第1講 有理數(shù)基礎復習（教師版）-初中數(shù)學6年級自招班

有理數(shù)基礎復習第一講有理數(shù)基礎復習第一講基本要求（1）有理數(shù)的分類，并準確判斷一個數(shù)是哪一類有理數(shù)；（2）了解正數(shù)負數(shù)的實際意義、相反數(shù)、倒數(shù)、負倒數(shù)、絕對值的概念；（3）能熟練進行有理數(shù)的加、減、乘、除及其混合運算；正確性和速度——兩手都要抓，兩手都要硬?、诺呢摰箶?shù)是；的相反數(shù)是.⑵年元旦上海和北京的夜間氣溫分別是和，兩者相差.⑴；⑵⑴.⑵.⑴⑵有理數(shù)的認識有理數(shù)：正數(shù)與負數(shù)正數(shù)：大于的數(shù)叫做正數(shù)，如、、．正數(shù)前面的“”可以省略，與表示是同一個正數(shù)．負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“”的數(shù)叫做負數(shù),負數(shù)小于．如、、．【注意】①數(shù)既不是正數(shù)，也不是負數(shù)．②一個數(shù)前面的“”，“”號叫做它的符號．③用正、負數(shù)表示相反意義的量：比如用正數(shù)表示向南，那么向北可以用負數(shù)表示為．有理數(shù)的定義整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（）,一切有理數(shù)都可以寫成分數(shù)形式.有理數(shù)的分類【注意】①正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)；②負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；③正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)；④負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)．小數(shù)與有理數(shù)數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．【注意】①原點、正方向、單位長度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可．②單位長度和長度單位是兩個不同的概念，前者指所取度量單位的長度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長度是一條人為規(guī)定的代表“”的線段，這條線段可長可短，按實際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長度一旦確定，則不能再改變．有理數(shù)與數(shù)軸的關系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來；注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如；一般地，數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)．數(shù)軸畫法的常見錯誤舉例：錯例原因無原點沒有正方向單位長度不統(tǒng)一沒有單位長度相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．特別地，的相反數(shù)仍是．注意點：相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在．例如：與互為相反數(shù)，而與雖然符號不同，但它們不互為相反數(shù)．實數(shù)的相反數(shù)是，零的相反數(shù)是零；數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點關于原點對稱；如果與互為相反數(shù)，那么，，；如果與互為相反數(shù)，且都不為零，那么．絕對值絕對值的意義代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；的絕對值是．幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離．數(shù)的絕對值記作．求字母的絕對值：①②③絕對值的非負性任何一個有理數(shù)的絕對值不是正數(shù)就是，即絕對值的結(jié)果都是非負的，記作【注意】①去絕對值也是一種運算，運算符號是“”，一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號．②任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：的符號是負號，絕對值是．倒數(shù)倒數(shù)：乘積為的兩個數(shù)互為倒數(shù)．互為倒數(shù)，則；反之亦然．負倒數(shù)：乘積為的兩個數(shù)互為負倒數(shù)．若互為負倒數(shù)，則．反之亦然．【注意】①倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；②互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為；零沒有倒數(shù)；③如果與互為倒數(shù)，那么，，；④如果與互為負倒數(shù)，那么，，；⑤求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可．★☆☆☆☆在下表適當?shù)目崭窭锎蛏稀啊獭碧枺麛?shù)分數(shù)正數(shù)負數(shù)有理數(shù)非正數(shù)非負整數(shù)非正分數(shù)整數(shù)分數(shù)正數(shù)負數(shù)有理數(shù)非正數(shù)非負整數(shù)非正分數(shù)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√★★☆☆☆⑴將，，，，，，這七個數(shù)，按照從小到大的順序排列為.