2024-2025學年上學期廣州高二數(shù)學期末典型卷1

第1頁（共1頁）2024-2025學年上學期廣州高二數(shù)學期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?重慶期末）直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．（5分）（2021秋?藍田縣期末）等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a6＝4，則a2等于（）A． B． C．1 D．3．（5分）（2023秋?商丘期中）圓x2+y2＝2與圓x2+y2+2x﹣2y﹣a＝0（a∈R）的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．內(nèi)含 D．以上均有可能4．（5分）（2019春?武漢期末）若f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位數(shù)字之和，如142+1＝197，1+9+7＝17，f（14）＝17，記f1（n）＝f（n），f2（n）＝f[f1（n）]，…，fk+1（n）＝f[fk（n）]，k∈N*，則f2019（8）的值是（）A．3 B．5 C．8 D．115．（5分）（2021?陜西模擬）P是雙曲線M：右支上第一象限內(nèi)的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓是圓C，當圓C的面積為4π時，直線PF2的斜率為（）A． B．或0 C．0 D．6．（5分）平行于向量（1，3，﹣2）的一個單位向量為（）A．（1，﹣3，﹣2） B．（﹣1，3，﹣2） C．（1，3，﹣2） D．（﹣1，3，2）7．（5分）（2023秋?祿勸縣校級期末）拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點到準線的距離為（）A． B． C． D．8．（5分）（2020?道里區(qū)校級四模）已知圓C1：x2+y2﹣kx﹣y＝0和圓C2：x2+y2﹣2ky﹣1＝0的公共弦所在的直線恒過定點M，且點M在直線mx+ny＝2上，則的最小值為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2022秋?溫州期中）若兩直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m與l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，則（）A．m＝﹣7 B．m＝﹣1 C．l1與l2之間的距離為 D．與l1、l2距離相等的點的軌跡方程為4x﹣4y+5＝0（多選）10．（5分）下列說法正確的是（）A．平面內(nèi)與定點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）距離之和等于4的點的軌跡方程1 B．平面內(nèi)與定點A（﹣3，0）和B（3，0）的距離之差等于4的點的軌跡方程為1 C．點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是M，點A的坐標是A（1，0），則|PA|+|PM|的最小值是1 D．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是1（多選）11．（5分）下列各命題正確的是（）A．點（﹣1，﹣2，3）關于平面Oxz的對稱點為（1，2，3） B．點（，1，﹣3）關于y軸的對稱點（，1，3） C．點（2，﹣1，3）到平面Oyz的距離為1 D．設m為任一實數(shù)，則點（2，m，1）表示的圖形是與平面Oxz垂直的一條直線（多選）12．（5分）（2023春?浙江月考）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確是（）A．若，則 B．若an＝21﹣2n，則Sn的最大值為100 C．若an+1＝an+n，則2S8＝S9+S7﹣8 D．若，則三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2015春?廈門期末）已知x2+y2+xy+tanθ＝0（θ）表示圓，則θ的取值范圍為．14．（5分）在數(shù)列{an}中，若an，則a4+a5的值為．15．（5分）（2024秋?福州期中）設F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓上，若△MF1F2是直角三角形，則△MF1F2的面積等于．16．（5分）（2022?齊齊哈爾二模）矩形ABCD中，，現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，得到四面體D﹣ABC，若異面直線BC與AD所成角為，則|BD|＝；若二面角D﹣AC﹣B的大小為，則|BD|＝．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022春?濰坊期中）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，b3+b2＝a6．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）若cn＝an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．18．（12分）（2020?天心區(qū)校級開學）已知底面為正三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，AB的中點，點A1在底面投影為AC邊的中點O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G．（1）證明：PG∥平面A1B1C1；（2）若AB＝6，AA1＝5，點M為棱A1B1上的動點，當直線AM與平面A1FC所成角的正弦值為時，求點M的位置．19．（12分）（2018秋?信陽期末）已知圓C的圓心在直線l：2x﹣y＝0上，且與直線l1：x﹣y+1＝0相切．（Ⅰ）若圓C與圓x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，試求圓C的半徑；（Ⅱ）滿足已知條件的圓顯然不止一個，但它們都與直線l1相切，我們稱l1是這些圓的公切線．這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有，說明理由．20．（12分）（2023?河南模擬）如圖，圓柱O1O2的側(cè)面積為2π，高為1，AB為⊙O2的直徑，C，D分別為⊙O1，⊙O2上的點，直線CD經(jīng)過O1O2的中點O．