松原市長嶺縣2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案

6/28松原市長嶺縣2024年八年級上學期《數(shù)學》期中試題與參考答案一、選擇題每小題2分，共20分。1．（2分）冬季奧林匹克運動會是世界上規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，下列四個圖是歷屆冬奧會圖標中的一部分，其中是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項B、C、D不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形，故選：A．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）在平面直角坐標系中，若點P（a﹣3，1）與點Q（2，b+1），則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質(zhì)：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，即可得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：因為點P（a﹣3，1）與點Q（4，所以a﹣3＝2，b+7＝﹣1，所以a＝5，b＝﹣3，則a+b＝5﹣2＝8．故選：C．【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶關于x軸對稱點的符號關系是解題關鍵．3．（2分）若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三邊關系定理得：5﹣3＜a＜2+3，即2＜a＜7，即符合的只有3，故選：C．【點評】本題考查了三角形三邊關系定理，能根據(jù)定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此題的關鍵，注意：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊．4．（2分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，若∠B＝40°，∠C＝60°則∠ADE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義和已知得到∠BAD＝∠DAC，由此解答即可．【解答】解：因為∠B＝40°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，因為AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC＝40°，因為DE⊥AC，所以∠AED＝90°，所以∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°，故選：C．【點評】本題考查的是角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理的應用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°、角平分線的定義是解題的關鍵．5．（2分）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能證明△ABC和△DCB全等的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D【分析】根據(jù)證明三角形全等的條件AAS，SAS，ASA，SSS逐一驗證選項即可．【解答】解：在△ABC和△DCB中，因為∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，A：當∠ABC＝∠DCB時，△ABC≌△DCB（ASA），故A能證明；B：當AB＝DC時，不能證明兩三角形全等，故B不能證明；C：當AC＝DB時，△ABC≌△DCB（SAS），故C能證明；D：當∠A＝∠D時，△ABC≌△DCB（AAS），故D能證明；故選：B．【點評】本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關鍵．6．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，則CF的長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】連接AF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)可求解∠B＝∠C＝30°，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解CF的長．【解答】解：連接AF，因為AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B＝∠C＝30°，因為EF垂直平分AB，所以BF＝AF，所以∠BAF＝∠B＝30°，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以CF＝2AF＝2BF，因為BF＝2，所以CF＝4．故選：B．二、填空題每小題3分，共24分。7．（3分）一個多邊形的每個外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，這個多邊形是四邊形．【分析】首先求得外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形外角和＝360°，利用360°除以外角的度數(shù)即可解決問題．【解答】解：因為每個外角都等于與它相鄰的內(nèi)角，所以每個外角的度數(shù)是：90°，則邊數(shù)是：＝4．故答案為：四．【點評】本題主要考查了多邊形的外角和等于360度，難度適中．8．（3分）等腰三角形的兩邊長分別為8，6，這個三角形的周長為20或22．【分析】根據(jù)三角形三邊關系分類計算周長即可．【解答】解：根據(jù)三角形三邊關系，①當8為腰時，周長＝8+8+6＝22；②當6位腰時，周長＝4+6+8＝20；故答案為：20或22．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關鍵．