【大學(xué)課件】動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法簡(jiǎn)介

動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法簡(jiǎn)介動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種常用的算法設(shè)計(jì)技巧，它將復(fù)雜問(wèn)題分解為子問(wèn)題，并利用子問(wèn)題的解來(lái)構(gòu)建原問(wèn)題的解。通過(guò)存儲(chǔ)子問(wèn)題的解，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以避免重復(fù)計(jì)算，從而提高算法效率。什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃?定義動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種解決最優(yōu)化問(wèn)題的算法思想。它將復(fù)雜問(wèn)題分解成一系列子問(wèn)題，通過(guò)解決子問(wèn)題并保存結(jié)果來(lái)避免重復(fù)計(jì)算，最終得到最優(yōu)解。核心思想動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心思想是將問(wèn)題分解成更小的子問(wèn)題，并記錄子問(wèn)題的解，以避免重復(fù)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的特點(diǎn)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)一個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解可以由其子問(wèn)題的最優(yōu)解得到。重疊子問(wèn)題子問(wèn)題可能被多次重復(fù)計(jì)算，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以通過(guò)保存子問(wèn)題的解來(lái)避免重復(fù)計(jì)算。可存儲(chǔ)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的解可以被存儲(chǔ)，并用于后續(xù)的計(jì)算，從而提高效率。解決問(wèn)題的思路1確定最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以分解為子問(wèn)題，且子問(wèn)題之間相互獨(dú)立。2定義狀態(tài)用一個(gè)或多個(gè)變量來(lái)描述問(wèn)題的子狀態(tài)。3建立遞推關(guān)系基于狀態(tài)之間的關(guān)系，建立遞推公式。4確定邊界條件明確最小子狀態(tài)的解，作為遞推的起點(diǎn)。5計(jì)算結(jié)果根據(jù)遞推關(guān)系，逐步求解問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的解題思路是將原問(wèn)題分解為若干個(gè)相互獨(dú)立的子問(wèn)題，通過(guò)求解子問(wèn)題來(lái)得到原問(wèn)題的解。這種方法的核心在于找到問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，即問(wèn)題的最優(yōu)解可以由其子問(wèn)題的最優(yōu)解組成。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用領(lǐng)域計(jì)算機(jī)科學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃在算法設(shè)計(jì)中至關(guān)重要，廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問(wèn)題，例如最短路徑、背包問(wèn)題、字符串匹配等。經(jīng)濟(jì)學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃用于解決資源分配、投資策略等問(wèn)題，幫助決策者制定最優(yōu)方案。生物學(xué)動(dòng)態(tài)規(guī)劃可用于基因序列比對(duì)、蛋白質(zhì)折疊等問(wèn)題，幫助理解生物系統(tǒng)的復(fù)雜機(jī)制。機(jī)器學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)規(guī)劃被用于訓(xùn)練模型，例如隱馬爾可夫模型，用于語(yǔ)音識(shí)別、自然語(yǔ)言處理等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本過(guò)程1定義狀態(tài)明確問(wèn)題的子問(wèn)題2推導(dǎo)遞推方程確定子問(wèn)題之間的關(guān)系3確定邊界條件定義最小子問(wèn)題的解4計(jì)算結(jié)果根據(jù)遞推方程和邊界條件動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解問(wèn)題的步驟是明確子問(wèn)題、推導(dǎo)遞推方程、定義邊界條件，最終利用遞推方程和邊界條件計(jì)算出最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本原理最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以分解成更小的子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題的最優(yōu)解可以用于構(gòu)建更大問(wèn)題的最優(yōu)解。重疊子問(wèn)題子問(wèn)題可能重復(fù)出現(xiàn)，避免重復(fù)計(jì)算，將子問(wèn)題的解存儲(chǔ)起來(lái)以備將來(lái)使用。