（1）若AC＝BC，證明：AB⊥CD；（2）若直線CD與平面ABC所成角的正弦值為，求三棱錐D﹣ABC的體積．21．（12分）（2024?煙臺模擬）對于數(shù)列，記Δan＝an+1﹣an，稱數(shù)列{Δan}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列：記Δ2an＝Δ（Δan）＝Δan+1﹣Δan稱數(shù)列{Δ2an}為數(shù)列{an}的二階差分數(shù)列，…，一般地，對于k∈N，記，規(guī)定：Δ0an＝an，Δ1an＝Δan，稱{Δkan}為數(shù)列{an}的k階差分數(shù)列．對于數(shù)列{an}，如果Δkan＝d≠0（d為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為k階等差數(shù)列．（1）數(shù)列{n2}是否為k階等差數(shù)列，如果是，求k值，如果不是，請說明為什么？（2）請用a1，Δa1，Δ2a1，Δ3a1，…表示a3，a4，并歸納出表示an的正確結(jié)論（不要求證明）；（3）請你用（2）歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列{an}為k階等差數(shù)列，則其前n項和為；（4）某同學用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，巧合用了2024個球．第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，問：這位同學共堆積了多少層？22．（12分）（2022?四川模擬）已知橢圓E：1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的2倍，焦距為2．（1）求橢圓E的方程；（2）設過點N（0，t）的動直線l與橢圓E交于C，D兩點，是否存在定實數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

2024-2025學年上學期廣州高二數(shù)學期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?重慶期末）直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【考點】直線的傾斜角．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析直線的斜率，由此求出其傾斜角即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線x+1＝0，即x，其斜率不存在，則其傾斜角θ＝90°，故選：C．【點評】本題考查直線的傾斜角，涉及直線的斜率與傾斜角的關系，屬于基礎題．2．（5分）（2021秋?藍田縣期末）等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a6＝4，則a2等于（）A． B． C．1 D．【考點】等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】C【分析】利用等比中項直接計算即可．【解答】解：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以即4＝4a2，解得a2＝1，故選：C．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題．3．（5分）（2023秋?商丘期中）圓x2+y2＝2與圓x2+y2+2x﹣2y﹣a＝0（a∈R）的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．內(nèi)含 D．以上均有可能【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】D【分析】利用圓與圓的位置關系求解．【解答】解：兩個圓的圓心分別為O1（0，0），O2（﹣1，1），且圓心O2（﹣1，1）在圓O1上，因為圓O2的半徑不確定，所以均有可能．故選：D．【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關系，考查運算求解能力，屬于基礎題．4．（5分）（2019春?武漢期末）若f（n）表示n2+1（n∈N*）的各位數(shù)字之和，如142+1＝197，1+9+7＝17，f（14）＝17，記f1（n）＝f（n），f2（n）＝f[f1（n）]，…，fk+1（n）＝f[fk（n）]，k∈N*，則f2019（8）的值是（）A．3 B．5 C．8 D．11【考點】歸納推理．【專題】計算題；整體思想；綜合法；推理和證明；運算求解．【答案】C【分析】計算f1（8）＝11，f2（8）＝5，f3（8）＝8，歸納推理得到fn（8）是以3為周期的循環(huán)數(shù)列，從而得到f2019（8）的值．【解答】解：由82+1＝65，∴f（8）＝11，即f1（8）＝11，由112+1＝122，∴f（11）＝5，即f2（8）＝5，由52+1＝26，∴f（5）＝8，即f3（8）＝8，……，∴fn（8）是以3為周期的循環(huán)數(shù)列，又∵2019÷3＝673，余數(shù)為0，∴f2019（8）＝f3（8）＝8，故選：C．【點評】本題主要考查了合情推理中的歸納推理，是基礎題．5．（5分）（2021?陜西模擬）P是雙曲線M：右支上第一象限內(nèi)的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓是圓C，當圓C的面積為4π時，直線PF2的斜率為（）A． B．或0 C．0 D．【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】由雙曲線的方程可得a，b，c的值，由內(nèi)切圓的面積可得內(nèi)切圓的半徑，再由雙曲線的定義及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得圓心的坐標，設直線PF2的方程，求出圓心到直線的距離等于內(nèi)切圓的半徑可得直線PF2的斜率．【解答】解：由雙曲線的方程可得a＝2，b，所以c＝3，由題意可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，且|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，由圓C的面積為4π可得內(nèi)切圓的半徑為2，設內(nèi)切圓與邊的切點分別為Q，S，R，如圖所示：則|PQ|＝|PS|，|QF1|＝|F1R|，|SF2|＝|F2R|，由雙曲線的定義可得：|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4，所以可得|F1R|﹣|F2R|＝4，即（c+xR）﹣（c﹣xR）＝4，解得xR＝2，即R（2，0），所以圓心C（2，2），設直線PF2D的方程為：y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0，圓心C到直線的距離d2，解得：k或0（舍），故選：D．