《材料力學(xué)》課件第6章

第6章彎曲變形6.1引言6.2確定梁位移的積分法6.3確定梁位移的疊加法6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)6.5簡(jiǎn)單靜不定梁6.1引言

1.工程中的彎曲變形問(wèn)題工程中的很多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作時(shí)，對(duì)于彎曲變形都有一定的要求。一類(lèi)是要求構(gòu)件的位移不得超過(guò)一定的數(shù)值。例如行車(chē)大梁在起吊重物時(shí)，若其彎曲變形過(guò)大，則小車(chē)行駛時(shí)就要發(fā)生振動(dòng)；若傳動(dòng)軸的彎曲變形過(guò)大，不僅會(huì)使齒輪不能很好地嚙合，還會(huì)使軸頸與軸承產(chǎn)生不均勻的磨損；輸送管道的彎曲變形過(guò)大，會(huì)影響管道內(nèi)物料的正常輸送，還會(huì)出現(xiàn)積液、沉淀和法蘭聯(lián)結(jié)不密等現(xiàn)象；造紙機(jī)上的軋輥，若彎曲變形過(guò)大，生產(chǎn)出來(lái)的紙張就會(huì)厚薄不均，成為廢品。另一類(lèi)是要求構(gòu)件能產(chǎn)生足量的變形。例如車(chē)輛鋼板彈簧，變形大可減緩車(chē)輛所受到的沖擊；又如繼電器中的簧片，為了有效地接通和斷開(kāi)電源，在電磁力作用下必須保證觸點(diǎn)處有足夠大的位移。

2.撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系

在平面彎曲中，梁變形后的軸線(xiàn)是位于縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的一條連續(xù)光滑的平面曲線(xiàn)，稱(chēng)為梁的撓曲線(xiàn)，如圖6－1所示。圖6－1通常情況下，剪力對(duì)彎曲變形的影響可忽略不計(jì)。因此，即使是橫力彎曲，梁的橫截面在變形時(shí)仍保持為平面，且垂直于梁的撓曲線(xiàn)，“剛性”地繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)某一角度。由此可見(jiàn)，梁的變形可用橫截面形心的位移及截面的角位移來(lái)描述。

選取x－w平面坐標(biāo)系。x軸沿梁變形前的軸線(xiàn)，向右為正，表示梁橫截面的位置；w軸沿垂直于梁軸線(xiàn)的方向，向上為正，表示梁橫截面形心的橫向位移。橫截面的形心沿w軸方向的線(xiàn)位移稱(chēng)為撓度，用w表示。不同橫截面的撓度一般不同，撓度是坐標(biāo)位置的函數(shù)，可表示為上式稱(chēng)為撓度方程。彎曲變形時(shí)，軸線(xiàn)位于中性層上，梁軸的長(zhǎng)度保持不變，因此橫截面的形心沿梁軸方向也存在位移，但在小變形條件下，橫截面形心的軸向位移是二階微量，遠(yuǎn)小于其橫向位移，可忽略不計(jì)。所以撓度方程也稱(chēng)為梁的撓曲線(xiàn)方程（或撓曲軸方程）。

橫截面的角位移稱(chēng)為轉(zhuǎn)角，用θ表示。橫截面的轉(zhuǎn)角θ等于撓曲線(xiàn)在該截面處的切線(xiàn)與x軸的夾角，如圖6－1所示。撓度的正負(fù)規(guī)定為向上為正、向下為負(fù)；轉(zhuǎn)角的正負(fù)規(guī)定為逆時(shí)針為正、順時(shí)針為負(fù)。工程中，梁的轉(zhuǎn)角一般都很小，例如不超過(guò)1°（0.075rad），由圖示幾何關(guān)系可得（6－1）即在小變形情形下，梁的撓度對(duì)坐標(biāo)位置的一階導(dǎo)數(shù)等于轉(zhuǎn)角。 6.2確定梁位移的積分法

