《材料力學》課件第2章

第2章

軸向拉壓與材料的力學性能2.1引言2.2拉壓桿的內力與應力2.3材料拉伸與壓縮時的力學性能2.4拉壓桿的強度計算2.5拉壓桿的變形計算2.6簡單拉壓靜不定問題2.7連接件的強度計算 2.1引

言

在生產實踐中經常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖2-1(a)所示的連接螺栓承受拉力作用，圖2-1(b)所示的活塞桿承受壓力作用。此外，如起重鋼索在起吊重物時承受拉力作用；千斤頂的螺桿在頂起重物時承受壓力作用；至于桁架中的桿件，則不是受拉就是受壓。圖2-1工程中受拉或受壓的桿件很多，它們的外形各不相同，加載方式也迥異，但它們的共同特點是：作用于桿件上的外力或其合力的作用線沿桿件軸線，而桿件的主要變形為軸向伸長或縮短。作用線沿桿件軸線的載荷稱為軸向載荷。以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉壓。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿。圖2-2是等截面拉壓桿的力學簡圖，圖中虛線表示變形后的形狀。圖2-2 2.2拉壓桿的內力與應力

2.2.1軸力與軸力圖

對于圖2-3(a)所示兩端承受軸向載荷F作用的拉壓桿，為了顯示和確定橫截面上的內力，應用截面法，沿橫截面m-m假想地將桿件分成兩部分（見圖2-3(b)、(c)）。桿件兩段在橫截面m-m上相互作用的內力是一個分布力系，其合力為FN。根據二力平衡條件可知，FN必沿桿件軸線方向，所以稱為軸力。軸力或為拉力，或為壓力。習慣上把拉伸時的軸力規(guī)定為正，壓縮時的軸力規(guī)定為負。軸力的代數值可以由桿件左段（或右段）的平衡方程∑Fx=0求得。由圖2-3(b)，得FN-F=0圖2-3

例2-1

試繪制圖2-4(a)所示拉壓桿的軸力圖。

解(1）計算桿件各段的軸力。根據該拉壓桿承受的外力，將桿件分為AB、BC、CD三段，分別以1-1、2-2與3-3截面為各段代表性截面。

先計算AB段的軸力。沿1-1截面假想地將桿件截開，取其受力簡單的左段桿為研究對象，假定該截面上的軸力FN1為正（見圖2-4(b)），由平衡方程∑Fx=0,得再計算BC段的軸力。沿2-2截面假想地將桿件截開，以左段作為研究對象，假設軸力FN2為正（見圖2-4(c)），由平衡方程∑Fx=0,得FN2為負值，表示實際軸力方向與假設方向相反，即為壓力。

同樣可算得CD段3-3截面（見圖2-4(d)）上的軸力為FN3=-4kN。

（2）繪軸力圖。以平行于桿軸的坐標x表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標FN表示相應截面的軸力，繪制的這種圖線就是軸力圖（見圖2-4(e)）。在工程中，有時可將x和FN坐標軸省略，這樣的軸力圖如圖2-4(f)所示。軸力圖需要標明軸力的單位與各段的正、負和數值，并且要與桿件的橫截面位置相對應，以便清析表明軸力沿桿軸的變化情形。顯然，由軸力圖2-4(e)、(f)可以看出，該拉壓桿在AB段受拉，在BCD段受壓；桿內軸力的最大值為12kN。圖2-42.2.2橫截面上的應力

僅根據軸力并不能判斷拉壓桿是否有足夠的強度。例如用同一種材料制成粗細不同的兩根桿，在相同的拉力作用下，兩桿的軸力是相同的。但當拉力逐漸增大時，細桿會先被拉斷。這說明拉壓桿的強度不僅與軸力有關，而且與橫截面面積有關。所以必須用橫截面上的應力來量度桿件的內力集中程度。

在拉壓桿的橫截面上，與軸力FN對應的應力是正應力σ。根據連續(xù)性假設，橫截面上到處都存在著內力，為了求得內力與應力在橫截面上的分布規(guī)律，必須先通過試驗觀察桿件的變形。

圖2-5(a)所示為一等截面直桿，變形前，在其側面畫兩條垂直于桿軸的橫線ab與cd。然后，在桿兩端施加一對大小相等、方向相反的軸向載荷F。拉伸變形后，發(fā)現橫線ab與cd仍為直線，且仍垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至圖示a′b′與c′d′位置。根據這一現象，可以假設：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是軸向拉壓時的平面假設。由此可以設想，組成拉壓桿的所有縱向纖維的伸長是相同的。又由于材料是均勻的，所有縱向纖維的力學性能相同，可以推斷各縱向纖維的受力是一樣的。因此，拉壓桿橫截面上各點的正應力σ相等，即橫截面上的正應力是均勻分布的。設圖2-5（b)所示的拉壓桿橫截面面積為A，則各面積微元dA上的內力元素σdA組成一個垂直于橫截面的平行力系，其合力就是軸力FN。根據靜力學力系簡化的理論，可得所以（2-1）