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及內(nèi)切圓的性質(zhì)，點到直線的距離的公式的求法，屬于中檔題．6．（5分）平行于向量（1，3，﹣2）的一個單位向量為（）A．（1，﹣3，﹣2） B．（﹣1，3，﹣2） C．（1，3，﹣2） D．（﹣1，3，2）【考點】空間向量及其線性運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】直接利用平行向量和單位向量的應用求出結(jié)果．【解答】解：平行于向量（1，3，﹣2）的一個單位向量為；故選：C．【點評】本題考查的知識要點：單位向量，向量的共線，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．7．（5分）（2023秋?祿勸縣校級期末）拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點到準線的距離為（）A． B． C． D．【考點】拋物線的焦點與準線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】把拋物線化為標準形式，求出p的值，即可得出拋物線的焦點到準線的距離．【解答】解：拋物線2x2＝y(tǒng)可化為x2y，因為2p，所以p，所以拋物線的焦點到準線的距離為．故選：C．【點評】本題考查了拋物線的標準方程應用問題，是基礎題．8．（5分）（2020?道里區(qū)校級四模）已知圓C1：x2+y2﹣kx﹣y＝0和圓C2：x2+y2﹣2ky﹣1＝0的公共弦所在的直線恒過定點M，且點M在直線mx+ny＝2上，則的最小值為（）A． B． C． D．【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運算求解．【答案】C【分析】把兩圓方程作差消去二次項，可得兩圓的公共弦所在直線方程，由直線系方程求得定點M的坐標，代入直線mx+ny＝2，得m與n的關系，再把m2+n2轉(zhuǎn)化為關于m的二次函數(shù)求最值．【解答】解：由圓和圓，得兩圓公共弦所在直線方程為kx+（1﹣2k）y﹣1＝0，即k（x﹣2y）+y﹣1＝0．聯(lián)立，解得．∴M（2，1），又點M在直線mx+ny＝2上，∴2m+n＝2，即n＝2﹣2m．∴．當m時，取最小值為．故選：C．【點評】本題考查直線與圓位置關系，直線系方程與圓的方程，訓練了利用二次函數(shù)求最值，是中檔題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2022秋?溫州期中）若兩直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m與l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，則（）A．m＝﹣7 B．m＝﹣1 C．l1與l2之間的距離為 D．與l1、l2距離相等的點的軌跡方程為4x﹣4y+5＝0【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系；兩條平行直線間的距離；軌跡方程．【專題】計算題；對應思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】ACD【分析】利用兩條直線平行的充要條件判斷AB，利用兩平行直線間的距離公式判斷CD．【解答】解：∵兩直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m與l2：2x+（5+m）y＝8互相平行，∴（3+m）（5+m）＝4×2，即m2+8m+7＝0，∴m＝﹣7或m＝﹣1，檢驗，當m＝﹣7時，兩直線l1：2x﹣2y+13＝0與l2：2x﹣2y﹣8＝0平行，當m＝﹣1時，兩直線l1：x+2y﹣4＝0與l2：x+2y﹣4＝0重合，∴m＝﹣7，∴A正確，B錯誤，∵l1與l2的距離為，∴C正確，設與l1，l2距離相等的點為（x，y），則，整理得，4x﹣4y+5＝0，∴與l1，l2距離相等的點的軌跡方程為4x﹣4y+5＝0，∴D正確，故選：ACD．【點評】本題考查了兩條直線平行的充要條件，兩平行直線間的距離公式，屬于中檔題．（多選）10．（5分）下列說法正確的是（）A．平面內(nèi)與定點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）距離之和等于4的點的軌跡方程1 B．平面內(nèi)與定點A（﹣3，0）和B（3，0）的距離之差等于4的點的軌跡方程為1 C．點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是M，點A的坐標是A（1，0），則|PA|+|PM|的最小值是1 D．已知P為拋物線y2＝4x上一個動點，Q為圓x2+（y﹣4）2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和的最小值是1【考點】軌跡方程；拋物線的焦點與準線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義及性質(zhì)，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：對A選項，∵平面內(nèi)與定點F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）距離之和等于4＞|F1F2|＝2，∴該動點的軌跡是以F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）為焦點的橢圓，∴2c＝2，2a＝4，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴，∴A選項正確；對B選項，∵平面內(nèi)與定點A（﹣3，0）和B（3，0）的距離之差等于4＜|AB|＝6，∴該動點的軌跡是以A（﹣3，0）和B（3，0）為焦點的雙曲線的右支，∴2c＝6，2a＝4，∴a＝2，c＝3，∴b2＝c2﹣a2＝5，∴（x≥2），∴B選項錯誤；對C選項，∵拋物線x2＝4y的焦點為F（0，1），準線方程為y＝﹣1，又點P是拋物線x2＝4y上的動點，點P在x軸上的射影是M，點A的坐標是A（1，0），∴|PA|+|PM|＝|PA|+（|PM|）|PA|+|PF||AF|1，當且僅當F，P，A三點共線時，等號成立，∴C選項錯誤；對D選項，根據(jù)拋物線的定義可知點P到拋物線的準線距離等于|PF|，又圓M：x2+（y﹣4）2＝1的圓心M（0，4），半徑r＝1，又F（1，0），∴所求即為：|PQ|+|PF|≥|FM|﹣r1，當且僅當M，Q，P，F(xiàn)四點共線時，等號成立，∴D選項正確．