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝70°，則∠1+∠2＝250°．【分析】首先求得∠B+∠A，然后利用四邊形內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：因為∠B+∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110，所以∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣110°＝250°．故答案為：250°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及四邊形的內(nèi)角和，理解定理是關鍵．10．（3分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積是24，AE＝6則點B到ED的距離是2．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積，即可解答．【解答】解：因為AD是BC上的中線，所以S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，因為BE是△ABD中AD邊上的中線，所以S△ABE＝S△BED＝S△ABD，所以S△ABE＝S△ABC，因為△ABC的面積是24，所以S△ABE＝×24＝5．因為AE＝6，所以點B到ED的距離＝2，故答案為：4．【點評】本題主要考查了三角形面積的求法，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，是解答本題的關鍵．11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，則∠A＝80°．【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)結合三角形內(nèi)角和定理得出∠BOC＝90°+∠A，進而得出答案．【解答】解：因為BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，又因為∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，所以2∠OBC+2∠OCB+∠A＝180°，所以∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，又因為∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，所以90°﹣∠A+∠BOC＝180°，所以∠BOC＝90°+∠A，因為∠BOC＝130°，所以90°+∠A＝130°，解得：∠A＝80°．故答案為：80°．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，正確得出∠BOC＝90°+∠A是解題關鍵．12．（3分）如圖，某輪船以20海里/時的速度自西向東航行，在A處測得有一小島P在北偏東60°的方向上，這時間得該小島P在北偏東30°的方向上，則輪船在B處時與小島P的距離是40海里．【分析】首先根據(jù)題意可得∠PAB的度數(shù)為30°，∠ABP的度數(shù)為120°，由三角形的內(nèi)角和定理可得∠APB的度數(shù)；利用等腰三角形的性質(zhì)可得PB＝AB，易得結果．【解答】解：因為∠DAP＝60°，所以∠PAB＝90°﹣60°＝30°，因為∠PBE＝30°，所以∠ABP＝90°+30°＝120°，所以∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣120°＝30°，因為∠PAB＝∠APB＝30°，所以△PAB為等腰三角形，所以PB＝AB＝20×2＝40（海里）所以B處時與小島P的距離為40海里．故答案為：40．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣方向角，等腰三角形的性質(zhì)，證得△PAB為等腰三角形是解答此題的關鍵．13．（3分）如圖，等腰直角三角形ABC的直角頂點C與坐標原點重合，分別過點A、B作x軸的垂線，點A的坐標為（﹣2，5），則線段DE的長為7．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OA＝BO，∠AOB＝90°，證明△ADO≌△OEB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝OE＝5，OD＝BE＝2，則可得出答案．【解答】解：因為A（﹣2，5），所以AD＝6，OD＝2，因為△ABO為等腰直角三角形，所以OA＝BO，∠AOB＝90°，所以∠AOD+∠DAO＝∠AOD+∠BOE＝90°，所以∠DAO＝∠BOE，在△ADO和△OEB中，，所以△ADO≌△OEB（AAS），所以AD＝OE＝5，OD＝BE＝3，所以DE＝OD+OE＝5+2＝3，故答案為：7．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．14．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，以適當?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E、F，D為BC的中點，M為直線EF上任意一點，△ABC的面積為10，則BM+MD的最小值是5．【分析】連接AD，AM，如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，則可根據(jù)三角形面積公式求出AD＝5，利用基本作圖得到EF垂直平分AB，則MA＝MB，所以MB+MD＝MA+MD≥AD（當且僅當A、M、D共線，即M點為EF與AD的交點時取等號），從而得到BM+MD的最小值．【解答】解：連接AD，AM，因為AB＝AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC，因為△ABC的面積為10，所以×2×AD＝10，由作法得EF垂直平分AB，所以MA＝MB，因為MB+MD＝MA+MD，而MA+MD≥AD（當且僅當A、M、D共線，所以MA+MD的最小值為5，所以BM+MD的最小值是5．故答案為8．三、解答題每小題5分，共20分。15．（5分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°求∠DAE的度數(shù)．