⑵三個有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶已知，試比較，，，，，的大小，按照從大到小的順序排列為.⑴⑵⑶★★☆☆☆⑴下列說法中錯誤的是（）A.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等B.有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示C.任何一個有理數(shù)都有相反數(shù)D.一切小數(shù)都是有理數(shù)⑵下列說法中，正確的序號是（）①一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；②倒數(shù)等于本身的數(shù)是和；③若一個數(shù)的絕對值是它本身，則這個數(shù)一定是正數(shù)；④零的絕對值和相反數(shù)都是它本身；⑤兩個負數(shù)，絕對值較大的負數(shù)反而小A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①④⑤⑶下列說法中，正確的有（）句①一個有理數(shù)不是整數(shù)，就是分數(shù)；②一個有理數(shù)不是正的，就是負的；③一個整數(shù)不是正的，就是負的；④一個分數(shù)不是正的，就是負的；⑤沒有最大的非正數(shù)，也沒有最小的非負數(shù)；A.B.C.D.⑷和是滿足的有理數(shù)，下面四句話中，正確的有（）句①的相反數(shù)是；②的相反數(shù)是的相反數(shù)與的相反數(shù)的差；③的相反數(shù)是的相反數(shù)和的相反數(shù)的乘積；④的倒數(shù)是的倒數(shù)和的倒數(shù)的乘積A.B.C.D.⑸若三個數(shù)互不相等，則在，，中，正數(shù)一定有（）A.個B.個C.個D.個⑴⑵⑶⑷⑸★★★☆☆⑴的相反數(shù)是.⑵已知的倒數(shù)是，則的負倒數(shù)為.⑶若，則；若，則.⑷已知，則的值是.⑴⑵⑶；⑷★★★☆☆⑴數(shù)軸上有,,三點，點所對應的數(shù)是，點到點的距離是，點到點的距離是，則點所對應的數(shù)是.⑵數(shù)軸上點對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為，則的中點對應的數(shù)為.（用表示）⑶如圖所示，數(shù)軸上三個點對應的數(shù)分別為，，，相鄰的兩個點之間的距離相等，且滿足，則.⑴點所對應的數(shù)是或，所以點所對應的數(shù)是或或或；⑵；⑶.★★★☆☆三個互不相等的有理數(shù)，既可以表示為，，的形式，也可以表示為，，的形式，求的值.易知，則，即，此時兩組數(shù)為和，所以，，得.有理數(shù)的四則運算有理數(shù)的加法有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．一個數(shù)同相加，仍得這個數(shù)．有理數(shù)加法的運算步驟：法則是運算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運算法則，可以得到加法的運算步驟：①確定和的符號；②求和的絕對值，即確定是兩個加數(shù)的絕對值的和或差．有理數(shù)加法的運算律：加法交換律：兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即.加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或先把后兩個數(shù)相加，和不變．即.有理數(shù)加法的運算技巧：①分數(shù)與小數(shù)均有時，應先化為統(tǒng)一形式；②帶分數(shù)可分為整數(shù)與分數(shù)兩部分參與運算；③多個數(shù)相加時，若有互為相反數(shù)的兩個數(shù)，可先結(jié)合相加得零；④若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時，可先結(jié)合相加；⑤若有同分母的分數(shù)或易通分的分數(shù)，應先結(jié)合在一起；⑥符號相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起．有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有理數(shù)減法的運算步驟：①把減號變?yōu)榧犹枺ǜ淖冞\算符號）②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號）③把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運算的步驟進行運算．有理數(shù)加減混合運算的步驟：①把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；②省略加號與括號；③利用運算律及技巧簡便計算，求出結(jié)果．【注意】根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去一個數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因此加減混合運算可以依據(jù)上述法則轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥屑臃ǖ倪\算，即為求幾個正數(shù)，負數(shù)和的和，這個和稱為代數(shù)和．為了書寫簡便，可以把加號與每個加數(shù)外的括號均省略，寫成省略加號和的形式．例如：，它的含義是正，負，正，正，負的和．有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)同相乘，都得．有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定符號，再計算絕對值，有括號的先算括號里的數(shù).