甘肅省鎮(zhèn)原縣二中2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理

2018—2019學(xué)年度第一學(xué)期期末考試試題高二（數(shù)學(xué)）（理）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．命題“a?A或b?B”的否定形式是()A．若a?A，則b?BB．a(chǎn)∈A或b∈BC．a(chǎn)?A且b?BD．a(chǎn)∈A且b∈B2．已知a∈R，則“a＜2”是“a2＜2a”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為()A.eq\f(5,4)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(5),4)4．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實數(shù)λ的值是()A．－1B．0C．1D．－25．下列說法正確的是()A．“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要條件B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命題“若α＝β，則sinα＝sinβ”的逆否命題為真命題6．平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足eq\o(OP,\s\up12(→))·eq\o(OA,\s\up12(→))＝4，則點P的軌跡方程是()A．x＋y＝4B．2x＋y＝4C．x＋2y＝4D．x＋2y＝17．如圖1，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、CC1的中點，P為AD上一動點，記α為異面直線PM與D1N所成的角，則α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤α≤\f(π,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤α≤\f(π,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤α≤\f(π,2)))))圖18．已知圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線相切，則m＝()A．±2eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．±eq\r(3)9．給出兩個命題：p：|x|＝x的充要條件是x為正實數(shù)，q：不等式|x－y|≤|x|＋|y|取等號的條件是xy＜0，則下列命題是真命題的是()A．p∧qB．p∨qC．(p)∧q D．(p)∨q10．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為P、Q，則梯形APQB的面積為()A．48B．56C．64D．7211．若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值為()A．2B．3C．6D．812．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點，若eq\f(|AF|,|BF|)∈(0,1)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,a)＝1的右焦點為(eq\r(13)，0)，則該雙曲線的漸近線方程為________．14．已知a，b是兩個命題，如果a是b的充分條件，那么“a”是“b”的________條件．15．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，P、M為空間任意兩點，如果有eq\o(PM,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋6eq\o(AA1,\s\up12(→))＋7eq\o(BA,\s\up12(→))＋4eq\o(A1D1,\s\up12(→))，那么M點一定在平面________內(nèi)．16．已知F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，E是雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0，))且q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．18．(本小題滿分12分)如圖3，四邊形MNPQ是圓C的內(nèi)接等腰梯形，向量eq\o(CM,\s\up12(→))與eq\o(PN,\s\up12(→))的夾角為120°，eq\o(QC,\s\up12(→))·eq\o(QM,\s\up12(→))＝2.(1)建立坐標(biāo)系，求圓C的方程；(2)求以M，N為焦點，過點P，Q的橢圓方程．圖319．(本小題滿分12分)如圖4，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點M.圖4(1)求證：AM⊥PD；(2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．20．(本小題滿分12分)如圖5，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．圖5(1)求證：CD⊥平面ADD1A1.(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為eq\f(6,7)，求k的值．21．(本小題滿分12分)如圖6，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(eq\r(2)＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.圖6(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1k2＝1.22．(本小題滿分12分)圖7如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程．

鎮(zhèn)原二中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（理）(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．命題“a?A或b?B”的否定形式是()A．若a?A，則b?B B．a(chǎn)∈A或b∈BC．a(chǎn)?A且b?B D．a(chǎn)∈A且b∈B【解析】“p或q”的否定為“非p且非q”，D正確．【答案】D2．已知a∈R，則“a＜2”是“a2＜2a”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】∵a2＜2a?a(a－2)＜0?0＜a＜2.∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分條件．【答案】B3．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，則雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為()A.eq\f(5,4)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(3,2)D.eq\f(\r(5),4)【解析】由題意，1－eq\f(b2,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝eq\f(3,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，而雙曲線的離心率e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，∴e＝eq\f(\r(5),2).