6.2.1撓曲線(xiàn)微分方程

由上一章知，用曲率表示的彎曲變形公式（5－1）為這一公式是在純彎曲情況下得到的，若忽略剪力對(duì)梁變形的影響，則此式也可用于一般橫力彎曲，由于梁軸上各點(diǎn)的曲率和彎矩均是橫截面位置x的函數(shù)，因而上式可寫(xiě)為（a）由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，平面曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的曲率為（b）將式（b）代入式（a）可得（c）式(c)稱(chēng)為撓曲線(xiàn)微分方程，是一個(gè)二階非線(xiàn)性常微分方程。在小變形情形下，轉(zhuǎn)角θ=(dw/dx)1，為一階微量，(dw/dx)2為高階微量,略去不計(jì)。式（c）可簡(jiǎn)化為（d）（6－2）式(6－2)稱(chēng)為梁撓曲線(xiàn)的近似微分方程。根據(jù)這個(gè)近似微分方程所得的解，在工程中，已足夠精確。對(duì)于等截面梁，抗彎剛度EI為常量，式(6－2)可改寫(xiě)為（6－3）圖6－26.2.2積分法求梁的變形

對(duì)式（6－3）積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為（6－4）再積分一次，得撓曲線(xiàn)方程為（6－5）式中C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和撓曲線(xiàn)的連續(xù)光滑條件來(lái)確定。例如，在固定端處，橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即w=0,

θ=0在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即w=0中間鉸鏈左右兩側(cè)截面的撓度相等，滿(mǎn)足連續(xù)條件，即梁橫截面的已知位移條件或約束條件，稱(chēng)為梁位移的邊界條件。當(dāng)彎矩方程需要分段建立時(shí)，各段梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程也將不同，但在相鄰梁段的交接處，左右兩鄰面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)光滑條件,稱(chēng)為梁位移的連續(xù)光滑條件,可表示為一般來(lái)說(shuō)，積分常數(shù)可由位移邊界條件和連續(xù)光滑條件共同確定。當(dāng)積分常數(shù)確定后，將其代入式（6－4）和式（6－5），即得梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程。這種通過(guò)兩次積分確定梁位移的方法稱(chēng)為積分法。

例6－1有一支承管道的懸臂梁AB（見(jiàn)圖6－3）。管道的重量為W，梁長(zhǎng)為l，抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。圖6－3

解選取坐標(biāo)系如圖6－3所示。距梁左端為x處截面的彎矩為代入式（6－3），得撓曲線(xiàn)的近似微分方程為（a）將式（a）積分一次，得（b）再積分一次，得（c）確定積分常數(shù)C和D的邊界條件為：在固定端截面處，撓度和轉(zhuǎn)角均為零。即將（b）、(c)兩式代入，得將所得積分常數(shù)代入（b）、(c)兩式，得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為顯然在自由端處轉(zhuǎn)角與撓度最大，即當(dāng)x=l時(shí)，得式中轉(zhuǎn)角為負(fù)值，表示梁變形時(shí)B橫截面繞中性軸按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；撓度為負(fù)，表明B截面形心向下移動(dòng)。

例6－2

簡(jiǎn)支梁AB受力如圖6－4所示（圖中a>b），梁的抗彎剛度EI為常量，求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程，并確定最大撓度值。圖6－4

解（1）求約束力。建立坐標(biāo)系如圖所示,求得約束力為方向均豎直向上。（2）寫(xiě)出彎矩方程。由于集中力加在兩支座之間，彎矩方程在AC、BC兩段各不相同。

AC段:CB段:（3）分段建立梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程。寫(xiě)出撓曲線(xiàn)的近似微分方程分別為

AC段:CB段:（4）積分法求變形。分別積分兩次，可得

AC段:CB段(a)(b)(c)(d)