【分析】由三角形的內(nèi)角和可得∠BAC＝70°，再由角平分線可求得∠BAE＝∠EAC＝35°，從而可得∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，結合AD⊥BC，即可求∠DAE的度數(shù)．【解答】解：因為∠B＝40°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，因為AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠EAC＝35°，所以∠AEC＝∠B+∠BAE＝75°，因為AD⊥BC，所以∠ADE＝90°，所以∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝15°．【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，解答的關鍵是熟記三角形內(nèi)角和為180°．16．（5分）已知：如圖，點A，D，C在同一直線上，AC＝CE，∠B+∠ADE＝180°．求證：BC＝DE．【分析】由AB與EC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，利用同角的補角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ABC與三角形CDE全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證．【解答】證明：因為AB∥EC，所以∠A＝∠DCE，因為∠B+∠ADE＝180°，又因為∠ADE+∠EDC＝180°，所以∠B＝∠EDC，在△ABC和△CDE中，，所以△ABC≌△CDE（AAS），所以BC＝DE．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．17．（5分）如圖，六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，求∠D+∠E的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得∠A+∠B的度數(shù)，然后利用軸對稱的性質(zhì)求得∠E+∠D的度數(shù)即可．【解答】解：因為六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，所以∠A＝∠E，∠B＝∠D，因為∠AFC+∠BCF＝150°，所以∠A+∠B＝360°﹣150°＝210°所以∠E+∠D＝∠A+∠B＝210°．【點評】此題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，關鍵是掌握軸對稱圖形的對稱軸兩邊的圖形能完全重合．18．（5分）如圖，已知D為BC的中點，DE⊥AB，點E，F(xiàn)為垂足，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．【分析】利用“HL”證明△BED和△CFD全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠B＝∠C，然后根據(jù)等角對等邊得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．【解答】證明：因為D是BC的中點，所以BD＝CD，因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，，所以Rt△BED≌Rt△CFD（HL），所以∠B＝∠C，所以AB＝AC（等角對等邊）．因為∠BDE＝30°，DE⊥AB，所以∠B＝60°，所以△ABC是等邊三角形．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解題的關鍵是證明△BED≌△CFD．四、解答題（每選題7分，共28分）19．（7分）如圖，把△ABC放置在4×4的正方形網(wǎng)格紙中，三角形的頂點都在格點上．在網(wǎng)格紙中用三種不同的方法畫出與△ABC有一條公共邊且與△ABC成軸對稱的三角形（要求頂點都在格點上）．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)以及題目要求作出圖形即可．【解答】解：如圖，三角形即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，軸對稱圖形等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．20．（7分）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝48°，求∠BDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法AAS，即可判斷△AEC≌△BED；（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解．【解答】證明：（1）因為∠ADE＝∠1+∠C所以∠2+∠BDE＝∠7+∠C，且∠1＝∠2，所以∠C＝∠BDE，且AE＝BE，所以△AEC≌△BED（AAS）；（2）因為△AEC≌△BED，所以ED＝EC，∠BDE＝∠C，所以∠EDC＝∠C＝＝66°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△AEC≌△BED是本題的關鍵．21．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，連接AE、DE、DC．①求證：△ABE≌△CBD；②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．【分析】①利用SAS即可得證；②由全等三角形對應角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．【解答】①證明：在△ABE和△CBD中，，所以△ABE≌△CBD（SAS）；②解：因為在△ABC中，AB＝CB，所以∠BAC＝∠ACB＝45°，由①得：△ABE≌△CBD，所以∠AEB＝∠BDC，因為∠AEB為△AEC的外角，所以∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，則∠BDC＝75°．22．