式（2-1）已為大量試驗所證實，適用于橫截面為任意形狀的等截面拉壓桿。當桿的橫截面沿軸線緩慢變化時（小錐度直桿），也可以應用式（2-1）計算橫截面上的正應力。

由式（2-1）可知，正應力與軸力具有相同的正負符號，即拉應力為正，壓應力為負。圖2-52.2.3圣維南原理

當作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近各截面的應力，也為非均勻分布。圣維南（Saint-Venant）原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍內的應力分布，影響區(qū)域的軸向范圍約為1～2個桿端的橫向尺寸。此原理已為大量試驗與計算所證實。例如，圖2-6(a)所示承受集中力F作用的桿，其截面寬度為h，在x=h/4與x=h/2的橫截面1-1與2-2上，應力明顯為非均勻分布（見圖2-6(b)），但在x=h的橫截面3-3上，應力則趨向均勻分布（見圖2-6(c)）。因此，只要外力合力的作用線沿桿件軸線，在離外力作用面稍遠處，橫截面上的應力分布均可視為均勻的。至于外力作用處的應力分析，則需另行討論。在材料力學和常規(guī)工程設計計算中，一般都不考慮加載方式的影響。圖2-62.2.4拉壓桿斜截面上的應力

前面研究了拉壓桿橫截面上的應力，為了更全面地了解桿內的應力情況，還需研究斜截面上的應力。

考慮圖2-7(a)所示拉壓桿，利用截面法，沿任一斜截面m-m將桿切開，該截面的方位以其外法線On與x軸間的夾角α表示。仿照證明橫截面上正應力均勻分布的方法，可知斜截面m-m上的應力pα亦為均勻分布（見圖2-7(b)），且其方向與桿軸平行。圖2-7設桿件橫截面面積為A，則根據上述分析，得桿左段的平衡方程為由此得截面m-m上各點處的應力為式中，σ=F/A代表桿件橫截面上的正應力。

將應力pα沿截面法向與切向分解（見圖2-7(c)），得斜截面上的正應力與切應力分別為（2-2）（2-3）可見，在拉壓桿的任一斜截面上，不僅存在正應力，而且存在切應力，其大小均隨截面方位的變化而變化。

由式（2-2）可知，當α＝0°時，正應力最大，其值為（2-4）即拉壓桿的最大正應力發(fā)生在橫截面上，其值為σ。

由式（2-3）可知，當α=45°時，切應力最大，其值為（2-5）即拉壓桿的最大切應力發(fā)生在與桿軸成45°的斜截面上，其值為σ/2。

此外，當α=90°時，σα=τα=0，這表示在平行于桿件軸線的縱向截面上無任何應力。

為便于應用上述公式，現對方位角與切應力的正負符號作如下規(guī)定：以x軸正向為始邊，向斜截面外法線方向旋轉，規(guī)定方位角α逆時針轉向為正，反之為負；將截面外法線On沿順時針方向旋轉90°，與該方向同向的切應力為正，反之為負。按此規(guī)定，圖2-7(c)所示之α與τα均為正。

例2-2圖2-8(a)所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時承受軸向載荷F1與F2作用。試計算桿橫截面上的最大正應力。已知載荷F1=20kN，F2=50kN，桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20mm與d2=30mm。

解(1)計算約束力。設桿右端的約束力為FR，則由整個桿的平衡方程∑Fx=0,得(2)軸力分析。設AB與BC段的軸力均為拉力，并分別用FN1與FN2表示，則由截面法可知所得FN2為負，說明BC段軸力應為壓力。根據上述軸力值，可畫出桿的軸力圖，如圖2-8(b)所示。圖2-8(3)應力計算。由式（2-1）可知，AB段內任一橫截面上的正應力為(拉應力)而BC段內任一橫截面上的正應力則為(壓應力)可見，桿內橫截面上的最大的正應力為

例2-3圖2-9(a)所示的軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，載荷F=50kN。試計算斜截面m-m上的正應力與切應力。斜截面m-m的方位角為α=50°于是，由式（2-2）與式（2-3），得截面m-m的正應力與切應力分別為其實際指向如圖2-9(b)所示。圖2-9 2.3材料拉伸與壓縮時的力學性能2.3.1拉伸試驗與應力-應變曲線為了便于比較不同材料的試驗結果，需要將試驗材料按國家標準的規(guī)定加工成標準試樣。常用的標準拉伸試樣如圖2-10所示，標記m與n之間的桿段為試驗段，其長度l稱為標距。對于試驗段直徑為d的圓截面試樣（見圖2-10(a)），通常規(guī)定或而對于試驗段橫截面面積為A的矩形截面試樣（見圖2-10(b)），則規(guī)定或圖2-10試驗時，首先將試樣安裝在材料試驗機的上、下夾頭內（見圖2-11），并在標記m和n處安裝測量變形的儀器。然后開動試驗機，緩慢加載，試驗段的拉伸變形用Δl表示。通過測量力與變形的裝置，試驗機可以自動計錄所加載荷以及相應的伸長量，得到拉力F與變形Δl間的關系曲線如圖2-11所示，稱為試樣的拉力-伸長曲線或拉伸圖。試驗一直進行到試樣斷裂為止。顯然，試樣的拉力-伸長曲線不僅與試樣的材料有關，而且與試樣橫截面尺寸及其標距的大小l有關。為了消除試樣尺寸的影響，反映材料本身的性質，根據軸向拉伸時應力、應變的概念，將拉力-伸長曲線的縱坐標F除以試樣橫截面的原面積A，得出正應力：；同時，將其橫坐標Δl除以試驗段的原長l（即標距），得到線應變：（因在標距l(xiāng)內變形是均勻的，任意點的線應變與平均線應變相同）。以σ為縱坐標，以ε為橫坐標，作圖表示σ與ε的關系曲線，稱為材料的應力-應變曲線?，F代化的試驗機可以自動地繪制出應力-應變曲線。圖2-112.3.2低碳鋼拉伸時的力學性能