確定上述四個(gè)積分常數(shù)需要四個(gè)條件。支座A、B兩處的邊界條件為由連續(xù)光滑條件可知，在AC和CB段的分段點(diǎn)C處（x=a），左右兩鄰面的撓度和轉(zhuǎn)角必相等，即利用式（e）和式（f），即可解得于是，求得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為(e)(f)AC段:CB段:(g)（h）（i）（j）（5）求梁的最大轉(zhuǎn)角與最大撓度。

將x=0代入式（g）可得梁左端面的轉(zhuǎn)角為將x=l代入式（i）可得梁右端面的轉(zhuǎn)角為若 ，則梁右端面轉(zhuǎn)角絕對(duì)值最大，即：

簡(jiǎn)支梁的最大撓度應(yīng)在處，先分析AC段梁，由撓度的一階導(dǎo)數(shù)為零可解得當(dāng)a>b時(shí)，此值小于a，因而最大撓度確實(shí)在AC段內(nèi)，代入式（g）得(↓)若，即集中力作用在跨度中點(diǎn)，則梁中點(diǎn)處的撓度最大為(↓) 6.3確定梁位移的疊加法表6－1

用疊加法求梁的位移時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：一是正確理解梁的變形與位移之間的區(qū)別和聯(lián)系，位移是由變形引起的，但沒(méi)有變形不一定沒(méi)有位移；二是正確理解和應(yīng)用變形連續(xù)]條件，即在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，梁的撓曲線(xiàn)是一條連續(xù)光滑的曲線(xiàn)。下面舉例說(shuō)明疊加法的應(yīng)用。例6－3

某橋式起重機(jī)力學(xué)模型如圖6－5（a）所示，橫梁自重可視為均布載荷，集度為q，作用于跨度中點(diǎn)的載荷為F＝ql，梁的抗彎剛度為EI，試求B點(diǎn)處截面的轉(zhuǎn)角θB及C點(diǎn)處的撓度wC。圖6－5

解用疊加法求解此題。

將載荷分解為中點(diǎn)作用集中力、全梁作用均布載荷的簡(jiǎn)支梁兩種情況，查表6－1可得由集中力F引起的C處的撓度wCF和B處的轉(zhuǎn)角θBF分別為由均布載荷q引起的C處的撓度wCq和B處的轉(zhuǎn)角θBq分別為所以B截面處的轉(zhuǎn)角和C截面處的撓度分別為例6－4

圖6－6所示的簡(jiǎn)支梁受半跨度均布載荷作用，梁的抗彎剛度為EI。試求梁中點(diǎn)C處的撓度wC。圖6－6

解本題可用兩種方法求解。

解法一：均布載荷可視為作用在梁軸上的無(wú)數(shù)微小集中載荷。由表6－1（7）可知，在距梁左端為x(l/2<x<l)處的微小載荷qdx作用下（見(jiàn)圖6－6(b)），簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度為所以半跨度均布載荷在簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處所引起的撓度為

解法二：將圖6－6(a)所示的梁上載荷分解為作用在整個(gè)梁上向下的均布載荷q（見(jiàn)圖6－6(c)）和左半跨度上的均布載荷q（見(jiàn)圖6－6(d)）。由表6－1（8）可查出，圖6－1(c)所示載荷作用下，梁中點(diǎn)的撓度為

由對(duì)稱(chēng)性可知，在圖9-6d所示的半跨度均布載荷作用下，簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的撓度與所要求的大小相等，方向相反，即

由疊加法可知，梁中點(diǎn)C的撓度為所以有圖6－7

例6－5

圖6－7(a)所示的組合梁由梁AB與梁BC用鉸鏈連接而成。在梁AB上作用有均布載荷q，梁BC的中點(diǎn)作用有集中力F＝qa。試求截面B的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)兩段梁的抗彎剛度均為EI。

