青島市李滄區(qū)2024年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/21青島市李滄區(qū)2024年八年級下學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題3分，共24分。在每個題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（3分）發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是應對氣候變化、推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2023年，中國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%，交出亮眼成績單．下列新能源汽車標志是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖形，故選：B．2．（3分）若a＞b，則下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)+4＞b+4 B．2a＞2b C．a(chǎn)c2＞bc2 D．【解答】解：A．因為a＞b，所以a+4＞b+4，故本選項不符合題意；B．因為a＞b，所以2a＞2b，故本選項不符合題意；C．當c＝0時，ac2＝bc2，故本選項符合題意；D．因為a＞b，c2+1≠0，所以＝，故本選項不符合題意．故選：C．3．（3分）在平面直角坐標系中，線段AB兩個端點的坐標分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），將線段AB平移后得到線段A′B′，若點A′的坐標為（a，﹣1），點B′的坐標為（1，1），則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【解答】解：因為B（﹣1，3）平移后得到點B′的坐標為（1，1），所以向右平移2個單位，向下平移2個單位，所以a＝﹣2+2＝0．故選：D．4．（3分）如圖，直線y＝kx+7經(jīng)過點A（﹣2，4），則不等式kx+7＞4的解集為（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4【解答】解：由圖象可得：當x＞﹣2時，kx+7＞4，故選：A．5．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接CF．若∠A＝48°，∠ECF＝28°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．152° B．132° C．124° D．104°【解答】解：因為EF是BC的垂直平分線，所以FB＝FC，所以∠FBC＝∠ECF＝28°，因為BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠FBC＝28°，所以∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣48°﹣28°＝104°，故選：D．6．（3分）房梁的一部分如圖所示，其中BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，點D是AB的中點，且DE⊥AC，垂足為E，則AE的長是（）A． B．2 C． D．4【解答】解：因為BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，所以∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以AB＝2BC＝4，因為點D是AB的中點，且DE⊥AC，所以∠ADE＝90°，AD＝AB＝2，所以DE＝AD＝1，所以AE＝＝＝，故選：A．7．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)＜1【解答】解：因為關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，所以a的取值范圍是：a≤1．故選：C．8．（3分）如圖，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，點P是y軸上任意一點，當PA+PB′的值最小時，則點P的坐標為（）A． B． C． D．（0，1）【解答】解：由圖可知A（1，1），B（3，2），將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，則B'（2，﹣1），點A關(guān)于y軸對稱的點A'（﹣1，1），連接A'B'交y軸于點P，則點P即為所求的點，設(shè)直線A'B'的解析式為：y＝kx+b，則，解得，所以直線A'B'的解析式為：y＝x+，當x＝0時，y＝，所以P（0，），故選：C．二、填空題本題共8小題，每小題3分，共24分。9．（3分）等腰三角形一底角為50°，則頂角的度數(shù)為80度．【解答】解：底角＝50°，那么頂角＝180°﹣2×50°＝80°．故填80．10．（3分）一個關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則這個不等式的解集為x≤3．【解答】解：因為3處是實心圓點，且折線向左，所以這個不等式的解集為x≤3．故答案為：x≤3．11．（3分）如圖，線段AB與CD相交于點O，且∠BOD＝60°，分別將AB和AC平移到CC′，BC′的位置．若AB＝CD＝a，則DC′的長為a．【解答】解：因為將AB和AC平移到CC′，BC′的位置，所以AB＝CC′，AB∥CC′，所以∠CCO＝∠BOD＝60°，因為AB＝CD＝a，所以CD＝CC′，所以△CDC′是等邊三角形，所以DC′＝CD＝a，故答案為：a．12．