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文檔簡介
2023屆內(nèi)蒙古北方重工第三中學(xué)高三下學(xué)期期末抽測調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.2.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.3.若集合,,則=()A. B. C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸出的時(shí),則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.5.已知雙曲線的一條漸近線方程為,,分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線C上,且,則()A.9 B.5 C.2或9 D.1或56.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)7.從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,且,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.8.a(chǎn)為正實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.19.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.10.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個(gè)正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知函數(shù),則不等式的解集為____________.14.執(zhí)行如圖所示的偽代碼,若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是_______.15.將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時(shí),向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.16.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個(gè)不同平面、,有下列四個(gè)命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號(hào)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,橢圓的長軸長為,點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn),為橢圓的右端點(diǎn),過中心,且,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系,并求證直線的斜率為定值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若對任意的和恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.20.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),且拋物線上點(diǎn)處的切線與圓相切于點(diǎn)(1)當(dāng)直線的方程為時(shí),求拋物線的方程;(2)當(dāng)正數(shù)變化時(shí),記分別為的面積,求的最小值.22.(10分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
判斷,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵,∴.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.2.A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè),由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個(gè),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】試題分析:化簡集合故選C.考點(diǎn):集合的運(yùn)算.4.B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.5.B【解析】
根據(jù)漸近線方程求得,再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于,所以,又且,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程,涉及雙曲線的定義,屬基礎(chǔ)題.6.C【解析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選C.【點(diǎn)睛】考查并集的求法,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程,所以,解得,把點(diǎn)代入拋物線方程可得,,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,代入斜率公式可得,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
,選B.9.C【解析】
設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.10.C【解析】
先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.11.C【解析】分析:先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時(shí),,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí),函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時(shí),滿足題意.當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷^(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來,完成了數(shù)學(xué)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,找到了問題的突破口.12.D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
易知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則是上的偶函數(shù).由于在上單調(diào)遞增,而在上也單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,故知在上單調(diào)遞增.令,知,則不等式可化為,即,可得,又,是偶函數(shù),可得,由在上單調(diào)遞增,可得,則,解得,故不等式的解集為.14.8【解析】
根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入,若,則,不合題意若,則,滿足題意本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語言,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪?,所以有,則.故本題應(yīng)填.16.③④【解析】
由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯(cuò);②若且,則或者,②錯(cuò);③若,設(shè)過的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)利用題中條件先得出的值,然后利用條件,結(jié)合橢圓的對稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值,從而確定橢圓的方程;(2)將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系(互為相反數(shù)),然后設(shè)直線的方程為,將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo),最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.(1),,又是等腰三角形,所以,把點(diǎn)代入橢圓方程,求得,所以橢圓方程為;(2)由題易得直線、斜率均存在,又,所以,設(shè)直線代入橢圓方程,化簡得,其一解為,另一解為,可求,用代入得,,為定值.考點(diǎn):1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.兩點(diǎn)間連線的斜率18.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)首先求得導(dǎo)函數(shù),然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論函數(shù)的單調(diào)性即可;(Ⅱ)將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為,,恒成立,然后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),在上恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由得:;由得:.∴當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,無單調(diào)遞增區(qū)間:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(Ⅱ)對任意的和,恒成立等價(jià)于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,則得,由此可得:在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時(shí),,即又∵,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí),屬于中等題.19.(Ⅰ)(II)【解析】
(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求解.【詳解】(I)由,得,則化簡整理,得;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,此時(shí),從而原點(diǎn)到直線的距離,又,故.再由(I),得,則.又,故,即,從而,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,以及橢圓的簡單性質(zhì),通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解,屬于中檔試題.20.(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(1)x2=4y.(2).【解析】試題解析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求導(dǎo)y′=,因?yàn)橹本€PQ的斜率為1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以拋物線C1的方程為x2=4y.(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程為y=-x根據(jù)切線與圓切,得d=r,即,化簡得x04=4x02+4p2,由方程組,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=點(diǎn)F(0,)到切線PQ的距離是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2
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