解梁AB與梁BC的受力分別如圖6－7(b)所示。由靜平衡條件可求得支座A及中間鉸鏈B處的約束力分別為分析懸臂梁BC，查表6－1（1)、(2）可得變形后撓曲線(xiàn)的大致形狀如圖6－7(c)中細(xì)實(shí)線(xiàn)所示。截面A的轉(zhuǎn)角等于因中間鉸鏈B處撓度所引起的截面A的轉(zhuǎn)角與均布載荷作用于簡(jiǎn)支梁AB所引起截面A的轉(zhuǎn)角的代數(shù)和，即 6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)

1.梁的剛度條件

在機(jī)械設(shè)備及工程結(jié)構(gòu)中，許多梁除應(yīng)滿(mǎn)足彎曲強(qiáng)度條件外，還應(yīng)具備必要的剛度。在工程中應(yīng)對(duì)許多梁的撓度加以限制，對(duì)于某些梁（如傳動(dòng)軸），還需要對(duì)其轉(zhuǎn)角加以限制。

若許用撓度用［δ］表示，許用轉(zhuǎn)角用［θ］表示，梁的剛度條件可表示為（6－6）（6－7）

式中wmax與θmax均取絕對(duì)值。剛度條件要求梁在工作時(shí)其最大撓度與最大轉(zhuǎn)角分別不超過(guò)各自的許用值。而在有些情況下，還會(huì)限制某些特定截面的撓度、轉(zhuǎn)角不超過(guò)其許用值。

許用撓度與許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值由梁的工作條件決定。例如對(duì)跨度為l的橋式起重機(jī)梁，其許用撓度為對(duì)于跨度為l一般用途的軸，其許用撓度為跨度為l的架空管道的許用撓度為對(duì)于高度為h的一般塔器的許用撓度為在安裝齒輪或滑動(dòng)軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角則為至于其他梁或軸的許用位移值，可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊(cè)中查得。

例6－6一簡(jiǎn)支梁由單根工字鋼制成，跨度中點(diǎn)承受集中載荷F，已知F＝35kN，跨度l＝3m，許用應(yīng)力［σ］＝160MPa，許用撓度［δ］＝l／500，彈性模量E＝200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。

解（1）強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

梁的最大彎矩為根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，可得

查型鋼表得，18號(hào)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz=1.85×105mm3,滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。（2）剛度校核。

查型鋼表得，18號(hào)工字鋼對(duì)中性軸的慣性矩為Iz=1.66×107mm4，最大撓度在梁跨度的中點(diǎn)，它的數(shù)值為梁的許可撓度［δ］=l/500=6mm。所以wmax<［δ］滿(mǎn)足剛度條件。大多數(shù)構(gòu)件的設(shè)計(jì)過(guò)程都是先進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)或工藝結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，確定截面的形狀和尺寸，然后再進(jìn)行剛度校核。

2.提高彎曲剛度的措施

梁的撓度和轉(zhuǎn)角不僅與受力有關(guān)，而且與梁的抗彎剛度、跨度以及約束條件有關(guān)。據(jù)此，在梁的設(shè)計(jì)中可采取以下主要措施提高梁的剛度以減小其變形：增大梁截面的慣性矩；盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度；增加支承；改善梁的受力情況等。

(1)提高梁的抗彎剛度EI。

各種鋼材的彈性模量E的數(shù)值相差不大，故采用高強(qiáng)度優(yōu)質(zhì)鋼來(lái)提高彎曲剛度的做法是不可取的。增大截面慣性矩I是提高抗彎剛度的主要途徑。與梁的強(qiáng)度問(wèn)題一樣，可選用槽形、工字形、框形及空心圓等合理的截面形狀。