（3分）風箏又稱“紙鳶”、“風鳶”、“紙鷂（yào）”等，起源于中國東周春秋時期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風箏骨架的簡化圖，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝80cm，BD＝50cm，制作這個風箏需要的布料至少為2000cm2．【解答】解：在△ABC與△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（SSS），所以∠BAO＝∠DAO，在△ABO與△ADO中，，所以△ABO≌△ADO（SAS），所以O(shè)B＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，所以（cm2），故答案為：2000．13．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，則AB′的長度為2﹣2．【解答】解：因為將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C連接AA′，所以AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，所以∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°，所以∠CA'B'＝30°，因為AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，所以BC＝2，所以AC＝A'C＝＝2，所以AB′＝AC﹣B'C＝2﹣2，故答案為：2﹣2．14．（3分）已知關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是a＞﹣8．【解答】解：因為3x+a＝x﹣8，所以3x﹣x＝﹣8﹣a，所以2x＝﹣8﹣a，解得，因為關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負數(shù)，所以，解得a＞﹣8，故答案為：a＞﹣8．15．（3分）國際航班免費托運行李箱的尺寸通常限制為長、寬、高三邊之和不超過158厘米．某廠家生產(chǎn)符合免費托運的行李箱，已知行李箱的高為74厘米，長與寬的比為9：5，則行李箱的寬的最大值為30厘米．【解答】解：158﹣74＝84（厘米），84×＝30（厘米）．故答案為：30．16．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠AEF的平分線與∠EFC的平分線交于點P，與CD交于點M，若PE＝3，EF＝5，則△EMF的面積為12．【解答】解：因為EM平分∠AEF，所以∠AEM＝∠FEM，因為AB∥CD，所以∠AEM＝∠FME，所以∠FEM＝∠FME，所以FE＝FM，因為FP平分∠EFM，所以FP⊥EM，PM＝PE＝3，在Rt△PEF中，PF＝＝＝4，所以△EMF的面積＝×6×4＝12．故答案為：12．三、作圖題本題滿分4分。請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．（4分）已知：如圖，∠MON及邊ON上一點A．求作：在∠MON內(nèi)部的點P，使得PA⊥ON，且點P到∠MON兩邊的距離相等．【解答】解：如圖所示，點P即為所求．四、解答題本大題共8小題，共68分。18．（13分）（1）解不等式：﹣2x﹣4≤x+8；（2）解不等式：；（3）解不等式組：，并寫出它的最小負整數(shù)解．【解答】解：（1）因為﹣2x﹣4≤x+8，所以﹣2x﹣x≤8+4，﹣3x≤12，則x≥﹣4；（2）因為，所以3（2x﹣1）≥4（﹣x+1），6x﹣3≥﹣4x+4，6x+4x≥4+3，10x≥7，則x≥0.7；（3）由x+3＞0得：x＞﹣3，由2（x﹣1）+3≥3x得：x≤1，所以不等式組的解集為﹣3＜x≤1，則不等式組的最小負整數(shù)解為﹣2．19．（5分）是否存在實數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2？請說明理由．【解答】解：不存在實數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2，理由如下：根據(jù)題意，由①得x＞﹣1，由②得x＜﹣10，所以原不等式組無解，所以不存在實數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2．20．（6分）為深入踐行綠色發(fā)展理念，引導師生尊重自然、愛護自然，在第46個植樹節(jié)來臨之際，某校組織師生積極開展了“'植‘此青綠，共‘樹’未來”主題植樹活動．學校決定用不超過1800元的費用購買甲、乙兩種樹苗共60棵，已知甲種樹苗每棵36元，乙種樹苗每棵25元，則學校最多可以購買多少棵甲種樹苗？【解答】解：設(shè)學校購買x棵甲種樹苗，則購買（60﹣x）棵乙種樹苗，根據(jù)題意得：36x+25（60﹣x）≤1800，解得：x≤，又因為x為整數(shù)，所以x的最大值為27．答：學校最多可以購買27棵甲種樹苗．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝62°，∠BAC＝76°，D為BC上一點，DE交AC于點F，且AB＝AD＝DE，連接AE，∠E＝55°．請判斷△AFD的形狀，并說明理由．【解答】解：△AFD是直角三角形．理由如下：因為AB＝AD，所以∠ADB＝∠B＝62°，所以∠BAD＝180°﹣2×62°＝56°，∠DAC＝76°﹣56°＝20°．因為AD＝DE，所以∠DAE＝∠E＝55°，∠ADE＝180°﹣2×55°＝70°．因為∠DAC+∠ADE＝90°，所以△AFD是直角三角形．22．