青島市李滄區(qū)2024年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/21青島市李滄區(qū)2024年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題3分，共24分。在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（3分）發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是應(yīng)對(duì)氣候變化、推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措.2023年，中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%，交出亮眼成績(jī)單．下列新能源汽車標(biāo)志是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，故選：B．2．（3分）若a＞b，則下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)+4＞b+4 B．2a＞2b C．a(chǎn)c2＞bc2 D．【解答】解：A．因?yàn)閍＞b，所以a+4＞b+4，故本選項(xiàng)不符合題意；B．因?yàn)閍＞b，所以2a＞2b，故本選項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，故本選項(xiàng)符合題意；D．因?yàn)閍＞b，c2+1≠0，所以＝，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，1），B（﹣1，3），將線段AB平移后得到線段A′B′，若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a，﹣1），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【解答】解：因?yàn)锽（﹣1，3）平移后得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），所以向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，所以a＝﹣2+2＝0．故選：D．4．（3分）如圖，直線y＝kx+7經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，4），則不等式kx+7＞4的解集為（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜4【解答】解：由圖象可得：當(dāng)x＞﹣2時(shí)，kx+7＞4，故選：A．5．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝48°，∠ECF＝28°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．152° B．132° C．124° D．104°【解答】解：因?yàn)镋F是BC的垂直平分線，所以FB＝FC，所以∠FBC＝∠ECF＝28°，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠FBC＝28°，所以∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣48°﹣28°＝104°，故選：D．6．（3分）房梁的一部分如圖所示，其中BC⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AC，垂足為E，則AE的長(zhǎng)是（）A． B．2 C． D．4【解答】解：因?yàn)锽C⊥AC，∠B＝60°，BC＝2，所以∠ACB＝90°，∠A＝30°，所以AB＝2BC＝4，因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且DE⊥AC，所以∠ADE＝90°，AD＝AB＝2，所以DE＝AD＝1，所以AE＝＝＝，故選：A．7．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)＜1【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式組的解集為x＞1，所以a的取值范圍是：a≤1．故選：C．8．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，點(diǎn)P是y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)PA+PB′的值最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．（0，1）【解答】解：由圖可知A（1，1），B（3，2），將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，則B'（2，﹣1），點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)A'（﹣1，1），連接A'B'交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，設(shè)直線A'B'的解析式為：y＝kx+b，則，解得，所以直線A'B'的解析式為：y＝x+，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，所以P（0，），故選：C．二、填空題本題共8小題，每小題3分，共24分。9．（3分）等腰三角形一底角為50°，則頂角的度數(shù)為80度．【解答】解：底角＝50°，那么頂角＝180°﹣2×50°＝80°．故填80．10．（3分）一個(gè)關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則這個(gè)不等式的解集為x≤3．【解答】解：因?yàn)?處是實(shí)心圓點(diǎn)，且折線向左，所以這個(gè)不等式的解集為x≤3．故答案為：x≤3．11．（3分）如圖，線段AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠BOD＝60°，分別將AB和AC平移到CC′，BC′的位置．若AB＝CD＝a，則DC′的長(zhǎng)為a．【解答】解：因?yàn)閷B和AC平移到CC′，BC′的位置，所以AB＝CC′，AB∥CC′，所以∠CCO＝∠BOD＝60°，因?yàn)锳B＝CD＝a，所以CD＝CC′，所以△CDC′是等邊三角形，所以DC′＝CD＝a，故答案為：a．