遞歸通過(guò)將問(wèn)題分解為子問(wèn)題，并遞歸地求解子問(wèn)題，最終得到問(wèn)題的最優(yōu)解。表格法通過(guò)表格存儲(chǔ)中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)定義狀態(tài)表示狀態(tài)通常用一個(gè)或多個(gè)變量來(lái)表示，這些變量可以是問(wèn)題中需要記錄的中間結(jié)果或決策。狀態(tài)的定義要能夠完整地描述問(wèn)題在某個(gè)階段的特定情況。狀態(tài)含義狀態(tài)的含義應(yīng)該清晰明確，能夠反映問(wèn)題在某個(gè)階段的具體情況。狀態(tài)的定義要與遞推方程和邊界條件緊密聯(lián)系。狀態(tài)空間狀態(tài)空間是指所有可能狀態(tài)的集合。狀態(tài)空間的大小會(huì)影響動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的效率，因此要盡量選擇合適的狀態(tài)定義，以減小狀態(tài)空間的大小。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推方程11.狀態(tài)轉(zhuǎn)移遞推方程描述了當(dāng)前狀態(tài)與先前狀態(tài)之間的關(guān)系。22.優(yōu)化目標(biāo)方程中的計(jì)算結(jié)果代表了優(yōu)化目標(biāo)，比如最短路徑長(zhǎng)度或最大價(jià)值。33.邊界條件遞推方程需要初始狀態(tài)或邊界條件才能啟動(dòng)計(jì)算。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的邊界條件基本情況邊界條件定義了動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題最基本的情況，通常是問(wèn)題規(guī)模最小的子問(wèn)題。這些子問(wèn)題可以直接求解，不需要進(jìn)一步分解。遞推起點(diǎn)邊界條件作為遞推方程的起點(diǎn)，為后續(xù)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃計(jì)算提供了初始值。邊界條件的正確性直接影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。如何設(shè)計(jì)狀態(tài)和遞推方程明確問(wèn)題首先要明確問(wèn)題本身，確定問(wèn)題的目標(biāo)和約束條件，例如求最大值、最小值或滿足某種條件的方案。定義狀態(tài)根據(jù)問(wèn)題的狀態(tài)，定義狀態(tài)變量，用一個(gè)或多個(gè)變量來(lái)描述問(wèn)題在不同階段的具體情況。狀態(tài)變量的選擇對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的效率至關(guān)重要。建立遞推關(guān)系找到狀態(tài)之間的遞推關(guān)系，即如何用前面階段的狀態(tài)來(lái)推算當(dāng)前階段的狀態(tài)。遞推關(guān)系是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的核心，需要仔細(xì)分析問(wèn)題，找出狀態(tài)之間的聯(lián)系。確定邊界條件確定動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的初始狀態(tài)，即最簡(jiǎn)單情況下?tīng)顟B(tài)的值。邊界條件是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的起點(diǎn)，確保算法能正確運(yùn)行。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解包含了其子問(wèn)題的最優(yōu)解。遞歸關(guān)系使用子問(wèn)題的最優(yōu)解來(lái)構(gòu)造原問(wèn)題的最優(yōu)解。分解問(wèn)題將問(wèn)題分解為更小的子問(wèn)題，遞歸求解每個(gè)子問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)的時(shí)間復(fù)雜度時(shí)間復(fù)雜度描述O(n)線性時(shí)間復(fù)雜度，隨著問(wèn)題規(guī)模的增加，時(shí)間復(fù)雜度呈線性增長(zhǎng)。O(n^2)二次方時(shí)間復(fù)雜度，隨著問(wèn)題規(guī)模的增加，時(shí)間復(fù)雜度呈平方增長(zhǎng)。O(2^n)指數(shù)時(shí)間復(fù)雜度，隨著問(wèn)題規(guī)模的增加，時(shí)間復(fù)雜度呈指數(shù)增長(zhǎng)，效率較低。動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)的空間復(fù)雜度動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的空間復(fù)雜度取決于存儲(chǔ)中間結(jié)果的空間大小。通常，需要存儲(chǔ)一個(gè)二維數(shù)組來(lái)記錄中間結(jié)果，數(shù)組的大小取決于狀態(tài)空間的大小。例如，在0-1背包問(wèn)題中，狀態(tài)空間的大小為n*W，其中n是物品的數(shù)量，W是背包的容量。因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的空間復(fù)雜度為O(n*W)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的一般形式最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問(wèn)題可以分解為子問(wèn)題，子問(wèn)題的最優(yōu)解可以構(gòu)成原問(wèn)題的最優(yōu)解。