故選：AD．【點評】本題考查圓錐曲線的定義與性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）11．（5分）下列各命題正確的是（）A．點（﹣1，﹣2，3）關于平面Oxz的對稱點為（1，2，3） B．點（，1，﹣3）關于y軸的對稱點（，1，3） C．點（2，﹣1，3）到平面Oyz的距離為1 D．設m為任一實數(shù)，則點（2，m，1）表示的圖形是與平面Oxz垂直的一條直線【考點】點、線、面間的距離計算；空間中直線與平面之間的位置關系；空間中的點的坐標．【專題】對應思想；定義法；空間向量及應用；運算求解．【答案】ABD【分析】直接利用點關于線和面的對稱的應用求出結(jié)果．【解答】解：對于A：點（1，﹣2，3）關于平面Ozx的對稱點為（1，2，3），故A正確；對于B：點（，1，﹣3）關于y軸的對稱點為（，1，3），故B正確；對于C：點（2，﹣1，3）到平面Oyz的距離為2，故C錯誤；對于D：設m為任一實數(shù)，則由空間直角坐標系的性質(zhì)得：點（2，m，1）表示的圖形是與平面Oxz垂直的一條直線，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查空間直角坐標系，點關于線和關于面的對稱等基礎知識，是基礎題．（多選）12．（5分）（2023春?浙江月考）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列說法正確是（）A．若，則 B．若an＝21﹣2n，則Sn的最大值為100 C．若an+1＝an+n，則2S8＝S9+S7﹣8 D．若，則【考點】數(shù)列的求和．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)所給Sn與an分別求a1判斷A，根據(jù)通項公式分析項的符號的變化可求最值判斷B，由Sn與an關系可得2Sn＝Sn+1+Sn﹣1﹣n即可判斷C，由組合數(shù)的性質(zhì)及等比數(shù)列的求和公式可化簡判斷D．【解答】解：對A，因為，而，所以a1≠S1，故錯誤；對B，若an＝21﹣2n，則n≤10時an＞0，而當n＞11時，an＜0，所以Sn的最大值為，故正確；對C，若an+1＝an+n，則Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1+n?2Sn＝Sn+1+Sn﹣1﹣n?2S8＝S9+S7﹣8，故正確；對D，因為，所以，則，故正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2015春?廈門期末）已知x2+y2+xy+tanθ＝0（θ）表示圓，則θ的取值范圍為．【考點】二元二次方程表示圓的條件．【專題】計算題；直線與圓．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】將方程配方成標準形式，利用方程表示一個圓，可得1﹣tanθ＞0，結(jié)合θ，由此可得實數(shù)θ的取值范圍．【解答】解：方程x2+y2+xy+tanθ＝0進行配方，得（x）2+（y）2＝1﹣tanθ∵x2+y2+xy+tanθ＝0（θ）表示圓，∴1﹣tanθ＞0，∵θ，∴θ∈．故答案為：．【點評】本題給出二次曲線方程表示一個圓，求參數(shù)的取值范圍，著重考查了圓的方程的幾種形式及其相互轉(zhuǎn)化的知識，屬于基礎題．14．（5分）在數(shù)列{an}中，若an，則a4+a5的值為27．【考點】數(shù)列遞推式．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解．【答案】27．【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，求出相應的項，可得答案．【解答】解：由題意可得，a5＝2×5+1＝11，故a4+a5＝27．故答案為：27．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于基礎題．15．（5分）（2024秋?福州期中）設F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，點M在橢圓上，若△MF1F2是直角三角形，則△MF1F2的面積等于．【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】．【分析】令|F1M|＝m、|MF2|＝n，由橢圓的定義可得m+n＝2a①，Rt△F1MF2中，由勾股定理可得n2﹣m2＝36②，由①②可得m、n的值，利用△F1PF2的面積求得結(jié)果．【解答】解：由橢圓的方程可得a＝5，b＝4，c＝3，令|F1M|＝m、|MF2|＝n，由橢圓的定義可得m+n＝2a＝10①，∵c＜b，∴直角頂點不可能是M．∴Rt△MF1F2中，由勾股定理可得n2﹣m2＝36②，由①②可得m，n，∴△MF1F2的面積是?6?．故答案為：．【點評】本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)，直角三角形相關結(jié)論，基礎題，涉及橢圓“焦點三角形”問題，通常要利用橢圓的定義．16．（5分）（2022?齊齊哈爾二模）矩形ABCD中，，現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，得到四面體D﹣ABC，若異面直線BC與AD所成角為，則|BD|＝或1；若二面角D﹣AC﹣B的大小為，則|BD|＝．【考點】二面角的平面角及求法；異面直線及其所成的角．【專題】計算題；方程思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角；邏輯思維；直觀想象；運算求解．【答案】或1；．【分析】根據(jù)題意可作出草圖可知，根據(jù)向量的數(shù)量積，可得，其中θ為與的夾角；因為異面直線BC與AD所成角為，所以或，由此即可求出結(jié)果；在矩形ABCD中，作BE⊥AC交AC于點E，DF⊥AC交AC于點F，再作EG⊥AC交CD于點G，則EG∥DF，所以二面角D﹣AC﹣B的平面角為∠BEG．設∠BEG＝α，在四面體D﹣ABC可中可知，根據(jù)向量的數(shù)量積，可得，再結(jié)合D﹣AC﹣B的大小為，再求出|BD|．【解答】解：如圖所示：在矩形ABCD中，，所以，在四面體D﹣ABC中，，其中θ為與的夾角；若異面直線BC與AD所成角為，則或，所以或；經(jīng)檢驗或1均滿足題意，故或1；在矩形ABCD中，作BE⊥AC交AC于點E，DF⊥AC交AC于點F，在四面體D﹣ABC中，作EG⊥AC交CD于點G，則EG∥DF，所以二面角D﹣AC﹣B的平面角為∠BEG．