′F＝＝，所以＝，所以x＝2故選：C．二、填空題共5小題，共15分。11．計算+×的結(jié)果是6．【分析】先根據(jù)二次根式的乘法法則得到原式＝2+，然后化簡后合并即可．【解答】解：原式＝2+＝2+4＝6．故答案為6．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．12．已知，則1.01．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的移動規(guī)律，把被開方數(shù)的小數(shù)點每移動兩位，結(jié)果移動一位，進行填空即可．【解答】解：因為，所以＝＝＝＝1.01；故答案為：1.01．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的移動規(guī)律的應(yīng)用，能根據(jù)移動規(guī)律填空是解此題的關(guān)鍵．13．如圖，在東西走向的鐵路上有A、B兩站（視為直線上的兩點）相距36千米，在A、B的正北分別有C、D兩個蔬菜基地，其中C到A站的距離為24千米，D到B站的距離為12千米，現(xiàn)要在鐵路AB上建一個蔬菜加工廠E，使蔬菜基地C、D到E的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站12千米的地方．【分析】設(shè)AE＝x千米，則BE＝（36﹣x）千米，分別在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通過CE＝ED建立方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)AE＝x千米，則BE＝（36﹣x）千米，在Rt△AEC中，CE2＝AE2+AC2＝x2+242，在Rt△BED中，DE2＝BE2+BD2＝（36﹣x）2+122，因為CE＝ED，所以x2+242＝（36﹣x）2+122，解得x＝12，所以E站應(yīng)建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距離相等．故答案為12．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：利用勾股定理表示有關(guān)線段，然后建立等量關(guān)系，再解方程得到答案．14．如圖，矩形ABCD中，對角線AC＝8cm，△AOB是等邊三角形，則AD的長為cm．【分析】先求得∠ACB＝30°，再求出AB＝4cm，由勾股定理求得AD的長．【解答】解：因為△AOB是等邊三角形，所以∠BAC＝60°，所以∠ACB＝30°，因為AC＝8cm，所以AB＝4cm，在Rt△ABC中，BC＝＝＝4cm，因為AD＝BC，所以AD的長為4cm．故答案為：4．15．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為1．【分析】方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．方法二：設(shè)DF，CE交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，根據(jù)線段中點的定義得到BE＝CF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，求得DF⊥CE，根據(jù)勾股定理得到CE＝DF＝＝，點G，H分別是EC，PC的中點，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：方法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，因為四邊形ABCD是正方形，所以∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，因為E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，所以AE＝CF＝×2＝，因為AD∥BC，所以∠DPH＝∠FCH，因為∠DHP＝∠FHC，因為DH＝FH，所以△PDH≌△CFH（AAS），所以PD＝CF＝，所以AP＝AD﹣PD＝，所以PE＝＝＝2，因為點G，H分別是EC，CP的中點，所以GH＝EP＝1；方法二：設(shè)DF，CE交于O，因為四邊形ABCD是正方形，所以∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，因為點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，所以BE＝CF，所以△CBE≌△DCF（SAS），所以CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，因為∠CDF+∠CFD＝90°，所以∠BCE+∠CFD＝90°，所以∠COF＝90°，所以DF⊥CE，所以CE＝DF＝＝，因為點G，H分別是EC，PC的中點，所以CG＝FH＝，因為∠DCF＝90°，CO⊥DF，所以∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，所以∠FCO＝∠CDO，因為∠DCF＝∠COF＝90°，所以△COF∽△DOC，所以＝，所以CF2＝OF?DF，所以O(shè)F＝＝＝，所以O(shè)H＝，OD＝，因為∠COF＝∠COD＝90°，所以△COF∽△DCF，所以，所以O(shè)C2＝OF?OD，所以O(shè)C＝＝，所以O(shè)G＝CG﹣OC＝﹣＝，所以HG＝＝＝1?！军c評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．三、解笞題共8題：共75分。16．（10分）計算：（1）﹣（﹣）（2）（a2﹣）【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）先利用二次根式的乘法法則運算，然后化簡后合并即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣+4＝；（2）原式＝a2﹣＝9a3﹣＝a3．【點評】本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．17．（9分）當(dāng)2＜m＜3時，化簡﹣3|m﹣4|．【分析】直接利用m的取值范圍，進而化簡二次根式以及絕對值進而得出答案．【解答】解：因為2＜m＜3，所以﹣3|m﹣4|，＝﹣3（4﹣m），＝?（3﹣m）﹣12+3m，＝﹣3﹣12+3m，＝3m﹣15．【點評】此題主要考查了二次根式以及絕對值的化簡，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（9分）已知，如圖，四邊形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．