重疊子問(wèn)題子問(wèn)題可能會(huì)被重復(fù)使用，可以通過(guò)保存子問(wèn)題的解來(lái)提高效率。遞推關(guān)系子問(wèn)題的解可以通過(guò)遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算，最終得到原問(wèn)題的解。經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題-斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中最經(jīng)典的例子之一。它定義為第一個(gè)和第二個(gè)數(shù)字為1，從第三個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每個(gè)數(shù)字都是前兩個(gè)數(shù)字的和。該問(wèn)題可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決，通過(guò)建立一個(gè)遞推關(guān)系，從前兩個(gè)數(shù)字計(jì)算出每個(gè)后續(xù)數(shù)字。這展示了動(dòng)態(tài)規(guī)劃如何有效地利用子問(wèn)題的解決方案來(lái)解決更復(fù)雜的問(wèn)題。經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題-最長(zhǎng)公共子序列最長(zhǎng)公共子序列(LCS)問(wèn)題是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中經(jīng)典問(wèn)題之一。給定兩個(gè)字符串，找到它們的最長(zhǎng)公共子序列。例如，字符串“ACGT”和“AGGTAB”的最長(zhǎng)公共子序列是“AGT”，長(zhǎng)度為3。經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題-0-1背包問(wèn)題0-1背包問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。它描述了在給定容量的背包中，如何選擇物品，以使背包中物品的總價(jià)值最大化。每個(gè)物品只有一個(gè)，可以選擇或不選擇。0-1背包問(wèn)題是一個(gè)典型的組合優(yōu)化問(wèn)題，廣泛應(yīng)用于資源分配、投資組合優(yōu)化、生產(chǎn)計(jì)劃等領(lǐng)域。它展示了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的強(qiáng)大能力。經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題-最短路徑問(wèn)題城市之間路線動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以找到兩座城市之間最短路徑，例如計(jì)算旅行時(shí)間最短的路線。導(dǎo)航應(yīng)用導(dǎo)航應(yīng)用使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，例如谷歌地圖，基于道路網(wǎng)絡(luò)，快速找到最短路線。網(wǎng)絡(luò)路由網(wǎng)絡(luò)路由器使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，例如找到數(shù)據(jù)包從源到目的地最短路徑。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的求解思路1問(wèn)題分解將原始問(wèn)題分解成若干個(gè)子問(wèn)題，每個(gè)子問(wèn)題都是原問(wèn)題的子集，并具有相同的結(jié)構(gòu)。2狀態(tài)定義定義每個(gè)子問(wèn)題的狀態(tài)，即用一個(gè)或多個(gè)變量來(lái)描述子問(wèn)題的關(guān)鍵特征。3遞推關(guān)系找到子問(wèn)題之間的遞推關(guān)系，即根據(jù)已知子問(wèn)題的解來(lái)推導(dǎo)出其他子問(wèn)題的解。4邊界條件確定最小子問(wèn)題的解，作為遞推過(guò)程的起點(diǎn)，防止循環(huán)引用。5自底向上求解從最小子問(wèn)題開(kāi)始，逐步求解更大子問(wèn)題，最終得到原問(wèn)題的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)現(xiàn)步驟1定義狀態(tài)首先需要明確問(wèn)題的狀態(tài)，并將其定義為一個(gè)或多個(gè)變量。2建立遞推關(guān)系根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，確定狀態(tài)之間的遞推關(guān)系。3確定邊界條件設(shè)置一些邊界條件，用于起始狀態(tài)的計(jì)算。4編寫(xiě)代碼根據(jù)定義的狀態(tài)和遞推關(guān)系，編寫(xiě)代碼實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。5測(cè)試驗(yàn)證測(cè)試程序，確保算法的正確性。每個(gè)步驟之間環(huán)環(huán)相扣，缺一不可。例如，定義狀態(tài)需要清晰明確，才能建立正確的遞推關(guān)系。遞推關(guān)系的正確性則決定了算法的準(zhǔn)確性，而邊界條件則確保了算法的正確起始點(diǎn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的性能分析時(shí)間復(fù)雜度主要取決于狀態(tài)數(shù)量和計(jì)算每個(gè)狀態(tài)所需時(shí)間。空間復(fù)雜度通常取決于存儲(chǔ)狀態(tài)所需空間，可以優(yōu)化為只存儲(chǔ)當(dāng)前層狀態(tài)。優(yōu)化技巧空間優(yōu)化、滾動(dòng)數(shù)組、記憶化搜索。