低碳鋼（含碳量0.3%以下）是工程中廣泛使用的金屬材料，其應力-應變曲線非常典型，圖2-12所示為Q235鋼的應力-應變曲線，現以該曲線為基礎，并根據試驗過程中觀察到的現象，介紹低碳鋼的力學性能。圖2-121.線性階段

在拉伸的初始階段，應力-應變曲線為一直線（圖2-12中之OA），說明在此階段內，正應力與線應變成正比，即引入比例常數E，于是得（2-6）上述關系稱為胡克定律，比例常數E稱為材料的彈性模量。

線性階段最高點A所對應的應力，稱為材料的比例極限，并用σp表示；直線OA的斜率在數值上等于材料的彈性模量E。Q235鋼的比例極限σp≈200MPa，彈性模量E≈200GPa。2.屈服階段

超過比例極限之后，應力與應變之間不再保持線性關系。當應力增加至某一定值時，應力-應變曲線呈現水平階段（可能有微小波動）。在此階段內，應力幾乎不變，而應變急劇增長，材料失去抵抗變形的能力，這種現象稱為屈服。屈服時所對應的應力最小值稱為材料的屈服應力或屈服極限，用σs表示，低碳鋼Q235的屈服極限σs≈235MPa。如果試樣表面光滑，屈服時試樣表面出現與軸線約成45°的線紋（見圖2-13）。如前所述，在桿件的45°斜截面上，作用有最大切應力，因此，上述線紋是由最大切應力所引起的，稱之為滑移線。材料屈服時將產生顯著的塑性變形，而構件的塑性變形將影響機器與結構的正常工作，所以屈服極限σs是衡量材料強度的重要指標。圖2-13

3.硬化（強化）階段

經過屈服階段之后，材料又有了抵抗變形的能力。這時，要使材料繼續(xù)變形需要增大應力。經過屈服滑移之后，材料重新呈現抵抗繼續(xù)變形的能力，這種現象稱為應變硬化。硬化階段的最高點D所對應的應力，稱為材料的強度極限，并用σb表示。低碳鋼Q235的強度極限σb≈380MPa。強度極限是材料所能承受的最大應力，它是衡量材料強度的另一重要指標。

4.縮頸階段

當應力增至最大值σb之后，試樣的某一局部顯著收縮（見圖2-14），產生所謂的縮頸現象。由于在縮頸部分橫截面面積急劇減小，使試樣繼續(xù)變形所需之拉力也相應減小，因而應力-應變曲線相應呈現下降，最后導致試樣在縮頸處斷裂。低碳鋼斷裂時先在中心部分沿橫截面方向斷開，然后沿45°面剪斷，斷面呈杯口狀。

綜上所述，在整個拉伸過程中，材料經歷了線性、屈服、硬化與縮頸四個階段，并存在三個特征點，相應的應力依次為比例極限、屈服應力與強度極限。圖2-142.3.3卸載與再加載規(guī)律

如果當應力小于比例極限時停止加載，并將載荷逐漸減小至零，即卸載，可以看到，在卸載過程中應力與應變之間仍保持線性關系，并沿直線AO回到O點（見圖2-15），變形完全消失。這種僅產生彈性變形的現象，一直可持續(xù)到應力-應變曲線上的B點，與該點對應的正應力，稱為材料的彈性極限，并用σe表示。

對于鋼材，其彈性極限與比例極限非常接近，所以工程上對彈性極限與比例極限并不嚴格區(qū)分，因而線性階段又常稱為線彈性階段或彈性階段。但彈性極限與比例極限的物理意義是完全不同的。在超過彈性極限之后，例如在強化階段的某一點C逐漸卸載，在卸載過程中的應力-應變曲線如圖2-15中的CO1所示，該直線與OA大致平行。線段O1O2代表隨卸載后消失的應變即彈性應變；而線段OO1則代表應力減小至零時殘留的應變，即塑性應變或殘余應變。由此可見，當應力超過彈性極限后，材料的應變包括彈性應變與塑性應變，但在卸載過程中，應力與應變之間仍保持線性關系。試驗中還發(fā)現，如果卸載至O1點后立即重新加載，則加載時的應力-應變關系基本上沿卸載時的直線O1C上升，過C點后仍沿原曲線CDE變化，并至E點斷裂。因此，如果將卸載后已有塑性變形的試樣當作新試樣重新進行拉伸試驗，其比例極限、彈性極限將得到提高，而斷裂時的殘余變形則減小。由于預加塑性變形，而使材料的比例極限或彈性極限提高的現象，稱為冷作硬化。工程中常利用冷作硬化，以提高某些構件（例如建筑用的鋼筋與起重用的鏈條等）的承載能力。但冷作硬化使材料變硬、變脆，使加工發(fā)生困難，且易產生裂紋，這時可以采用退火處理，部分或全部地消除材料的冷作硬化效應。2.3.4材料的塑性