【答案】B4．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，則實數(shù)λ的值是()A．－1 B．0C．1 D．－2【解析】∵a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)∵(a＋λb)⊥a，∴(a＋λb)·a＝1＋λ＋1＝0，∴λ＝－2.【答案】D5．下列說法正確的是()A．“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要條件B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件C．命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命題“若α＝β，則sinα＝sinβ”的逆否命題為真命題【解析】“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分條件，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要條件，A、B均不正確；C中命題的否定應(yīng)該為“?x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C不正確．【答案】D6．平面直角坐標(biāo)系xOy中，若定點A(1,2)與動點P(x，y)滿足eq\o(OP,\s\up12(→))·eq\o(OA,\s\up12(→))＝4，則點P的軌跡方程是()A．x＋y＝4 B．2x＋y＝4C．x＋2y＝4 D．x＋2y＝1【解析】由eq\o(OP,\s\up12(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up12(→))＝(1,2)得eq\o(OP,\s\up12(→))·eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，x＋2y＝4即為所求軌跡方程，故選C.【答案】C7．如圖1，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1、CC1的中點，P為AD上一動點，記α為異面直線PM與D1N所成的角，則α的集合是()圖1A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤α≤\f(π,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤α≤\f(π,2))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)≤α≤\f(π,2)))))【解析】分別以DA、DC、DD1所在的直線為x、y、z軸，D為原點建系，連結(jié)AM、DM，可以證明eq\o(AM,\s\up12(→))⊥eq\o(D1N,\s\up12(→))，eq\o(DM,\s\up12(→))⊥eq\o(D1N,\s\up12(→))，故D1N⊥平面ADM，∴D1N⊥PM，即α＝eq\f(π,2).【答案】A8．已知圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與拋物線y＝eq\f(1,4)x2的準(zhǔn)線相切，則m＝()A．±2eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．±eq\r(3)【解析】拋物線方程可化為x2＝4y，∴其準(zhǔn)線方程為y＝－1，圓的方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)＋eq\f(m2,4)，是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，0))為圓心.eq\f(\r(m2＋1),2)為半徑的圓，由題意知eq\f(\r(m2＋1),2)＝1，∴m＝±eq\r(3).【答案】D9．給出兩個命題：p：|x|＝x的充要條件是x為正實數(shù)，q：不等式|x－y|≤|x|＋|y|取等號的條件是xy＜0，則下列命題是真命題的是()A．p∧q B．p∨qC．(p)∧q D．(p)∨q【解析】命題p為假，因為x＝0時，也有|x|＝x成立；命題q也為假，因為當(dāng)x＝0或y＝0時，|x－y|≤|x|＋|y|也成立，因此只有(p)∨q為真命題．【答案】D10．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為P、Q，則梯形APQB的面積為()A．48 B．56C．64 D．72【解析】聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－3))可解得A(1，－2)，B(9,6)．∵拋物線準(zhǔn)線為x＝－1，∴|AP|＝2，|BQ|＝10，|PQ|＝8，∴S＝eq\f(2＋10×8,2)＝48.【答案】A11．若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))的最大值為()A．2B．3C．6D．8【解析】設(shè)橢圓上任意一點P(x0，y0)，則有eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3,4)xeq\o\al(2,0)，O(0,0)，F(xiàn)(－1,0)，則eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋x0＋3＝eq\f(1,4)(x0＋2)2＋2.∵|x0|≤2，∴當(dāng)x0＝2時，eq\o(OP,\s\up14(→))·eq\o(FP,\s\up14(→))取得最大值為6.【答案】C12．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點，若eq\f(|AF|,|BF|)∈(0,1)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)【解析】因為拋物線的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，直線方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，與拋物線方程聯(lián)立得x2－eq\f(2\r(3),3)px－p2＝0，解方程得xA＝－eq\f(\r(3),3)p，xB＝eq\r(3)p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(|xA|,|xB|)＝eq\f(1,3).故選C.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13．已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,a)＝1的右焦點為(eq\r(13)，0)，則該雙曲線的漸近線方程為________．【解析】由題意得：9＋a＝13，∴a＝4，故漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x.【答案】y＝±eq\f(2,3)x14．已知a，b是兩個命題，如果a是b的充分條件，那么“a”是“b”的________條件．【解析】由題意a?b成立，故其逆否命題為b?a也成立．∴“a”是“b”的必要條件．【答案】必要15．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，P、M為空間任意兩點，如果有eq\o(PM,\s\up12(→))＝eq\o(PB1,\s\up12(→))＋6eq\o(AA1,\s\up12(→))＋7eq\o(BA,\s\up12(→))＋4eq\o(A1D1,\s\up12(→))，那么M點一定在平面________內(nèi)．