《材料力學(xué)》課件1西電社 材力 第6章-彎曲應(yīng)力

第6章彎曲應(yīng)力第6章彎曲應(yīng)力§6.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力§6.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§6.4彎曲切應(yīng)力§6.6提高彎曲強(qiáng)度的措施§6.1截面圖形的幾何性質(zhì)§6.5彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§6.1截面圖形的幾何性質(zhì)返回總目錄zyOdAyz——圖形對(duì)于

z軸的靜矩——圖形對(duì)于y

軸的靜矩1.靜矩常用單位：mm3，cm3，m3也稱圖形對(duì)某軸的一次矩返回

一、靜矩與形心——即均質(zhì)薄板的重心2.形心zyOdAyzAzCCyC若圖形對(duì)某軸的靜矩為0，則該軸過形心；若某軸過形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩為0。返回例6-1

矩形截面試求陰影部分面積對(duì)z軸、y軸的靜矩。解：1.計(jì)算靜矩Sz陰影部分圖形的面積，陰影部分面積對(duì)z軸的靜矩形心坐標(biāo)2.計(jì)算靜矩Sy因?yàn)閥軸通過陰影部分圖形的形心C1，故Sy?=?0返回3.組合圖形的形心返回

已知：圖形尺寸如圖所示。

求：圖形的形心5027030300解：1．將圖形分解2.建立坐標(biāo)系，確定形心位置ⅠⅡyz由于圖形對(duì)稱，故例6-2C2C1返回——圖形對(duì)z

軸的慣性矩——圖形對(duì)y軸的慣性矩zyOdAyzA二、慣性矩也稱圖形對(duì)某軸的二次矩常用單位：mm4，cm4，m4返回bhCyz已知：矩形截面b×h求：

Iz，IyydydA解：取平行于z軸的微元例6-3同理可得微元面積返回已知：圓截面直徑d求：Iz，IydCyz解：例6-4dA

截面對(duì)點(diǎn)C的極慣性矩CyzDd對(duì)空心圓截面返回例6-5求：No：20a工字鋼的Iz解：查型鋼表Iz=得2370cm4返回圖形對(duì)z

軸的慣性半徑圖形對(duì)y軸的慣性半徑zyOdAyz三、慣性半徑返回三、慣性半徑返回矩形的慣性半徑bhCyz三、慣性半徑返回空心圓截面的慣性半徑CyzDd圓形截面的慣性半徑dCyz圖形對(duì)yz軸的慣性積zyOdAyzA

四、慣性積常用單位：mm4，cm4，m4Iyz=(yizidA-yizidA)圖形有對(duì)稱軸時(shí)=0zyCdAdAyyz-z返回五、平行移軸定理dAyzAzcyczyOabCyczc兩對(duì)平行軸，yC、zC軸過形心同理可得：返回

已知：圖形尺寸如圖所示。求：圖形對(duì)zC

軸的慣性矩5027030300例6-6解：由例題Ⅰ-1解得

Izc=Izc(Ⅰ)+Izc(Ⅱ)yzyC1C2ⅡⅠCzC返回zyOz1y1

六、轉(zhuǎn)軸公式Iz1,Iy1,Iy1z1，隨

變化

當(dāng)Iz1y1=0時(shí),Iz1,Iy1有極值,一為最大,一為最小，這對(duì)軸稱為主慣性軸(簡稱主軸)返回IZ1,Iy1,Iz1y1，隨

變化當(dāng)Iz1y1=0時(shí),Iz1,Iy1有極值,一為最大,一為最小——這對(duì)軸稱為主慣性軸(簡稱主軸)形心主軸——過形心的主軸主慣性矩——圖形對(duì)主軸的慣性矩形心主慣性矩——圖形對(duì)形心主軸的慣性矩zyOz1y1

返回有對(duì)稱軸截面的慣性主軸zyCdAdAyyz-zIzy=(yizidA-yizidA)=0故：當(dāng)圖形有對(duì)稱軸時(shí)，對(duì)稱軸和與之垂直的任意軸可組成多組主軸。

因：返回§6.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力返回總目錄一、純彎曲梁的橫截面上同時(shí)有彎矩和剪力，稱為橫力彎曲。橫截面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。

梁橫截面上一般有兩個(gè)內(nèi)力分量:剪力和彎矩。若只有彎矩，稱為純彎曲。橫截面上有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。CD段為純彎曲AC、DB段為橫力彎曲PP返回從變形、物理及靜力平衡三方面分析。1.變形幾何關(guān)系◆

變形后，橫向線仍為直線，旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，仍與縱向線正交；◆

縱向線彎成弧線，近凹邊縮短，近凸邊伸長。MM二、純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力提出假設(shè)：◆