材料能經受較大塑性變形而不破壞的能力，稱為材料的塑性或延性。材料的塑性用延伸率或斷面收縮率度量。

試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試驗段的長度由原來的l變?yōu)閘1，將殘余變形與試驗段原長l的比值，稱為材料的延伸率，并用δ表示，即（2-7）低碳鋼的延伸率約為25%～30%。延伸率大的材料，在軋制或冷壓成型時不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。在工程中，通常將延伸率較大（δ≥5%）的材料稱為延性或塑性材料；延伸率較小(δ<5%)的材料稱為脆性材料。結構鋼、鋁合金、黃銅等為塑性材料；而工具鋼、灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等屬于脆性材料。設試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后縮頸處的最小截面面積為A1，則斷面收縮率為（2-8）Q235鋼的斷面收縮率ψ≈60%。應當指出，材料的塑性和脆性并不是固定不變的，它們會因制造工藝、變形速度、應力狀態(tài)和溫度等條件而變化。2.3.5其他材料拉伸時的力學性能

圖2-16所示為30鉻錳硅鋼、50鋼、硬鋁等金屬材料的應力-應變曲線?？梢钥闯觯鼈償嗔褧r均具有較大的殘余變形，屬于塑性材料。不同的是，有些材料不存在明顯的屈服階段。圖2-16對于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產生數值為0.2%的殘余應變所對應的應力作為屈服應力，稱為名義屈服極限，并用σ0.2表示。如圖2-17所示，在橫坐標ε軸上取OC=0.2%，自C點作直線平行于OA，并與應力-應變曲線相交于D，D點對應的正應力即為材料的名義屈服極限σ0.2。

至于脆性材料，例如鑄鐵，從開始受力直至斷裂，變形始終很小，既不存在屈服階段，也無頸縮現象。圖2-18所示為鑄鐵拉伸時的應力-應變曲線，斷裂時的應變僅為0.4%～0.5%，斷口垂直于試樣軸線，即斷裂發(fā)生在最大拉應力作用面，斷口表面呈粗糙顆粒狀。由于鑄鐵的σ-ε曲線沒有明顯的直線部分，彈性模量E的數值隨應力的大小而變。但在工程中鑄鐵承受的拉應力不能很高，在較低拉應力下，可近似地認為服從胡克定律，取σ-ε曲線的割線代替曲線的開始部分，并以割線的斜率作為其彈性模量。圖2-17圖2-182.3.6復合材料與高分子材料的拉伸力學性能

近年來，復合材料得到廣泛應用。復合材料具有強度高、剛度大與密度小的特點。碳/環(huán)氧（即碳纖維增強環(huán)氧樹脂基體）是一種常用復合材料，圖2-19所示為某種碳/環(huán)氧復合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應力-應變曲線?？梢钥闯?，材料的力學性能隨加力方向變化，即并非完全各向同性，而且斷裂時殘余變形很小。其他復合材料亦具有類似特點。圖2-19高分子材料也是一種常用的工程材料，圖2-20所示為幾種典型高分子材料拉伸時的應力-應變曲線。有些高分子材料在變形很小時即發(fā)生斷裂，屬于脆性材料；有些高分子材料的延伸率甚至高達500%～600%。高分子材料的一個顯著特點是，隨著溫度升高，不僅應力-應變曲線發(fā)生很大變化，而且，材料經歷了由脆性、塑性到粘彈性的轉變。所謂粘彈性，是指材料的變形不僅與應力的大小有關，而且與應力所持續(xù)的時間有關。

圖2-202.3.7材料在壓縮時的力學性能

材料受壓時的力學性能由壓縮試驗測定。一般細長壓桿壓縮時容易產生失穩(wěn)現象，常采用短粗圓柱形試樣。

低碳鋼壓縮時的應力-應變曲線如圖2-21(a)所示，為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時的應力-應變曲線?？梢钥闯?，屈服之前壓縮曲線與拉伸曲線基本重合，壓縮與拉伸時的屈服應力與彈性模量基本相同。不同的是，過了屈服階段后，隨著壓力不斷增大，低碳鋼試樣愈壓愈“扁平”（見圖2-21(b)），因而得不到壓縮強度極限。因為可以從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的力學性能，所以一般不進行低碳鋼壓縮試驗。圖2-21鑄鐵壓縮時的應力-應變曲線如圖2-22(a)所示。壓縮強度極限遠高于拉伸強度極限（約為3～4倍）。其他脆性材料如混凝土與石料等也具有上述特點，所以脆性材料宜作承壓構件。鑄鐵壓縮破壞的形式如圖2-22(b)所示，斷口的方位角約為55°～60°。由于該截面上存在著較大的切應力，所以，鑄鐵壓縮破壞是由最大切應力所引起的。圖2-22表2-1幾種常用材料的主要力學性能材料名稱牌號MpaMpa%普通碳索鋼Q235Q255235255375~500410~55021~2619~24優(yōu)質碳索鋼45553553806006451613低合金鋼16Mn34551021合金鋼40Cr7859809鑄鋼ZG270-50027050018灰鑄鐵HT250250(拉伸)鋁合金LY1227441219表2-1幾種常用材料的主要力學性能2.3.8應力集中

由于結構與使用等方面的需要，許多構件常常帶有溝槽（如螺紋）、油孔和圓角（構件由粗到細的過渡圓角）等。在外力作用下，構件中鄰近溝槽、油孔或圓角的局部范圍內，應力急劇增大。例如，圖2-23(a)所示含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面A-A上的應力分布如圖2-23(b)所示，最大應力σmax顯著超過該截面的平均應力。由于截面急劇變化所引起的應力局部增大現象稱為應力集中。圖2-23應力集中的程度用應力集中因數Ｋ表示，其定義為（2-9）式中：σn