12．（3分）風(fēng)箏又稱“紙鳶”、“風(fēng)鳶”、“紙鷂（yào）”等，起源于中國(guó)東周春秋時(shí)期，距今已有2000多年的歷史．如圖是一款風(fēng)箏骨架的簡(jiǎn)化圖，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝80cm，BD＝50cm，制作這個(gè)風(fēng)箏需要的布料至少為2000cm2．【解答】解：在△ABC與△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（SSS），所以∠BAO＝∠DAO，在△ABO與△ADO中，，所以△ABO≌△ADO（SAS），所以O(shè)B＝OD，∠AOB＝∠AOD＝90°，所以（cm2），故答案為：2000．13．（3分）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C，連接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，則AB′的長(zhǎng)度為2﹣2．【解答】解：因?yàn)閷t△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C連接AA′，所以AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，所以∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°，所以∠CA'B'＝30°，因?yàn)锳B＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，所以BC＝2，所以AC＝A'C＝＝2，所以AB′＝AC﹣B'C＝2﹣2，故答案為：2﹣2．14．（3分）已知關(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞﹣8．【解答】解：因?yàn)?x+a＝x﹣8，所以3x﹣x＝﹣8﹣a，所以2x＝﹣8﹣a，解得，因?yàn)殛P(guān)于x的方程3x+a＝x﹣8的根是負(fù)數(shù)，所以，解得a＞﹣8，故答案為：a＞﹣8．15．（3分）國(guó)際航班免費(fèi)托運(yùn)行李箱的尺寸通常限制為長(zhǎng)、寬、高三邊之和不超過158厘米．某廠家生產(chǎn)符合免費(fèi)托運(yùn)的行李箱，已知行李箱的高為74厘米，長(zhǎng)與寬的比為9：5，則行李箱的寬的最大值為30厘米．【解答】解：158﹣74＝84（厘米），84×＝30（厘米）．故答案為：30．16．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠AEF的平分線與∠EFC的平分線交于點(diǎn)P，與CD交于點(diǎn)M，若PE＝3，EF＝5，則△EMF的面積為12．【解答】解：因?yàn)镋M平分∠AEF，所以∠AEM＝∠FEM，因?yàn)锳B∥CD，所以∠AEM＝∠FME，所以∠FEM＝∠FME，所以FE＝FM，因?yàn)镕P平分∠EFM，所以FP⊥EM，PM＝PE＝3，在Rt△PEF中，PF＝＝＝4，所以△EMF的面積＝×6×4＝12．故答案為：12．三、作圖題本題滿分4分。請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．（4分）已知：如圖，∠MON及邊ON上一點(diǎn)A．求作：在∠MON內(nèi)部的點(diǎn)P，使得PA⊥ON，且點(diǎn)P到∠MON兩邊的距離相等．【解答】解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求．四、解答題本大題共8小題，共68分。18．（13分）（1）解不等式：﹣2x﹣4≤x+8；（2）解不等式：；（3）解不等式組：，并寫出它的最小負(fù)整數(shù)解．【解答】解：（1）因?yàn)椹?x﹣4≤x+8，所以﹣2x﹣x≤8+4，﹣3x≤12，則x≥﹣4；（2）因?yàn)?，所?（2x﹣1）≥4（﹣x+1），6x﹣3≥﹣4x+4，6x+4x≥4+3，10x≥7，則x≥0.7；（3）由x+3＞0得：x＞﹣3，由2（x﹣1）+3≥3x得：x≤1，所以不等式組的解集為﹣3＜x≤1，則不等式組的最小負(fù)整數(shù)解為﹣2．19．（5分）是否存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2？請(qǐng)說明理由．【解答】解：不存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2，理由如下：根據(jù)題意，由①得x＞﹣1，由②得x＜﹣10，所以原不等式組無(wú)解，所以不存在實(shí)數(shù)x，使得x﹣1＜2x，且+3＜﹣2．20．（6分）為深入踐行綠色發(fā)展理念，引導(dǎo)師生尊重自然、愛護(hù)自然，在第46個(gè)植樹節(jié)來臨之際，某校組織師生積極開展了“'植‘此青綠，共‘樹’未來”主題植樹活動(dòng)．學(xué)校決定用不超過1800元的費(fèi)用購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共60棵，已知甲種樹苗每棵36元，乙種樹苗每棵25元，則學(xué)校最多可以購(gòu)買多少棵甲種樹苗？【解答】解：設(shè)學(xué)校購(gòu)買x棵甲種樹苗，則購(gòu)買（60﹣x）棵乙種樹苗，根據(jù)題意得：36x+25（60﹣x）≤1800，解得：x≤，又因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的最大值為27．答：學(xué)校最多可以購(gòu)買27棵甲種樹苗．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠B＝62°，∠BAC＝76°，D為BC上一點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F，且AB＝AD＝DE，連接AE，∠E＝55°．請(qǐng)判斷△AFD的形狀，并說明理由．【解答】解：△AFD是直角三角形．理由如下：因?yàn)锳B＝AD，所以∠ADB＝∠B＝62°，所以∠BAD＝180°﹣2×62°＝56°，∠DAC＝76°﹣56°＝20°．因?yàn)锳D＝DE，所以∠DAE＝∠E＝55°，∠ADE＝180°﹣2×55°＝70°．因?yàn)椤螪AC+∠ADE＝90°，所以△AFD是直角三角形．22．