【解析】∵eq\o(B1M,\s\up12(→))＝eq\o(PM,\s\up12(→))－eq\o(PB1,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(AA1,\s\up12(→))＋4eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))＋6eq\o(BA1,\s\up12(→))＋4eq\o(A1D1,\s\up12(→))＝eq\o(B1A1,\s\up12(→))＋2eq\o(BA1,\s\up12(→))＋4eq\o(BD1,\s\up12(→))，∴eq\o(B1M,\s\up12(→))－eq\o(B1A1,\s\up12(→))＝2eq\o(BA1,\s\up12(→))＋4eq\o(BD1,\s\up12(→))，即eq\o(A1M,\s\up12(→))＝2eq\o(BA1,\s\up12(→))＋4eq\o(BD1,\s\up12(→)).故eq\o(A1M,\s\up12(→))，eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(BD1,\s\up12(→))共面，即M點在平面A1BCD1內(nèi)．【答案】A1BCD116．已知F是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，E是雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________．【解析】∵△ABE為等腰三角形，可知只需∠AEF＜45°即可，即|AF|＜|EF|?eq\f(b2,a)＜a＋c，化簡得e2－e－2＜0，又e＞1，∴1＜e＜2，∴該雙曲線的離心率e的取值范圍為(1,2)．【答案】(1,2)三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0，))且q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＜0，,x2－6x＋8＜0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜3，,2＜x＜4，))即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.設(shè)A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，∵p?q，∴q?p.∴BA.即2＜x＜3滿足不等式2x2－9x＋a＜0.設(shè)f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3滿足不等式2x2－9x＋a＜0，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－18＋a≤0，,18－27＋a≤0.))∴a≤9.故所求實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤9}．18．(本小題滿分12分)如圖3，四邊形MNPQ是圓C的內(nèi)接等腰梯形，向量eq\o(CM,\s\up12(→))與eq\o(PN,\s\up12(→))的夾角為120°，eq\o(QC,\s\up12(→))·eq\o(QM,\s\up12(→))＝2.(1)建立坐標(biāo)系，求圓C的方程；(2)求以M，N為焦點，過點P，Q的橢圓方程．圖3【解】(1)建立如圖坐標(biāo)系，由題意得：△CQM為正三角形．∴eq\o(QC,\s\up12(→))·eq\o(QM,\s\up12(→))＝r2·cos60°＝2，∴r＝2，∴圓C的方程為：x2＋y2＝4.(2)M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，eq\r(3))，2a＝|QN|＋|QM|＝2eq\r(3)＋2.∴c＝2，a＝eq\r(3)＋1，b2＝a2－c2＝2eq\r(3).∴橢圓方程為：eq\f(x2,4＋2\r(3))＋eq\f(y2,2\r(3))＝1.19．(本小題滿分12分)如圖4，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點M.圖4(1)求證：AM⊥PD；(2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．【解】(1)證明∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如圖所示，以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，M(0,1,1)，于是eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1,2,0)，eq\o(AM,\s\up12(→))＝(0,1,1)，eq\o(CD,\s\up12(→))＝(－1,0,0)．設(shè)平面ACM的一個法向量為n＝(x，y，z)，由n⊥eq\o(AC,\s\up12(→))，n⊥eq\o(AM,\s\up12(→))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,y＋z＝0.))令z＝1，得x＝2，y＝－1，于是n＝(2，－1,1)．設(shè)直線CD與平面ACM所成的角為α，則sinα＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CD,\s\up12(→))·n,|\o(CD,\s\up12(→))||n|)))＝eq\f(\r(6),3)，cosα＝eq\f(\r(3),3).故直線CD與平面ACM所成的角的余弦值為eq\f(\r(3),3).20．(本小題滿分12分)如圖5，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．圖5(1)求證：CD⊥平面ADD1A1.(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為eq\f(6,7)，求k的值．圖(1)【證明】(1)取CD的中點E，連結(jié)BE，如圖(1)．∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.圖(2)(2)以D為原點，eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－4k,6k,0)，eq\o(AB1,\s\up12(→))＝(0,3k,1)，eq\o(AA1,\s\up12(→))＝(0,0,1)．設(shè)平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up12(→))·n＝0，,\o(AB1,\s\up12(→))·n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4kx＋6ky＝0，,3ky＋z＝0.))取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．設(shè)AA1與平面AB1C所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(AA1,\s\up12(→))，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AA1,\s\up12(→))·n,|\o(AA1,\s\up12(→))||n|)))＝eq\f(6k,\r(36k2＋13))＝eq\f(6,7)，解得k＝1，故所求k的值為1.21．如圖6，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1、F2為頂點的三角形的周長為4(eq\r(2)＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.圖6(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，求證：k1k2＝1.【解】(1)設(shè)橢圓的半焦距為