為名義應力；σmax為最大局部應力。名義應力是在不考慮應力集中條件下求得的平均應力。最大局部應力是由試驗或數值計算方法確定的。圖2-24給出了含圓孔與帶圓角板件在軸向受力時的應力集中系數。圖2-24各種材料對應力集中的敏感程度并不相同。對于由脆性材料制成的構件，當由應力集中所形成的最大局部應力σmax到達強度極限時，構件即發(fā)生破壞。因此，在設計脆性材料構件時，應考慮應力集中對桿件承載能力的削弱。但是，像灰口鑄鐵這類材料，其內部的不均勻性與缺陷往往是應力集中的主要因素，而桿件外形改變引起的應力集中成為次要因素，對桿件的承載能力不會帶來明顯的影響。圖2-25對于由塑性材料制成的構件，應力集中對其在靜載荷作用下的強度影響很小。因為當局部最大應力σmax達到屈服應力σs后，該處材料的變形可以繼續(xù)增長而應力卻不再加大。如果繼續(xù)增大載荷，則所增加的載荷將由同一截面的未屈服部分承擔，以致屈服區(qū)不斷擴大（見圖2-25），應力分布逐漸趨于均勻。所以，在研究塑性材料構件的靜強度問題時，通?？梢圆豢紤]應力集中的影響。

然而，對于周期性變化的應力或沖擊載荷作用下的構件，應力集中對各種材料的強度都有很大的影響，往往是構件破壞的根源。這一問題將在第10章中討論。所以，在工程設計中，要特別注意減小構件的應力集中。

2.4拉壓桿的強度計算

2.4.1失效與許用應力

材料的拉伸壓縮試驗表明，當正應力達到強度極限σb時，會引起斷裂；對于塑性材料，在斷裂之前，當正應力達到屈服極限σs時，將產生屈服（顯著塑性變形）。構件工作時發(fā)生斷裂是不允許的，發(fā)生屈服一般也是不允許的，因為出現塑性變形后，構件的形狀尺寸發(fā)生了變化，已經不能正常工作。所以，從強度方面考慮，斷裂是構件破壞或失效的一種形式，屈服是構件破壞或失效的另一種形式。除強度失效外，構件還有剛度失效、穩(wěn)定性失效、疲勞破壞等等。本節(jié)主要討論拉壓桿的強度失效問題，其他形式的失效將于以后介紹。通常將材料的強度極限與屈服極限統(tǒng)稱為材料的極限應力，用σu表示。對于脆性材料，強度極限為其唯一強度指標，通常以強度極限作為極限應力；對于塑性材料，其屈服應力小于強度極限，通常以屈服應力作為極限應力。

根據分析計算所得構件的應力，稱為工作應力。在理想情況下，為了充分利用材料的強度，似乎可以使構件的工作應力接近于材料的極限應力，但實際上是不可能的，原因如下：

(1）作用在構件上的外力常常估計不準確。

(2）構件的外形與所受外力往往比較復雜，進行分析計算常常需要進行一些簡化。因此，計算所得應力（即工作應力）與實際應力有一定的差別。

（3）實際材料的組成與品質難免存在差異，不能保證構件所用材料與標準試樣具有完全相同的力學性能，更何況由標準試樣測得的力學性能，本身也帶有一定的分散性，這種差別在脆性材料中尤為顯著。

所有這些不確定因素，都有可能使構件的實際工作條件比設想的要偏于不安全的一面。

（4）為了確保安全，構件還應具有適當的強度儲備，特別是對于因破壞將帶來嚴重后果的構件，更應該給予較大的強度儲備。

由此可見，構件工作應力的最大容許值，必須低于材料的極限應力。對于由確定材料制成的具體構件，工作應力的最大容許值，稱為許用應力，并用［σ］表示。許用應力與極限應力的關系為式中，n為大于1的因數，稱為安全因數。如上所述，安全因數是由多種因素決定的。各種材料在不同工作條件下的安全因數或許用應力，可從有關規(guī)范或設計手冊中查到。在一般靜強度計算中，對于塑性材料，按屈服應力所規(guī)定的安全因數ns通常取為1.5～2.2；對于脆性材料，按強度極限所規(guī)定的安全因數nb通常取為3.0～5.0，甚至更大。2.4.2強度條件

根據以上分析，為了保證拉壓桿在工作時不因強度不夠而破壞，桿內的最大工作應力σmax不得超過材料的許用應力［σ］，即要求（2-11）上述判據稱為拉壓桿的強度條件或強度設計準則。對于等截面拉壓桿，上式可寫為（2-12）

利用上述條件，可以解決以下三類強度問題：

(1）強度校核。當已知拉壓桿的截面尺寸、許用應力和所受外力時，通過比較工作應力與許用應力的大小，以判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。

(2）設計截面。如果已知拉壓桿所受外力和許用應力，根據強度條件可以確定該桿所需橫截面的面積，進而設計構件橫截面各部分的尺寸。例如對于等截面拉壓桿，其所需橫截面的面積為（2-1３）(3）確定承載能力。如果已知拉壓桿的截面尺寸和許用應力，根據強度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為（2-14）根據桿件所承受的最大軸力，進而確定結構所能承受的最大載荷，即許可載荷。

需要指出的是，如果工作應力σmax超過了許用應力［σ］，但只要超過量（即σmax與［σ］之差）不大，不超過許用應力的5%，在工程計算中仍然是允許的。

例2-4圖2-26所示空心圓截面桿，外徑D＝20mm，內徑d＝15mm，承受軸向載荷F=20kN，材料的屈服應力σs＝235MPa，安全系數ns＝1.5。試校核桿的強度