設∠BEG＝α，因為，所以EF＝AC﹣2CE＝AC﹣2BC?sin30°＝1，又四面體D﹣ABC可知，BE⊥EF，DF⊥EF，則，而，若二面角D﹣AC﹣B的大小為，則，所以，即．故答案為：或1；．【點評】本題主要考查異面直線所成的角，線面角的相關計算，考查了空間想象能力，屬于中等題．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022春?濰坊期中）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，b3+b2＝a6．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（2）若cn＝an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，根據(jù)已知條件可出關于q、d的方程組，解出這兩個量的值，可求得數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；（2）求得，利用分組求和法可求得Tn．【解答】（1）解：設等差數(shù)列{an}公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a2＝b2得a1+d＝b1q，即2+d＝2q①，由b3+b2＝a6得，即2（q2+q）＝2+5d②，由①②解得d＝2，q＝2，所以，；（2）解：∵，所以Tn＝（a1+a2+a3+?+an）+（b1+b2+b3+?+bn）．【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式和分組求和，屬于中檔題．18．（12分）（2020?天心區(qū)校級開學）已知底面為正三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，AB的中點，點A1在底面投影為AC邊的中點O，A1C∩AC1＝P，A1F∩AE＝G．（1）證明：PG∥平面A1B1C1；（2）若AB＝6，AA1＝5，點M為棱A1B1上的動點，當直線AM與平面A1FC所成角的正弦值為時，求點M的位置．【考點】直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】對應思想；向量法；空間向量及應用；邏輯思維；直觀想象；運算求解．【答案】（1）證明過程請看解答；（2）點M在靠近點A1的六等分點處．【分析】（1）由斜三棱柱的性質(zhì)，可推出P為A1C的中點；易證四邊形AFEA1為平行四邊形，故G為A1F的中點，從而得PG∥CF，再結(jié)合線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以O為原點、OB、OC、OA1所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，寫出A、B、C、A1、F、B1的坐標，設λ，λ∈[0，1]，可用含λ的式子表示點M的坐標，從而得；根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面A1FC的法向量，設直線AM與平面A1FC所成角為θ，則sinθ＝|cos，|，可建立關于λ的方程，解之即可．【解答】（1）證明：∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1各側(cè)面均為平行四邊形，∴P為A1C的中點，∵E，F(xiàn)分別是棱A1B1，AB的中點，∴A1E＝AF，又A1E∥AF，∴四邊形AFEA1為平行四邊形，∴G為A1F的中點，∴PG∥CF，∵PG?平面ABC，CF?平面ABC，∴PG∥平面ABC，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴PG∥平面A1B1C1．（2）解：∵點A1在底面投影為AC邊的中點O，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥AC，A1O⊥OB，∵正△ABC，且O為AC的中點，∴AC⊥OB，故以O為原點、OB、OC、OA1所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，3，0），A1（0，0，4），F(xiàn)（，，0），B1（，3，4），∴（，3，0），（0，3，﹣4），（，，﹣4）．設λ，λ∈[0，1]，則M（λ，3λ，4），∴（λ，3λ+3，4）．設平面A1FC的法向量為（x，y，z），則，令z＝3，則x，y＝4，∴（，4，3），設直線AM與平面A1FC所成角為θ，則sinθ＝|cos，|＝||＝||，解得λ或，∵λ∈[0，1]，∴λ，∴當，即點M在靠近點A1的六等分點處時，符合條件．【點評】本題考查空間中線與面的平行關系、線面角的求法，熟練掌握線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．19．（12分）（2018秋?信陽期末）已知圓C的圓心在直線l：2x﹣y＝0上，且與直線l1：x﹣y+1＝0相切．（Ⅰ）若圓C與圓x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，試求圓C的半徑；（Ⅱ）滿足已知條件的圓顯然不止一個，但它們都與直線l1相切，我們稱l1是這些圓的公切線．這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有，說明理由．【考點】過圓外一點的圓的切線方程．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，2a），利用利用外切圓心距等于半徑和，即可求出圓C的半徑；（Ⅱ）如果存在另一條切線，則它必過l與l1的交點（1，2），對斜率分存在和不存在兩種情況討論，即可求出還存在一條公切線，其方程為7x﹣y+5＝0．【解答】解：（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，2a），則半徑r，兩圓的連心線長為|a﹣1|r，因為兩圓外切，所以r＝r+9，∴r1；（Ⅱ）如果存在另一條切線，則它必過l與l1的交點（1，2），①若斜率不存在，則直線方程為：x＝1，圓心C到它的距離|a﹣1|＝r，由于方程需要對任意的a都成立，因此無解，所以它不是公切線，②若斜率存在，設公切線方程為：y﹣2＝k（x﹣1），則dr對任意的a都成立，所以k2﹣8k+7＝0，解得k＝1或k＝7，當k＝1時，直線與l1重合，當k＝7時，直線方程為7x﹣y﹣5＝0，故還存在一條公切線，其方程為7x﹣y﹣5＝0．【點評】本題主要考查了求圓的標準方程，和直線與圓的位置關系，是中檔題．20．（12分）（2023?