(2)改善梁的載荷。

改善梁上載荷的作用位置、方向及作用形式，降低梁上的彎矩，可提高梁的彎曲剛度。這與提高梁的強(qiáng)度措施一致。

(3)減小梁的跨度或合理增加梁的支承。

因?yàn)榱旱膿隙扰c跨度的三次方（集中載荷）或四次方（分布載荷）成正比，隨著梁的跨度的增加，梁的撓度迅速增大。在集中載荷作用下，簡(jiǎn)支梁的跨度若加長(zhǎng)20％，則最大撓度相應(yīng)增加48.8％。所以降低梁的跨度可明顯提高梁的彎曲剛度。

6.5簡(jiǎn)單靜不定梁

前面所研究的梁均為靜定梁。在工程中，為了提高梁的強(qiáng)度和剛度，或由于結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁增加約束，于是，梁的約束力數(shù)目超過(guò)獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，即成為靜不定梁。

在靜定梁上增加的約束，對(duì)于維持構(gòu)件平衡來(lái)說(shuō)是多余的，因此，習(xí)慣上常把這種約束稱(chēng)為多余約束。與多余約束所對(duì)應(yīng)的支座約束力或約束力偶，統(tǒng)稱(chēng)為多余約束反力。

通常把梁具有的多余約束反力數(shù)目，稱(chēng)為梁的靜不定次數(shù)，靜不定次數(shù)等于約束反力總個(gè)數(shù)減去獨(dú)立靜平衡方程數(shù)。

圖6－8為了求解靜不定梁，除需要列出靜力平衡方程式外，還需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移間的物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程個(gè)數(shù)應(yīng)與靜不定次數(shù)相等，這樣才能解出全部約束力。下面以圖6－9(a)為例，說(shuō)明靜不定梁的求解方法。

該梁具有一個(gè)多余約束，為一次靜不定梁。如以B處支座作為多余約束，則相應(yīng)的多余約束力為FB。

為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得到一個(gè)承受集中力F和未知力FB的靜定懸臂梁AB，如圖6－9(b)所示。多余約束解除后，所得受力與原靜不定梁相同的靜定梁，稱(chēng)為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。圖6－9相當(dāng)系統(tǒng)在載荷F與未知的多余反力FB作用下發(fā)生變形，為了使其變形與原靜不定梁相同，多余約束處的位移必須符合原靜不定梁在該處的約束條件。在本例中，即要求相當(dāng)系統(tǒng)橫截面B的撓度為零，則圖6－9(b)與圖6－9(a)完全吻合。對(duì)于圖6－9(b)，要求其撓度為零的條件稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)條件。必須強(qiáng)調(diào)指出，這一變形協(xié)調(diào)條件是針對(duì)承受給定載荷和未知多余約束力的相當(dāng)系統(tǒng)寫(xiě)出的。

利用疊加法可求圖6－9(b)梁B點(diǎn)的撓度。由F力單獨(dú)作用時(shí)，如圖6－9(c)，B點(diǎn)撓度記為wBF,由FB力單獨(dú)作用時(shí)，如圖6－9(d)，B點(diǎn)撓度記為wBFB，所以變形協(xié)調(diào)條件可寫(xiě)為（a）查表6－1得（b）（c）將式（b）、（c）代入式（a）并求解，可得

FB取正號(hào)，表示實(shí)際FB的方向與圖6－9(b)假設(shè)的方向相同。求出多余反力后，其余約束力即可由靜平衡方程求出。

以上分析表明，求解靜不定梁的關(guān)鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：

（1）根據(jù)約束力與獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)。

（2）解除多余約束，并以相應(yīng)的多余約束力代替其作用，得到原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。

（3）計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程，由此即可求出多余約束力。

例6－7

一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，兩梁在C處的連接方式為鉸鏈連接，如圖6－10(a)所示。試計(jì)算梁AB最大撓度的減少量。假設(shè)二梁橫截面的抗彎剛度均為EI。

解（1）判斷靜不定次數(shù)。

梁AB與梁AC均為靜定梁，但由于在C處用鉸鏈相連增加一約束，因而該結(jié)構(gòu)屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)。

（2）確定相當(dāng)系統(tǒng)。

選