解

桿件橫截面上的正應力為。材料的許用應力為可見，工作應力小于許用應力，說明桿件能夠安全工作。圖2-26

例2-5

圖2-27所示起重機的起重鏈條由圓鋼制成，承受的最大拉力為F=15kN。已知圓鋼材料為Q235鋼，考慮到起重時鏈條可能承受沖擊載荷，取許用應力［σ］=40MPa。若只考慮鏈環(huán)兩邊所受的拉力，試確定圓鋼的直徑d。

解

利用截面法，可以求得鏈環(huán)每邊截面上的軸力為所需圓環(huán)的橫截面面積由此可得鏈環(huán)的圓鋼直徑為故可選用d=16mm的標準鏈環(huán)圓鋼。圖2-27

例2-6圖2-28(a)所示為簡易旋臂式吊車，斜拉桿由兩根50×50×5的等邊角鋼所組成，水平桿由兩根10號槽鋼組成。材料都是Q235鋼，許用應力［σ］=120MPa。整個三角架可繞O1O1軸轉動，電動葫蘆可沿水平桿移動。當電葫蘆在圖示位置時，求最大起吊重量F（包括電葫蘆自重）。兩桿自重略去不計。

解(1）受力分析。AB、AC兩桿的兩端均可簡化為鉸鏈連接，故吊車的計算簡圖如圖2-28(b)所示。取節(jié)點A為研究對象，其受力圖如圖2-28(c)所示。設AC桿受拉力FN1，AB桿受壓力FN2。由平面匯交力系的平衡條件圖2-28(a)(b)

（2）

計算最大軸力。由附錄B中的型鋼表查得斜桿AC橫截面面積A1=2×4.8×10-4m2。斜桿允許承擔的最大軸力為對于水平桿AB，查得A2=2×12.74×10-4m2。水平桿允許承擔的最大軸力為

（3）確定承載能力。將［FN1］代入式(a），得到按斜桿強度計算的吊車許用載荷［F1］:將［FN2］代入式（b），得到按水平桿強度計算的吊車許用載荷［F2］：為保證整個吊車的安全，取上述兩個許用載荷中之較小者。故最大起吊重量為 2.5拉壓桿的變形計算

2.5.1拉壓桿的軸向變形與胡克定律

設桿件的原長為l（見圖2-29），橫截面積為A，在軸向拉力F的作用下，桿長變?yōu)閘1，則桿件橫截面上的正應力為(a)而其軸向變形為(b)由于拉壓桿軸向應變是均勻的，因而其軸向線應變?yōu)?c)圖2-29根據胡克定律，在比例極限內，線應變與正應力成正比，即(2-15)將式（a）與式（c）代入式(2-14)，可得（2-16）上述關系式仍稱為胡克定律。它表明：在比例極限內，桿的軸向變形Δl與軸力FN及桿長l成正比，與乘積EA成反比。乘積EA稱為桿截面的抗拉(壓)剛度。顯然，在一定軸向載荷作用下，抗拉剛度愈大，桿的軸向變形愈小。由式（2-16）可知，軸向變形Δl與軸力FN具有相同的正負符號，即伸長為正，縮短為負。2.5.2拉壓桿的橫向變形與泊松比

如圖2-29所示，設桿件的原寬度為b，受力后，桿件寬度變?yōu)閎1，所以，桿的橫向變形為而橫向線應變則為(2-17)

試驗表明，軸向拉伸時，桿軸向尺寸伸長，其橫向尺寸減??；軸向壓縮時，桿沿軸線縮短，其橫向尺寸增大。橫向線應變ε′與軸向線應變ε恒為異號。試驗還表明，在比例極限內，橫向線應變與軸向線應變成正比。

設將橫向線應變與軸向線應變之比的絕對值用μ表示，則由上述試驗可知或（2-18）比例系數μ稱為泊松比。在比例極限內，μ是一個常數，其值隨材料而異，由試驗測定。對絕大多數各向同性材料，0<μ<0.5。

彈性模量E與泊松比μ都是材料的彈性常數。對于各向同性材料，E和μ之值均與方向無關。幾種常用材料的E和μ值如表2-2所示。表2-2常見材料的彈性模量與泊松比彈性常數鋼與合金鋼鋁合金銅鑄鐵木（順紋）200～22070～72100～12080～1608～120.25～0.300.26～0.340.33～0.350.23～0.27—

例2-7圖2-30所示連接螺栓，連接部分的長度l=600mm，直徑d=100mm，擰緊螺母時連接部分的伸長變形Δl=0.30mm，螺栓用鋼制成，其彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.30。試計算螺栓橫截面上的正應力、螺栓的預緊力及橫向變形。

解

螺栓的軸向線應變?yōu)楦鶕硕?，得螺栓橫截面上的正應力為螺栓的預緊力為由式（2-17）知，螺栓的橫向線應變?yōu)橛纱说寐菟ǖ臋M向變形為即螺栓直徑縮小0.015mm。圖2-30

例2-8圖2-31所示桁架由桿1和2組成，并在節(jié)點A承受集中載荷F作用。桿1用鋼桿制成，彈性模量E1=200GPa，橫截面積A1=100mm2，桿長l1=1m；桿2用硬鋁管制成，彈性模量E2=70GPa，橫截面積A2=250mm2；載荷F=10kN。求節(jié)點A的位移。

解

首先，根據節(jié)點A的平衡條件，求得桿1和桿2的軸力分別為（拉伸）(壓縮)