河南模擬）如圖，圓柱O1O2的側(cè)面積為2π，高為1，AB為⊙O2的直徑，C，D分別為⊙O1，⊙O2上的點，直線CD經(jīng)過O1O2的中點O．（1）若AC＝BC，證明：AB⊥CD；（2）若直線CD與平面ABC所成角的正弦值為，求三棱錐D﹣ABC的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；綜合法；空間位置關系與距離；空間角；立體幾何；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）由已知條件通過證明AB⊥平面O1O2C，得到AB⊥CD．（2）延長DO2交⊙O2于點E，建立空間直角坐標系，設∠BAE＝θ（0＜θ＜90°），由已知條件解得θ，可求三棱錐D﹣ABC的體積．【解答】解：（1）如圖所示，連接O1C，O2C，O1D，O2D，因為C，O1，D，O2四點共面，由圓柱的結(jié)構特征可知O1C∥O2D．因為AC＝BC，O2為AB中點，所以AB⊥O2C，又AB⊥O1O2，O1O2∩O2C＝O2，所以AB⊥平面O1O2C，又CD?平面O1O2C，所以AB⊥CD．（2）延長DO2交⊙O2于點E，連接CE，則AE⊥BE，以E為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系E﹣xyz．因為圓柱O1O2的側(cè)面積為2π，高為1，則AB＝2，設∠BAE＝θ（0＜θ＜90°），則BE＝2sinθ，AE＝2cosθ，則有A（2cosθ，0，0），B（0，2sinθ，0），C（0，0，1），D（2cosθ，2sinθ，0），，，．設平面ABC的法向量為，由得取y＝1，可得平面ABC的法向量．則．則，又0＜θ＜90°，所以，故θ＝30°或60°．故三棱錐D﹣ABC的體積．【點評】本題主要考查線線垂直的證明，棱錐的體積公式，圓柱的結(jié)構特征，考查邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題．21．（12分）（2024?煙臺模擬）對于數(shù)列，記Δan＝an+1﹣an，稱數(shù)列{Δan}為數(shù)列{an}的一階差分數(shù)列：記Δ2an＝Δ（Δan）＝Δan+1﹣Δan稱數(shù)列{Δ2an}為數(shù)列{an}的二階差分數(shù)列，…，一般地，對于k∈N，記，規(guī)定：Δ0an＝an，Δ1an＝Δan，稱{Δkan}為數(shù)列{an}的k階差分數(shù)列．對于數(shù)列{an}，如果Δkan＝d≠0（d為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為k階等差數(shù)列．（1）數(shù)列{n2}是否為k階等差數(shù)列，如果是，求k值，如果不是，請說明為什么？（2）請用a1，Δa1，Δ2a1，Δ3a1，…表示a3，a4，并歸納出表示an的正確結(jié)論（不要求證明）；（3）請你用（2）歸納的正確結(jié)論，證明：如果數(shù)列{an}為k階等差數(shù)列，則其前n項和為；（4）某同學用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，巧合用了2024個球．第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，問：這位同學共堆積了多少層？【考點】數(shù)列的應用．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法；運算求解．【答案】（1）以k＝2，數(shù)列{n2}是二階等差數(shù)列；（2）；（3）證明見解析；（4）了22層．【分析】（1）由新定義可直接證明{n2}是k階等差數(shù)列；（2）由，的關系，遞推可得答案；（3）首先證明數(shù)列0，S1，S2，S3…，Sn為k+1階等差數(shù)列，再結(jié)合（2）可得；（4）由（3）得12，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式可得答案．【解答】解：（1）因為，而△2an＝△（△an）＝△（2n+1）＝2（n+1）+1﹣（2n+1）＝2≠0，所以k＝2，數(shù)列{n2}是二階等差數(shù)列；（2）因為數(shù)列{an}為k階等差數(shù)列，則Δkan＝d≠0，則，，則a2＝a1+Δa1，，，歸納得一般結(jié)論：；（3）證明：設數(shù)列：0，S1，S2，S3，…，Sn，因為an＝Sn﹣Sn﹣1＝ΔSn﹣1（n≥2），ΔS1＝S1﹣0＝a1，所以數(shù)列0，S1，S2，S3…，Sn為k+1階等差數(shù)列，由（2）中①得：，因為，所以；（4）由（1）知數(shù)列{n2}為二階等差數(shù)列，且Δa1＝4﹣1＝3，Δ2a1＝Δa2﹣Δa1＝（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）＝（9﹣4）﹣（4﹣1）＝2，則由（3）得：12，設共堆積了n層，第n層共有an個球，第1層有1個球，因為每層的“邊”比上一層多1個球，所以第n層的“邊”共有n個球，則第n層的球數(shù)為，則這n層所有球的個數(shù)為，由②式得：，解得n＝22．所以這位同學共堆積了22層．【點評】考查等差數(shù)列定義、通項、求和以及組合數(shù)性質(zhì)，考查閱讀理解能力、字母符號識別理解能力、歸納能力、轉(zhuǎn)化能力、運算能力，屬于難題．22．（12分）（2022?四川模擬）已知橢圓E：1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的2倍，焦距為2．（1）求橢圓E的方程；（2）設過點N（0，t）的動直線l與橢圓E交于C，D兩點，是否存在定實數(shù)t，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【考點】橢圓的定點及定值問題．【專題】計算題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；直觀想象；運算求解．【答案】；（2）存在實數(shù)，使得為定值，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)題目信息得到關于a，b的方程組，求出a2＝4，b2＝1，得到橢圓方程；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，進行求解，當直線斜率存在時，得到2t2+8＝﹣8t2+32，求出，再驗證斜率不存在的情況是否成立．【解答】解：（1）由題意得：2a＝4b，，所以a＝2b，a2﹣b2＝3，解得：a2＝4，b2＝1，所以橢圓E的方程為．（2）設直線斜率存在時，設為y＝kx+t，與聯(lián)立得：（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4＝0，設C（x1，y1），D（x2，y2），則，因為，，所以，當且僅當2t2+8＝﹣8t2+32，即，時，，當直線斜率不存在時，C（0，﹣2），D（0，2），若，則，故存在實數(shù)，使得為定值5．【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理及其應用等知識，屬于中等題．