（8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝60°，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接DE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜6）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，求△DEC的面積；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEC為直角三角形？【解答】解：（1）由題意得AD＝t，CE＝2t，當(dāng)t＝2時(shí)，AD＝2，CE＝4，所以CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4，過E作EH⊥AC于H，在Rt△EHC中，∠EHC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CEH＝30°，所以CH＝2，EH＝2，所以△DEC的面積為CD?EH＝×4×2＝4；（2）當(dāng)∠EDC＝90°時(shí)，因?yàn)锳D＝t，CE＝2t，所以CD＝AC﹣AD＝6﹣t，在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CED＝30°，所以CE＝2CD．所以2t＝2（6﹣t），解得t＝3，所以當(dāng)t為2時(shí)，△DEC為直角三角形；當(dāng)∠DEC＝90°時(shí)，在Rt△EDC中，∠DEC＝90°，∠BCA＝60°，所以∠CDE＝30°，所以CD＝2CE．所以6﹣t＝2×2t，解得t＝，所以當(dāng)t為時(shí)，△DEC為直角三角形；綜上所述，當(dāng)t為2或時(shí)，△DEC為直角三角形．23．（8分）如圖，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足為D，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線與AC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，∠E＝30°．（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）BF與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解答】（1）證明：因?yàn)锳D垂直平分BC，所以AB＝AC，因?yàn)镋F⊥AB，∠E＝30°，所以∠BAC＝90°﹣∠E＝60°，所以△ABC為等邊三角形；（2）BF與AE的數(shù)量關(guān)系是：BF＝AE，理由如下：過點(diǎn)C作CH⊥EF于H，如下圖所示：設(shè)BF＝a，AB＝x，則AF＝AB﹣BF＝x﹣a，由（1）可知：△ABC為等邊三角形，所以AC＝AB＝x，因?yàn)镋F⊥AB，所以∠BFD＝∠CHD＝90°，因?yàn)锳D垂直平分BC，所以BD＝CD，在△BFD和△CHD中，，所以△BFD≌△CHD（AAS），所以BF＝CH＝a，在Rt△ECH中，∠E＝30°，所以CE＝2CH＝2a，所以AE＝AC+CE＝x+2a，在Rt△AEF中，∠E＝30°，所以AE＝2AF，即x+2a＝2（x﹣a），所以x＝4a，所以AE＝x+2a＝6a，因?yàn)锽F＝a，所以BF＝AE．24．（10分）2024年是中國(guó)農(nóng)歷甲辰龍年，某購(gòu)物中心有A，B兩種龍年吉祥物出售．B種每個(gè)售價(jià)比A種多2元；購(gòu)買20個(gè)A種龍年吉祥物和30個(gè)B種龍年吉祥物共需花費(fèi)360元．（1）A，B兩種吉祥物每件售價(jià)各是多少？（2）某愛心團(tuán)隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買A種吉祥物送給特教學(xué)校的學(xué)生們作為新年禮物，且購(gòu)買數(shù)量超過50個(gè)，購(gòu)物中心給出兩種優(yōu)惠方案：方案一：每個(gè)均按原售價(jià)的8折優(yōu)惠；方案二：前30個(gè)按原售價(jià)付款，超過30個(gè)的部分每個(gè)按原售價(jià)的5折優(yōu)惠．愛心團(tuán)隊(duì)選擇哪種方案購(gòu)買更合算？（3）若購(gòu)買A，B兩種龍年吉祥物共60個(gè)，且購(gòu)買A種的數(shù)量不多于B種的3倍，購(gòu)買多少個(gè)A種龍年吉祥物花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少？【解答】解：（1）設(shè)A種吉祥物每件售價(jià)a元，則B種吉祥物每件售價(jià)（a+2）元．根據(jù)題意，得20a+30（a+2）＝360，解得a＝6，6+2＝8（元），所以A種吉祥物每件售價(jià)6元，B種吉祥物每件售價(jià)8元．（2）設(shè)購(gòu)買數(shù)量為x個(gè)，按方案一購(gòu)買需要y1元，按方案二購(gòu)買需要y2元．根據(jù)題意，y1＝0.8×6x＝4.8x，y2＝6×30+0.5×6（x﹣30）＝3x+90．y1﹣y2＝4.8x﹣（3x+90）＝1.8x﹣90，因?yàn)閤＞50，所以1.8x﹣90＞0，所以y1＞y2，所以愛心團(tuán)隊(duì)選擇方案二購(gòu)買更合算．（3）設(shè)購(gòu)買A種吉祥物m個(gè)，則購(gòu)買B種吉祥物（60﹣m）個(gè)．根據(jù)題意，得m≤3（60﹣m），解得m≤45．設(shè)購(gòu)買A，B兩種龍年吉祥物共花費(fèi)W元，則W＝6m+8（60﹣m）＝﹣2m+480，因?yàn)椹?＜0，所以W隨m的增大而減小，因?yàn)閙≤45，所以當(dāng)m＝45時(shí)，W取最小值，W最?。僵?×45+480＝390，所以購(gòu)買45個(gè)A種龍年吉祥物花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是390元．25．（10分）【定義新知】給定兩個(gè)不等式P和Q，若不等式P的任意一個(gè)解，都是不等式Q的一個(gè)解，則稱不等式P為不等式Q的“子集”．例如：不等式P：x＞4是Q：x＞2的子集．同理，給定兩個(gè)不等式組M和N，若不等式組M的任意一個(gè)解，都是不等式組N的一個(gè)解，則稱不等式組M為不等式組N的“子集”．例如：不等式組M：是不等式組N：的子集．【新知應(yīng)用】（1）請(qǐng)寫出不等式x＜2的一個(gè)子集x＜1（答案不唯一）；（2）若不等式組A：，不等式組B：，則其中不等式組A是不等式組M：的“子集”（填：A或B）；（3）若關(guān)于x的不等式組是