設桿1的伸長為Δl1，并用AA1表示；桿2的縮短為Δl2，并用AA2表示，則由胡克定律可知：加載前，桿1與桿2在節(jié)點A相連，受力后，各桿的長度雖然改變，但仍然相交于一點。因此，為了確定節(jié)點A位移后的新位置，分別以B、C為圓心，BA1、CA2為半徑畫圓，其交點A′即為節(jié)點A的新位置（見圖2-31(a)）。通常桿的變形均很小，上述圓弧線可近似地用其切線代替。于是，過A1與A2分別作BA1與CA2的垂線（見圖2-31(b)），其交點A3可視為節(jié)點A的新位置。這種確定桁架節(jié)點位移的方法稱為威里沃特圖解法。

按此方法，得節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為與結構原尺寸相比為很小的變形，稱為小變形。在小變形條件下，通常即可按結構原有幾何形狀與尺寸計算約束力與內力，并可采用上述以切線代替圓弧的方法確定位移。因此，小變形是一個十分重要的概念，利用此條件，可使許多問題的分析計算大為簡化。圖2-312.5.3軸向拉壓時的應變能

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷在相應位移上做功。與此同時，彈性體因變形具有做功的能力，即具有能量。當外力逐漸減小時，變形逐漸消失，彈性體又將釋放出儲存的能量而做功。如機械鐘表的發(fā)條被擰緊而產生變形，發(fā)條內儲存能量；隨后發(fā)條在放松的過程中釋放能量，帶動齒輪系使指針轉動。彈性體因變形而儲存的能量，稱為應變能，并用Vε表示。根據功能原理，如果載荷是由零逐漸、緩慢地增加，以致在加載過程中彈性體的動能與熱能的變化均可忽略不計，則貯存在彈性體內的應變能Vε等于外力所做之功W，即

圖2-32(a)所示桿件承受軸向載荷作用。載荷f由零逐漸增加，最后達到最大值F；載荷f的相應位移δ也隨之增長，最后達到最大值Δl。在線彈性范圍內，載荷f與位移δ成線性關系，其關系如圖2-32(b)所示。在加載過程中，載荷所做之總功，數值上等于圖示三角形OAB的面積，即圖2-32對于兩端承受軸向載荷F作用下的等截面直桿，FN=F，其軸向變形為故由式（d）、（e）、（f）可知，拉壓桿的變形能為（f）

彈性體單位體積內存儲的應變能稱為應變能密度，并用νε表示。因為拉壓桿各部分的受力與變形是均勻的，桿的每一單位體積貯存的變形能應相同，所以其應變能密度為（2-20）

例2-9試用能量法求例2-8桁架節(jié)點

的豎直位移Δy。

解根據功能原理，載荷

所作之功等于桁架各桿貯存的應變能。即將

代入上式，得≈1.404×10-3m其結果與位移圖解法所得結果相同。 2.6簡單拉壓靜不定問題

2.6.1靜不定問題分析

在前面討論的問題中，桿件的約束力與軸力都可由靜平衡方程完全確定，這類問題稱為靜定問題。在有些情況下，桿件的約束力與軸力并不能全由靜平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。在靜定問題中，未知力的數目等于獨立靜平衡方程的數目，所有未知力具有確定的解；在靜不定問題中，未知力的數目多于獨立靜平衡方程的數目，即存在所謂的多余約束，未知力的解不完全確定。未知力數目與獨立靜平衡方程數目之差稱為靜不定次數。在工程中，靜不定結構得到廣泛應用。多余約束使結構由靜定變?yōu)殪o不定，問題由靜力學可解變?yōu)殪o力學不可解，這只是問題的一方面。問題的另一方面是，多余約束對結構的變形有著限制作用，而變形與力又緊密相關，這就為求解靜不定問題提供了補充條件。求解靜不定問題需從靜平衡、力與變形之間的關系及變形協(xié)調三個方面綜合考慮。下面具體說明靜不定問題分析求解的方法以及靜不定結構的特性。

圖2-33(a)為一簡單桁架。1、2桿各截面具有相同的抗拉剛度，均為E1A1，桿3各截面的抗拉剛度為E3A3，桿1與桿3的長度分別為l1與l3，α、F均為已知，試求各桿的軸力。

取節(jié)點A為研究對象。在載荷F作用下，各桿均伸長，故可設各桿均受拉，節(jié)點A的受力如圖2-33(b)所示，其獨立平衡方程為（a）（b）圖2-33

這里存在三個未知力，但是只有兩個獨立平衡方程，故為一靜不定問題。

桁架三根桿原交于一點A，變形后它們仍交于一點，此外，由于桿1與桿2的受力及抗拉剛度均相同，節(jié)點A應沿鉛垂方向下移，由A移動到A′，桁架的變形如圖2-33(c)所示?？梢?，為保證三桿變形后仍交于一點，即保證結構的連續(xù)性，桿1、桿2的變形Δl1、Δl2與桿3的變形Δl3之間應滿足如下關系:保證結構連續(xù)性所滿足的變形幾何關系，稱為變形協(xié)調條件，該條件用數學方程寫出來稱之為變形協(xié)調方程。變形協(xié)調條件即為求解靜不定問題的補充條件。(c)設三桿的變形均處于線彈性范圍，則由胡克定律可知，各桿的變形與軸力間的關系分別為(d)(e)表示變形與軸力的關系式稱為物理方程。將式（d）、（e）代入式（c），得到用軸力表示的變形協(xié)調方程即補充方程(f)最后，聯(lián)立求解方程（a）、（b）、（f），得(g)(h)所得結果均為正，說明各桿軸力均為拉力的假設是正確的。