（7分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝10，BE＝2，求AB的長．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，由線段的和差關系求出答案．【解答】（1）證明：因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE與Rt△CDF中，，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE＝DF，又因為DE⊥AB，DF⊥AC，所以AD平分∠BAC；（2）解：因為Rt△BDE≌Rt△CDF，BE＝2，所以CF＝BE＝2，因為AC＝10，所以AF＝AC﹣CF＝10﹣5＝8，在Rt△ADE與Rt△ADF中，，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以AE＝AF＝8，所以AB＝AE﹣BE＝7﹣2＝6．五、解答題每題題8分，共16分。23．（8分）如圖所示，在等邊三角形ABC中，P、Q是BC邊上的兩點，∠BAP＝20°．（1）求∠AQB的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，點Q關于直線AC的時稱點為M，求證：AP＝PM．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠APB，進而解答即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的判定得出△APM是等腰三角形，進而解答即可．【解答】（1）解：因為△ABC是等邊三角形，所以AB＝AC，∠B＝60°，因為∠BAP＝20°，所以∠APB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，所以∠APQ＝180°﹣100°＝80°，因為AP＝AQ，所以∠AQB＝∠APQ＝80°；（2）證明：因為點Q關于直線AC的時稱點為M，所以AC垂直平分QM，所以AQ＝AM，∠QAC＝∠CAM，因為AP＝AQ，所以AP＝AM，所以△APM是等腰三角形，在△APQ中，∠APQ＝∠AQP＝80°，所以∠PAQ＝20°，所以∠PAQ＝∠QAC＝∠CAM＝20°，所以∠PAM＝60°，所以△APM是等邊三角形，所以AP＝PM．【點評】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠APB解答．24．（8分）特例探究：如圖1，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點，連接BD歸納證明：如圖2，已知在△ABC中，AB＝CB，D為AC邊的中點，連接BD，DE交AB于M，DF交BC于N．證明：DM＝DN．拓展應用：如圖2，AC＝2m（m＞0）其他條件都不發(fā)生變化（用含m的代數(shù)式表示）．【分析】特例探究：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三線合一，直接證得△ABD是等腰直角三角形即可；歸納證明：證得△DMA≌△DNB（ASA），即可得出答案；拓展應用：由歸納證明可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），由此得出Rt△DEF與△ABC的重疊部分（四邊形DMBN）的面積是△ABC面積的一半，得出結論．【解答】特例探究：解：△ABD是等腰直角三角形．理由：因為AB＝BC，∠ABC＝90°，所以△ABC為等腰直角三角形，因為D為AC邊的中點，所以BD⊥AC，AD＝CD＝，BD＝，所以AD＝BD，所以△ABD是等腰直角三角形．歸納證明：證明：因為AB＝CB，所以∠A＝∠C＝45°，因為D是AC的中點，所以DA＝DC＝BD，∠DBN＝45°所以∠ADB＝∠ADM+∠BDM＝90°，所以∠A＝∠DBN．因為∠EDF＝90°，所以∠BDN+∠BDM＝90°，所以∠ADM＝∠BDN在△DMA和△DBN中，所以△DMA≌△DBN（ASA），所以DM＝DN．拓展應用：解：因為AC＝2m，△ABC為等腰直角三角形，所以AB＝BC＝m，由歸納證明，可知△DMA≌△DNB（ASA），同理可得△BDM≌△DCN（ASA），所以S四邊形DMBN＝S△BDM+S△DBN＝S△ABC＝××m×，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應用，理解定理是解答此題的關鍵．六、解答題（每道題10分，共20分）25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，DE交線段AC于E．（1）當∠BDA＝115°時，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以【分析】（1）利用平角的定義和三角形外角的性質(zhì)可得答案；（2）當DC＝2時，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．【解答】解：（1）因為∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，所以∠EDC＝180°﹣∠BDA﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，因為∠C＝40°，所以∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180﹣25°﹣40°＝115°，故答案為：25°，115°；（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE因為∠C＝40°，所以∠DEC+∠EDC＝140°，因為∠ADE＝40°，所以∠ADB+∠EDC＝140°，所以∠ADB＝∠DEC，因為∠B＝∠C，AB＝DC，所以△ABD≌△DCE（AAS）；（3）△ADE的形狀可以是等腰三角形；當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，理由如下：因為∠BDA＝110°時，所以∠ADC＝70°，因為∠C＝40°，所以∠DAE＝70°，所以∠AED＝180°﹣70°﹣40°＝70°所以△ADE的形狀是等腰三角形；因為當∠BDA的度數(shù)為80°時，所以∠ADC＝100°，因為∠C＝40°，所以∠DAE＝40°，所以∠DAE＝∠ADE所