試求：（1）∠BAD的度數(shù)；（2）四邊形ABCD的面積（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）如圖，連接AC，由于AB＝BC＝1，且∠B＝90°根據(jù)勾股定理即可求出AC的長度，而CD＝，DA＝1，利用勾股定理的逆定理即可證明△ACD是直角三角形，由此即可求出∠BAD的度數(shù)；（2）首先把求四邊形ABCD的面積分割為求△ABC和△ACD的面積，然后利用三角形的面積公式可以分別求出這兩個三角形的面積，最后就可以求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）如圖，連接AC，因為AB＝BC＝1，且∠B＝90°，所以∠BAC＝45°，AC＝＝，而CD＝，DA＝1，所以CD2＝AD2+AC2，所以△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90°，所以∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°；（2）因為S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD，而S△ABC＝AB×BC＝，S△ACD＝AD×CA＝，所以S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝（+1）．【點評】此題考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面積公式、以及利用割補法求不規(guī)則圖形的面積，有一定的難度，對于學(xué)生的能力要求比較高．19．（9分）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工．為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設(shè)想過C點作直線AB的垂線L，過點B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過），與L相交于D點，經(jīng)測量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（結(jié)果保留根號）【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2+BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米進行計算即可．【解答】解：因為CD⊥AC，所以∠ACD＝90°，因為∠ABD＝135°，所以∠DBC＝45°，所以∠D＝45°，所以CB＝CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，2CD2＝8002，CD＝400（米），答：直線L上距離D點400米的C處開挖．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．20．（9分）如圖，在?ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，試判斷四邊形AECF是不是平行四邊形，并說明理由．【分析】根據(jù)垂直，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AE∥CF，在根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ABE與△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝CF，然后根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【解答】解：四邊形AECF是平行四邊形．理由如下：因為AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，所以∠AEF＝∠CFE＝90°，所以AE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，在△ABE與△DCF中，所以△ABE≌△CDF（AAS），所以AE＝CF，所以四邊形AECF是平行四邊形（有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，利用三角形全等證明得到AE＝CF是證明的關(guān)鍵．21．（9分）如圖是“趙爽弦圖”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系，可以證明勾股定理．設(shè)AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．（1）正方形EFGH的面積為4，四個直角三角形的面積和為96；（2）求（a+b）2的值．【分析】（1）由題意可知HE＝a﹣b＝2，可求得正方形EFGH的面積，利用四個直角三角形的面積和＝正方形ABCD的面積﹣正方形EFGH的面積，可求得答案；（2）利用勾股定理可求得a2+b2的值，利用四個直角三角形的面積可求得2ab，則可求得答案．【解答】解：（1）因為HE＝a﹣b＝2，所以S正方形EFGH＝HE2＝4，因為AD＝c＝10，所以S正方形ABCD＝AD2＝100，所以四個直角三角形的面積和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96，故答案為：4；96；（2）由（1）可知四個直角三角形的面積和為96，所以4×ab＝96，解得2ab＝96，因為a2+b2＝c2＝100，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．【點評】本題主要考查勾股定理的證明及應(yīng)用，理解圖形中四個三角形的面積和等于大正方形的面積與小正方形面積的差是解題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB延長線上一動點，連接EF，過點C作AB的平行線CD，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形．（2）若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，則在點E的運動過程中：①當(dāng)BE＝2時，四邊形BECD是矩形；②當(dāng)BE＝4時，四邊形BECD是菱形．【分析】（1）證△EBF≌△DCF（AAS），得DC＝BE，再由DC∥AB，即可得出結(jié)論；（2）①由矩形的在得∠CEB＝90°，再求出∠ECB＝30°，則BE＝BC＝2；②由菱形的性質(zhì)得BE＝CE，再證△CBE是等邊三角形，即可得出BE＝BC＝4．【解答】（1）證明：因為AB∥CD，所以∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，因為點F是BC的中點，所以BF＝CF，在△DCF和△EBF中，，所以△EBF≌△DCF（AAS），所以DC＝BE，又因為DC∥AB，所以四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：①BE＝2；因為四邊形BECD是矩形，所以∠CEB＝90°，因為∠ABC＝120°，所以∠CBE＝60°，所以∠ECB＝30°，所以BE＝BC＝2，故答案為