有理數(shù)乘法運算律：乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即．乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等，即．乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加，即．有理數(shù)乘法法則的推廣：幾個不等于的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)．幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為，則積為．在進行乘法運算時，若有帶分數(shù)，應先化為假分數(shù)，便于約分；若有小數(shù)及分數(shù)，一般先將小數(shù)化為分數(shù)，或湊整計算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡化計算．“奇負偶正”口訣的應用一：口訣“奇負偶正”在多處知識點中均提到過，它具體的應用有如下幾點：①多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”的個數(shù)，例如：；．②有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結(jié)果中積的符號，例如：，而．有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)：（）；兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；除以任何一個不等于的數(shù)，都等于．有理數(shù)除法的運算步驟：首先確定商的符號，然后再求出商的絕對值．★★☆☆☆⑴下列說法正確的是（）A.兩個有理數(shù)的和一定大于任何一個加數(shù)B.兩個有理數(shù)的和一定大于其中的一個加數(shù)C.兩個有理數(shù)的和一定大于這兩個數(shù)的差D.較小的有理數(shù)減去較大的有理數(shù)的差一定是負數(shù)⑵個不全相等的有理數(shù)之和為，那么一定有結(jié)論（）A.至少有一個是零B.至少有個正數(shù)C.至少有一個負數(shù)D.至多有個負數(shù)⑶若，則下列四個結(jié)論中，正確的是（）A.一定是正數(shù)B.可能是負數(shù)C.一定是正數(shù)D.一定是正數(shù)⑴⑵⑶★★★☆☆計算：⑴⑵⑶⑴原式⑵原式⑶原式★★★☆☆⑴已知、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，為最大的負整數(shù)，為絕對值最小的數(shù)，則的值是.⑵已知且、互為相反數(shù)，、互為負倒數(shù)，的絕對值為，則代數(shù)式的值是.⑴由題意得，，，，則原式.⑵由題意得，，，，則原式或.★★★☆☆如果個不同的正整數(shù)滿足，那么的值是多少？.★★★★☆數(shù)軸上標有個點對應的都是整數(shù)（它們稱為整點），它們對應的整數(shù)分別是，為了確保從這些整點中可以取出個，其中任何個點之間的距離不等于，問的最小值是多少？的最小值是將數(shù)軸上的個點，自左端開始，連續(xù)個點為一組，每組僅取右邊個點，這樣就可以確保所取出的點，其中任意兩點之間的距離不等于．從多少組中才能取出個點？，即從組可以取出個點，另外，再從第組中取出個點，就得到個點．所以，．即數(shù)軸上至少有個點，就能夠確保從中取出個，其中任意兩點之的距離不等于，，．當時，可以??；；；；；；和，共個，其中任何兩個數(shù)所代表的兩個點之間的距離都不等于．在整數(shù)之間填入符號和號，那么在所有可能的代數(shù)和中，最小的非負數(shù)是多少？由于整數(shù)的符號不影響其奇偶性，因此也不影響代數(shù)和的奇偶性，我們首先可以利用：，得知所有可能的代數(shù)和均為奇數(shù)，再考慮到非負數(shù)這一條件，我們期望這一最小值為．接下來我們的目標無非是填入符號“＋”和“－”湊出來，考慮到共有個數(shù)，我們需要利用周期性.注意到，，因此容易湊出所要的結(jié)果來：．但是題目中要求在數(shù)與數(shù)之間填入符號“＋”和“－”號，所以可以對算式的前項做處理，修改為：在下列數(shù)中，哪些是整數(shù)？哪些是正數(shù)？哪些是非負整數(shù)？哪些是有理數(shù)？，，，，，，，，，，整數(shù)：，，，正數(shù)：，，，，，非負整數(shù)：，，有理數(shù)：，，，，，，，，⑴學而思校車上原來有人，經(jīng)過個站點時上下車情況如下（上車為正，下車為負）：，，，，最后有人，橫線上應填的數(shù)字是．⑵學而思老師進行吃大米飯比賽，以碗為標準，超過次數(shù)用正數(shù)表示，不足的用負數(shù)表示，其中名老師的成績?nèi)缦卤恚簭埧】↑S孔孔王陽陽羅小小周虎虎吳瘋瘋方捷捷邢飛飛問：這名老師吃掉米飯的平均值是碗．⑴；⑵.⑴的相反數(shù)的倒數(shù)是，的相反數(shù)是.⑵已知，則.⑶已知的負倒數(shù)是最大的負整數(shù)，則.⑷已知的絕對值和倒數(shù)都等于本身，若，則.⑴相反數(shù)為，再求倒數(shù)為；的相反數(shù)是.⑵由非負性可得，，所以.⑶最大的負整數(shù)為，的負倒數(shù)為，則，得.⑷絕對值和倒數(shù)都等于本身的數(shù)是，所以，得.⑴已知、都為有理數(shù)，且，，，則、、、的大小關系是（）A.B.C.D.⑵有理數(shù)、在數(shù)軸上如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶數(shù)軸上有，兩點，如果點對應的數(shù)是，且，兩點的距離為，則點對應的數(shù)的倒數(shù)為.⑷如圖，如果數(shù)到原點的距離是數(shù)到原點的距離的倍，則數(shù)軸的原點是,,,四點中的點.⑴將，，，四個數(shù)表示在數(shù)軸上如下所示：所以，答案選.⑵為負數(shù)，又，所以且均為正數(shù)，所以，選.⑶點對應的數(shù)為