考點卡片1．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識點的認識】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個通項公式其實就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點．②求和公式，Sn，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數(shù)列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．2．等比數(shù)列的通項公式【知識點的認識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1?qn﹣13．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．3．數(shù)列的應用【知識點的認識】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實際應用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實際問題的結(jié)合．4．數(shù)列的求和【知識點的認識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即（）．（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：．解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Snn2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn，∴Tn，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn．點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．5．數(shù)列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關系式：an．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內(nèi)容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學歸納法進行證明．6．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點的認識】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．7．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐Sh．8．異面直線及其所成的角【知識點的認識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：9．空間中直線與平面之間的位置關系【知識點的認識】空間中直線與平面之間的位置關系：位置關系公共點個數(shù)符號表示圖示直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點a?α直線和平面相交有且只有一個公共點a∩α＝A直線和平面平行無a∥α10．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．11．直線與平面垂直【知識點的認識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．12．空間中的點的坐標【知識點的認識】1、在x、y、z軸上的點分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點P（a，b，c）關于x軸的對稱點的坐標為（a，﹣b，﹣c，）點P（a，b，c）關于y軸的對稱點的坐標為（﹣a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于z軸的對稱點的坐標為（﹣a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOy的對稱點為（a，b，﹣c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面xOz的對稱點為（a，﹣b，c，）；點P（a，b，c）關于坐標平面yOz的對稱點為（﹣a，b，c，）；點P（a，b，c）關于原點的對稱點（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點坐標為（）13．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為||，||特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作；②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如的相反向量記為．5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定與任何向量平行；②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：（2）結(jié)合律：．3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量．1．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量的乘積仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．①當λ＞0時，與的方向相同；②當λ＜0時，與的方向相反；③當λ＝0時，．④|λ|＝|λ|?||的長度是的長度的|λ|倍．2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①②（λ+μ）（2）結(jié)合律：注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如等無法計算．14．