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的優(yōu)化技巧空間優(yōu)化減少空間復(fù)雜度，利用滾動(dòng)數(shù)組，在迭代過(guò)程中覆蓋舊數(shù)據(jù)，節(jié)省內(nèi)存空間。時(shí)間優(yōu)化減少時(shí)間復(fù)雜度，利用狀態(tài)壓縮，將多個(gè)狀態(tài)壓縮成一個(gè)狀態(tài)，減少計(jì)算量。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化選擇合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如使用哈希表，加速數(shù)據(jù)訪問(wèn)，提高效率。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題的典型案例最短路徑問(wèn)題尋找從起點(diǎn)到終點(diǎn)的最短路徑，應(yīng)用于地圖導(dǎo)航、物流配送等場(chǎng)景。背包問(wèn)題選擇價(jià)值最大且總重量不超過(guò)背包容量的物品組合，廣泛應(yīng)用于資源分配和投資決策。字符串匹配找到兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子序列或最長(zhǎng)公共子串，用于文本編輯、基因序列分析等領(lǐng)域。矩陣鏈乘求解矩陣連乘的最佳加括號(hào)方案，優(yōu)化矩陣乘法計(jì)算的效率，應(yīng)用于圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的局限性和擴(kuò)展局限性動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)或高維數(shù)據(jù)時(shí)，可能會(huì)面臨空間復(fù)雜度過(guò)高的問(wèn)題。對(duì)于某些問(wèn)題，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可能難以找到最優(yōu)子結(jié)構(gòu)或狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，導(dǎo)致無(wú)法應(yīng)用該方法。擴(kuò)展動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法可以擴(kuò)展到解決更復(fù)雜的問(wèn)題，例如帶約束條件的優(yōu)化問(wèn)題、多階段決策問(wèn)題以及隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。研究人員正在不斷探索新的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法和應(yīng)用領(lǐng)域。動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想在業(yè)務(wù)中的應(yīng)用1資源優(yōu)化例如，在物流配送中，可以利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法優(yōu)化配送路線，減少運(yùn)輸成本和時(shí)間。2庫(kù)存管理利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以制定最佳的庫(kù)存策略，以滿足需求的同時(shí)，降低庫(kù)存成本。3金融投資在投資組合管理中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以幫助投資者根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇最佳的投資方案。4生產(chǎn)計(jì)劃在生產(chǎn)計(jì)劃制定中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以幫助企業(yè)制定最佳的生產(chǎn)計(jì)劃，以最大化利潤(rùn)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的未來(lái)發(fā)展方向11.結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)將動(dòng)態(tài)規(guī)劃與機(jī)器學(xué)習(xí)算法相結(jié)合，提升效率和適應(yīng)性，例如使用強(qiáng)化學(xué)習(xí)來(lái)優(yōu)化動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。22.并行計(jì)算利用并行計(jì)算技術(shù)加速動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解過(guò)程，解決大規(guī)模問(wèn)題。33.分布式動(dòng)態(tài)規(guī)劃將動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題分解到多個(gè)節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行分布式計(jì)算，處理海量數(shù)據(jù)。44.應(yīng)用拓展探索動(dòng)態(tài)規(guī)劃在更多領(lǐng)域的應(yīng)用，例如人工智能、生物信息學(xué)和金融領(lǐng)域?？偨Y(jié)和展望動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用廣泛從算法設(shè)計(jì)到實(shí)際業(yè)務(wù)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)規(guī)劃都發(fā)揮著重要作用。不斷優(yōu)化改進(jìn)隨著計(jì)算