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝60°，AC＝6cm，動點D從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動；動點E同時從點C出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接DE，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜6）．（1）當t＝2時，求△DEC的面積；（2）當t為何值時，△DEC為直角三角形？【解答】解：（1）由題意得AD＝t，CE＝2t，當t＝2時，AD＝2，CE＝4，所以CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4，過E作EH⊥AC于H，在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CEH＝30°，所以CH＝2，EH＝2，所以△DEC的面積為CD?EH＝×4×2＝4；（2）當∠EDC＝90°時，因為AD＝t，CE＝2t，所以CD＝AC﹣AD＝6﹣t，在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CED＝30°，所以CE＝2CD．所以2t＝2（6﹣t），解得t＝3，所以當t為2時，△DEC為直角三角形；當∠DEC＝90°時，在Rt△EDC中，∠DEC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CDE＝30°，所以CD＝2CE．所以6﹣t＝2×2t，解得t＝，所以當t為時，△DEC為直角三角形；綜上所述，當t為2或時，△DEC為直角三角形．23．（8分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過點D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長線與AC邊的延長線交于點E，∠E＝30°．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）BF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【解答】（1）證明：因為AD垂直平分BC，所以AB＝AC，因為EF⊥AB，∠E＝30°，所以∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，所以△ABC為等邊三角形；（2）BF與AE的數(shù)量關(guān)系是：BF＝AE，理由如下：過點C作CH⊥EF于H，如下圖所示：設(shè)BF＝a，AB＝x，則AF＝AB﹣BF＝x﹣a，由（1）可知：△ABC為等邊三角形，所以AC＝AB＝x，因為EF⊥AB，所以∠BFD＝∠CHD＝90°，因為AD垂直平分BC，所以BD＝CD，在△BFD和△CHD中，，所以△BFD≌△CHD（AAS），所以BF＝CH＝a，在Rt△ECH中，∠E＝30°，所以CE＝2CH＝2a，所以AE＝AC+CE＝x+2a，在Rt△AEF中，∠E＝30°，所以AE＝2AF，即x+2a＝2（x﹣a），所以x＝4a，所以AE＝x+2a＝6a，因為BF＝a，所以BF＝AE．24．（10分）2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年，某購物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個售價比A種多2元；購買20個A種龍年吉祥物和30個B種龍年吉祥物共需花費360元．（1）A，B兩種吉祥物每件售價各是多少？（2）某愛心團隊計劃購買A種吉祥物送給特教學校的學生們作為新年禮物，且購買數(shù)量超過50個，購物中心給出兩種優(yōu)惠方案：方案一：每個均按原售價的8折優(yōu)惠；方案二：前30個按原售價付款，超過30個的部分每個按原售價的5折優(yōu)惠．愛心團隊選擇哪種方案購買更合算？（3）若購買A，B兩種龍年吉祥物共60個，且購買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購買多少個A種龍年吉祥物花費最少？最少花費是多少？【解答】解：（1）設(shè)A種吉祥物每件售價a元，則B種吉祥物每件售價（a+2）元．根據(jù)題意，得20a+30（a+2）＝360，解得a＝6，6+2＝8（元），所以A種吉祥物每件售價6元，B種吉祥物每件售價8元．（2）設(shè)購買數(shù)量為x個，按方案一購買需要y1元，按方案二購買需要y2元．根據(jù)題意，y1＝0.8×6x＝4.8x，y2＝6×30+0.5×6（x﹣30）＝3x+90．y1﹣y2＝4.8x﹣（3x+90）＝1.8x﹣90，因為x＞50，所以1.8x﹣90＞0，所以y1＞y2，所以愛心團隊選擇方案二購買更合算．（3）設(shè)購買A種吉祥物m個，則購買B種吉祥物（60﹣m）個．根據(jù)題意，得m≤3（60﹣m），解得m≤45．設(shè)購買A，B兩種龍年吉祥物共花費W元，則W＝6m+8（60﹣m）＝﹣2m+480，因為﹣2＜0，所以W隨m的增大而減小，因為m≤45，所以當m＝45時，W取最小值，W最?。僵?×45+480＝390，所以購買45個A種龍年吉祥物花費最少，最少花費是390元．25．（10分）【定義新知】給定兩個不等式P和Q，若不等式P的任意一個解，都是不等式Q的一個解，則稱不等式P為不等式Q的“子集”．例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．同理，給定兩個不等式組M和N，若不等式組M的任意一個解，都是不等式組N的一個解，則稱不等式組M為不等式組N的“子集”．例如：不等式組M：是不等式組N：的子集．【新知應用】（1）請寫出不等式x＜2的一個子集x＜1（答案不唯一）；（2）若不等式組A：，不等式組B：，則其中不等式組A是不等式組M：的“子集”（填：A或B）；（3）若關(guān)于x的不等式組是