梁的橫截面在變形后仍保持為平面，并和彎曲后的梁軸線垂直?！?/p>

梁內(nèi)各縱向“纖維”受到單向拉伸或壓縮，彼此間互不擠壓、互不牽拉。MM——彎曲變形的平面假設(shè)——單向受力假設(shè)中性軸

◆梁中間部位必然有一層既不伸長也不縮短的縱向“纖維”——中性層得出推論：◆縱向纖維可視為簡單拉壓。中性層中性層與橫截面的交線——中性軸變形前的長度:變形后的長度:應(yīng)變即：純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向應(yīng)變沿截面高度呈線性分布。距中性層y處縱向纖維的應(yīng)變返回2.物理關(guān)系

因縱向纖維可視為簡單拉壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí)，由胡克定律有:即:

純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。返回yzxOMzyσdA橫截面上的內(nèi)力:3.靜力關(guān)系式中返回yzxOMzyσdA方程1：中性軸z

過形心式中返回yzxOMzyσdA方程2：因y

軸為對(duì)稱軸，故成立。式中返回yzxOMzyσdA方程3：式中——計(jì)算梁彎曲變形的基本公式——純彎曲梁橫截面正應(yīng)力公式返回純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式返回說明：◆

M為彎矩；◆

y為點(diǎn)到中性軸的距離；◆

中性軸過橫截面形心；◆

Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。(3)公式是從純彎曲梁推得，可推廣至橫力彎曲。純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式

公式的適用范圍(1)梁有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對(duì)稱面內(nèi);(2)材料服從胡克定律;返回橫力彎曲時(shí)，橫截面上有切應(yīng)力平面假設(shè)不再成立縱向纖維無擠壓假設(shè)也不成立.但進(jìn)一步分析表明：

將純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式推廣至橫力彎曲，并不會(huì)引起很大誤差，一般能滿足工程問題所需的精度。返回例6.7已知：10號(hào)槽鋼制成的懸臂梁上作用有集中力F=1.2kN，集中力偶Me?=?2.2kN·m。試求：(1)?1-1截面上A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力；(2)?2-2截面上C點(diǎn)的正應(yīng)力。解：

1.繪制彎矩圖M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性軸位置和慣性矩Iz查表得：10號(hào)槽鋼t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

3.計(jì)算1-1截面A、B點(diǎn)的正應(yīng)力，解：

1.繪制彎矩圖M1=1kN·m，M2=1.2kN·m2.中性軸位置和慣性矩Iz查表得：10號(hào)槽鋼t=5.3mm，b=48mm，y0=15.2mm，Iz=25.6×04mm4

4.計(jì)算2-2截面C點(diǎn)的正應(yīng)力，§6.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算返回總目錄

一、橫截面上的最大正應(yīng)力令：則有：——抗彎截面系數(shù)1.中性軸為對(duì)稱軸的截面返回常見截面的Iz和Wz矩形截面圓形截面空心圓截面返回2.中性軸為非對(duì)稱軸的截面常用于抗拉壓能力不等的脆性材料。返回

二、彎曲強(qiáng)度條件1.中性軸為對(duì)稱軸的截面常用于抗拉壓能力相同的塑性材料2.中性軸為非對(duì)稱軸的截面常用于抗拉壓能力不等的脆性材料返回已知：

[s]=100MPa，P

=25.3kN。解：試：校核心軸強(qiáng)度。2.作彎矩圖支反力例6-81.作計(jì)算簡圖3.危險(xiǎn)面

I截面

II截面

III截面返回4.強(qiáng)度校核

I截面返回4.強(qiáng)度校核

II截面返回4.強(qiáng)度校核III截面結(jié)論注意心軸滿足強(qiáng)度要求最大正應(yīng)力并非發(fā)生在彎矩最大的截面，也非發(fā)生在尺寸最小的截面。返回已知:

a=150mm，

[s]=140MPa解：求:壓緊力P的許用值壓板可簡化為外伸梁1.作彎矩圖例6-9且B截面最薄弱2.確定危險(xiǎn)截面B為危險(xiǎn)截面3.計(jì)算B截面WZ返回看成組合體解：3.計(jì)算B截面WZ返回危險(xiǎn)截面B：由強(qiáng)度條件：解：4.由強(qiáng)度條件計(jì)算許可載荷P返回已知:T形截面鑄鐵梁，[s拉]=30MPa，[s壓]=160MPa。

Iz=763cm4,且|y1|=52mm。試：校核梁的強(qiáng)度。解：2.作彎矩圖例6-102.5kN10.5kN3.確定危險(xiǎn)面

B截面

C截面最大正彎矩為:最大負(fù)彎矩為:1.求支反力返回4.強(qiáng)度校核

B截面解：M返回4.強(qiáng)度校核C截面解：M結(jié)論梁滿足強(qiáng)度要求返回§6.4彎曲切應(yīng)力返回總目錄

彎曲切應(yīng)力的概念

當(dāng)梁發(fā)生橫力彎曲時(shí)，橫截面上存在剪力，截面上與剪力對(duì)應(yīng)的分布內(nèi)力在各點(diǎn)的強(qiáng)弱程度稱為切應(yīng)力，用