直線與平面所成的角【知識點的認識】1、直線和平面所成的角，應分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|．15．二面角的平面角及求法【知識點的認識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則（1）當0，，θ，，此時cosθ＝cos，．（2）當，π時，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．16．點、線、面間的距離計算【知識點的認識】17．直線的傾斜角【知識點的認識】1．定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當直線l和x軸平行或重合時，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）3．意義：體現(xiàn)了直線對x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫直線的方向．（2）聯(lián)系：①當a時，k＝tanα；當α時，斜率不存在；②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當α∈[0，）時，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當α∈（，π）時，k＜0且tanα隨α的增大而增大．【解題方法點撥】直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標法研究直線性質(zhì)的基礎．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點問題．【命題方向】（1）直接根據(jù)直線斜率求傾斜角例：直線x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解答：因為直線x+y﹣1＝0的斜率為：，直線的傾斜角為：α．所以tanα，α＝120°故選C．點評：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識的應用．（2）通過條件轉(zhuǎn)換求直線傾斜角例：若直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，則直線AB的傾斜角為（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．解答：∵直線經(jīng)過A（0，1），B（3，4）兩點，∴直線AB的斜率k1，∴直線AB的傾斜角α＝45°．故選B．點評：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．18．直線的一般式方程與直線的平行關系【知識點的認識】1、兩條直線平行與垂直的判定對于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程yx，表示斜率為，y軸上截距為的直線．（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．19．兩條平行直線間的距離【知識點的認識】﹣平行直線方程：兩條平行直線的方程為：直線Ax+By+C1＝0與直線Ax+By+C2＝0它們之間的距離為：【解題方法點撥】﹣計算距離：1．選擇一條直線：選擇其中一條直線計算點到另一條直線的距離．2．應用公式：用點到直線距離公式，其中點選擇在第一條直線上的點．【命題方向】﹣平行直線距離：?？疾橛嬎銉蓷l平行直線間的垂直距離，涉及相似方程和坐標變換．20．二元二次方程表示圓的條件【知識點的認識】1、圓的定義：平面內(nèi)與一定點的距離等于定長的點的集合是圓．定點就是圓心，定長就是半徑．2、圓的標準方程：圓的標準方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圓心為（a，b），半徑為r；特別當圓心是（0，0），半徑為r時，圓的標準方程為x2+y2＝r2．3、圓的一般方程：圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．當D2+E2﹣4F＞0時，表示圓心（，），半徑為的圓；當D2+E2﹣4F＝0時，表示點（，），；當D2+E2﹣4F＜0時，不表示任何圖形．因此二元二次方程表示圓的條件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圓的條件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．21．過圓外一點的圓的切線方程【知識點的認識】﹣外切線方程：給定圓的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外點（x0，y0），可以使用切線公式：其中R是與圓外切的圓的半徑．【解題方法點撥】﹣求切線方程：1．計算切點：找到外點到圓的距離，即切線半徑．2．應用公式：使用切線方程公式計算得到切線方程．【命題方向】﹣外切線問題：考查如何找到通過圓外一點的切線方程，涉及到切線長度和幾何計算．22．直線與圓的位置關系【知識點的認識】直線與圓的位置關系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關系判斷．圓心到直線的距離d①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．23．圓與圓的位置關系及其判定【知識點的認識】圓與圓的位置關系【解題方法點撥】圓與圓的位置關系的判定設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關系判斷①外離（4條公切線）：d＞r1+r2②外切（3條公切線）：d＝r1+r2③相交（2條公切線）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④內(nèi)切（1條公切線）：d＝|r1﹣r2|⑤內(nèi)含（無公切線）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個x值可能對應兩個y值．24．橢圓的幾何特征【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關系：a2＝b2+c2．25．橢圓的定點及定值問題【知識點的認識】定點問題涉及橢圓上的某點到固定點的距離、角度等特性．定值問題通常要求解決橢圓上的點的距離問題．【解題方法點撥】1．計算定點距離：利用橢圓的標準方程計算定點的距離．2．應用定值：解決與定值相關的幾何問題．【命題方向】﹣給定橢圓的定點和定值，求解相關問題．﹣分析定點問題的幾何特征．26．拋物線的焦點與準線【知識點的認識】拋物線的簡單性質(zhì)：27．雙曲線的幾何特征【知識點的認識