由式（g）、（h）可以看出，各桿的軸力不僅與載荷F及桿間夾角α有關，而且與桿的抗拉剛度有關。一般來說，增大某桿剛度，該桿的軸力亦相應增大。實際上，這也正是靜不定問題區(qū)別于靜定問題的一個重要特征。

綜上所述，求解靜不定問題必須考慮以下三個方面：滿足靜平衡方程；滿足變形協(xié)調條件；符合力與變形之間的物理關系。概而言之，即應綜合考慮靜力學、幾何與物理三方面。

例2-10圖2-34所示結構，梁BD可視為剛體，載荷F=50kN，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，許用拉應力［σt］=160MPa，許用壓應力［σc］=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。

解(1)問題分析。剛性梁BD在B處受固定鉸鏈支座約束，如果再受桿1或桿2中某一個二力桿件約束，結構就是一個平面靜定結構；但是該結構是在桿1與桿2共同約束下，顯然存在著多余約束，屬于靜不定結構。

在載荷F作用下，剛性梁BD將繞B點沿順時針方向作微小轉動（如圖2-34(a)之虛線所示），桿1伸長，桿2縮短。與此相應，桿1受拉，桿2受壓，其受力如圖2-34(b)所示，未知約束力共有4個，平面任意力系的獨立平衡方程只有3個，故為一靜不定問題。圖2-34(2)建立平衡方程。因為本例只需求出軸力FN1與FN2，建立平衡方程（a）另外兩個包括未知力FBx、FBy的平衡方程不必一一列出。(3)建立補充方程。由變形關系圖2-34(a)，可寫出變形協(xié)調方程為（b）根據胡克定律，得物理方程（c）（d）將式（c）、（d）代入式（b），得補充方程為（e）(4)軸力計算與截面設計。聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（e），得

根據拉壓桿的強度條件，得桿1與桿2所需之橫截面面積分別為但是，由于該結構的軸力是在A1=A2的條件下求得的，如果桿1與桿2取不同的面積，軸力將隨之改變。因此，應取(5)討論。

求解靜不定問題，在畫變形圖與受力圖時，應該使受力圖中的拉力或壓力，分別與初步分析的變形圖中的伸長與縮短一一對應，這樣，建立物理方程時，僅需考慮絕對值即可。最后求得的軸力為正，說明對結構的變形與受力分析符合實際；否則，與之對應的變形及受力與初步分析的方向相反。2.6.2熱應力與預應力

靜不定問題的另一重要特征是，溫度的變化以及制造誤差也會在靜不定結構中產生應力，這些應力分別稱為熱應力（溫度應力）與預應力（初應力、裝配應力）。

靜不定結構中的熱應力是由于熱膨脹（或收縮）受到約束而引起的。設桿件的原長為l，材料的線膨脹系數為αl，則當溫度改變ΔT時，桿長的改變量為（2-21）

對于圖2-35所示的兩端固定桿，由于溫度變形被固定端所限制，桿內即引起熱應力。圖2-35為了分析該桿的熱應力，假想地將B端的約束解除，以支反力FR代替其作用，桿的軸向變形包括由溫度引起的變形和約束力引起的變形兩部分，即由于桿的總長不變，因而有由此求得桿內橫截面上的正應力即熱應力為

不難看出，當溫升較大時，熱應力的數值相當可觀，不可忽視。例如，對于鋼管，E=200GPa，αl=1.25×10-5/℃，ΔT=40℃時，桿內的熱應力σT=100MPa。為了避免出現過高的熱應力，蒸汽管道中有時設置伸縮節(jié)（見圖2-36），鋼軌在兩段接頭之間預留一定量的縫隙等等，以削弱熱膨脹所受的限制，降低溫度應力。圖2-36在加工制造構件時，尺寸上的一些微小誤差難以避免。對于靜定結構，加工誤差只不過是造成結構幾何形狀的微小變化，不會引起內力。但對靜不定結構，加工誤差卻往往要引起內力。例如圖2-33所示桁架，若桿3比設計長度短Δ，裝配時為了將三根桿下端聯(lián)結于一點，必須使桿3拉長，使桿1、2縮短。桿系經裝配后，桿3內便產生拉應力，而桿1、2內便產生壓應力。這種由于加工誤差而在裝配時產生的應力稱為裝配應力。裝配應力是在載荷作用以前已經具有的應力，因而是一種初應力、預應力。工程實際中，常利用預應力進行某些構件的裝配（例如將輪圈套裝在輪轂上），或提高某些構件的承載能力（例如預應力混凝土構件）。 2.7連接件的強度計算

2.7.1剪切與剪切強度條件

如圖2-37所示，當作為連接件的銷釘兩側承受一對大小相等、方向相反、作用線互相平行且相距很近的力作用時，其主要失效形式之一是沿兩側外力之間、并與外力作用線平行的橫截面發(fā)生剪切破壞。發(fā)生剪切破壞的橫截面稱為剪切面。剪切面上的內力既有剪力FS，又有彎矩，但彎矩很小，可以忽略。利用截面法和靜力平衡方程不難求得剪切面上的剪力。例如，由圖2-37(c)可得

剪切面上的實際應力分布很復雜，切應力也非均勻分布。在實用計算中，