表示。切應(yīng)力作用線位于橫截面內(nèi)。返回一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*儒拉夫斯基假設(shè)1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力

t與剪力FS的方向平行。2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。返回一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*取梁中dx微段分析微段兩側(cè)截面切應(yīng)力與剪力平行兩側(cè)截面彎矩不同，正應(yīng)力也不相同。返回一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*

為了研究橫截面上距離中性層y處的切應(yīng)力，在該處用一個(gè)平行于中性層的縱截面，將微段的下半部分截出。返回一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*研究x方向的平衡距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對(duì)中性軸的靜矩。同理可得返回一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*研究x方向的平衡由由于返回二、

矩形截面梁的切應(yīng)力公式橫截面上的剪力整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩所求切應(yīng)力點(diǎn)的位置的梁截面的寬度。上述公式對(duì)組合矩形截面梁亦可使用。返回二、矩形截面梁的切應(yīng)力公式這樣，公式可以改寫為在截面上下邊緣，y=±h/2在中性層，y=0切應(yīng)力分布規(guī)律如圖返回如圖所示，倒T形截面，若求圖示A點(diǎn)的切應(yīng)力，則在應(yīng)用公式時(shí)b

和Sz*應(yīng)該如何計(jì)算？1.b

指的是A點(diǎn)截面寬度例6-11解：2.A點(diǎn)橫線以外面積對(duì)中性軸的靜矩可用

A點(diǎn)橫線以下面積計(jì)算：也可用

A點(diǎn)橫線以上面積計(jì)算：b=20

mm返回1.截面上各點(diǎn)

∥FS切應(yīng)力分布假設(shè):2.沿寬度,

均勻分布返回三、常見截面梁的切應(yīng)力矩形截面返回三、常見截面梁的切應(yīng)力圓形截面返回三、常見截面梁的切應(yīng)力圓環(huán)形截面

最大切應(yīng)力位于中性軸，大小為:橫截面中性軸z一側(cè)面積（上部或下部對(duì)z軸的靜矩）腹板寬度三、常見截面梁的切應(yīng)力梯形截面返回由型鋼表查得腹板承擔(dān)了絕大部分剪力。腹板切應(yīng)力近似公式:式中b,h為腹板寬和高腹板切應(yīng)力近似為均勻分布;返回三、常見截面梁的切應(yīng)力工字形截面§6.5彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算返回總目錄一、彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件≤[τ]下列幾種情況的梁，需進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核：梁的跨度較短，或者有較大載荷作用在支座附近時(shí)。由鋼板和型鋼所組成的組合截面梁，如果腹板厚度和截面高度相比很小。由幾部分經(jīng)鉚接或膠合而成的組合梁一般需對(duì)鉚釘或膠合面進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。二、需進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的情況

一般梁的高度遠(yuǎn)小于跨度，彎曲切應(yīng)力遠(yuǎn)小于彎曲正應(yīng)力，彎曲正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素，一般不必進(jìn)行切應(yīng)力校核。返回例6.12已知：圖示的工字鋼截面簡支梁，l?=?2?m，a?=?0.2，梁的載荷q?=?10?kN/m，F(xiàn)?=?200?kN，許用正應(yīng)力[σ]=?100MPa，許用切應(yīng)力[τ]=160?Mpa。?試：選擇工字鋼型號(hào)。

返回解：

(1)確定最大內(nèi)力(2)根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇工字鋼查型鋼表，22a號(hào)工字鋼Wz=309?cm3

(3)校核切應(yīng)力強(qiáng)度查型鋼表得腹板厚度d?=?7.5?mm。最大切應(yīng)力重新選擇25b號(hào)工字鋼d?=?10?mm故滿足強(qiáng)度條件返回例6-13已知：圖示由兩根20a號(hào)工字鋼鉚接而成的懸臂梁，承受集中力作用，載荷F?=?40kN，鉚釘直徑d=20mm，鉚釘?shù)脑S用切應(yīng)力[τ]=90MPa，不計(jì)兩工字鋼接觸面上的摩擦力。試：求鉚釘間所必需的間距。返回解：(1)計(jì)算鉚接面上的切應(yīng)力。查型鋼表得20a號(hào)工字鋼：A=3.55×103mm2

，I′z=2.37×107?mm4，高度h?=?200?mm，翼緣寬度b?=?100?mm鉚接面上的切應(yīng)力返回(2)計(jì)算鉚釘間距設(shè)鉚釘間距為t，則在此范圍內(nèi)的切向內(nèi)力系的合力

由兩個(gè)鉚釘來承擔(dān)鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度條件故鉚接間距不能大于471mm返回§6.6提高彎曲強(qiáng)度的措施