第三章 函數(shù)的概念與性質（16類題型清單）-2024-2025學年高一數(shù)學單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第三章函數(shù)的概念與性質（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點01：函數(shù)的概念一般地，設，是非空的實數(shù)集，如果對于集合中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．知識點02：求函數(shù)解析式1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．2、換元法：主要用于解決已知這類復合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問題，在使用換元法時特別注意，換元必換范圍.3、配湊法：由已知條件，可將改寫成關于的表達式，4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。知識點03：函數(shù)的單調性1.1增函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).1.2減函數(shù)一般地，設函數(shù)的定義域為，區(qū)間，如果，當時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）特別地，當函數(shù)在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).2、函數(shù)的單調性與單調區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間叫做的單調區(qū)間．知識點04：函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最大值；2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在實數(shù)滿足：①，都有②，使得那么稱是函數(shù)的最小值；知識點05：復合函數(shù)的單調性（同增異減）一般地，對于復合函數(shù)，單調性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內層函數(shù)與外層函數(shù)單調性相同時，復合函數(shù)為增函數(shù)；內層函數(shù)與外層函數(shù)單調性不同時，復合函數(shù)為減函數(shù)：：令：和增增增增減減減增減減減增知識點06：函數(shù)的奇偶性1、定義：1.1偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).1.2奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).1.3判斷函數(shù)的奇偶性：，在它們的公共定義域上有下面的結論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)知識點07一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個的自變量“”③中是常數(shù)知識點08：冪函數(shù)的圖象與性質1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）當時，我們得到五個冪函數(shù)：；；；；2、五個冪函數(shù)的性質定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調性在上單調遞增在上單調遞減在單調遞增在上單調遞增在單調遞增在上單調遞減在上單調遞減定點0303題型歸納題型一函數(shù)的定義域例題1．（23-24高一上·四川樂山·期中）函數(shù)定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解析式有意義列式計算即可.【詳解】由題知，解得，所以函數(shù)的定義域為．故選：B.例題2．（23-24高一上·上?！て谀┖瘮?shù)的定義域為區(qū)間，則函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解方法可得答案.【詳解】因為函數(shù)的定義域為區(qū)間，所以，令，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：例題3．（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函數(shù)定義域為，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得對任意恒成立，結合二次函數(shù)的性質求解即可.【詳解】解：由題意可得對任意恒成立，所以，解得，所以實數(shù)取值范圍是.故答案為：鞏固訓練1．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）函數(shù)的定義域為，函數(shù)，則的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域的性質，結合二次根式的性質，分母不為零的性質進行求解即可.【詳解】由函數(shù)的定義域為，可得函數(shù)的定義域為，函數(shù)，可得解得，所以函數(shù)定義域為．故選：D．2．（23-24高二下·江蘇南京·期末）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用函數(shù)的定義域為,轉化為恒成立,然后通過分類討論和兩種情況分別求得a的取值范圍，可得解.【詳解】的定義域為，是使在實數(shù)集上恒成立.若時,要使恒成立,則有且,即,解得.若時，化為，恒成立，所以滿足題意，所以故答案為：.3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【答案】【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，可得，∴函數(shù)的定義域為，令，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為：題型二求函數(shù)值域例題1．（23-24高一上·浙江·階段練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離參數(shù)后，利用二次函數(shù)的性質求解最值，即可結合不等式的性質求解.【詳解】由可得，由于函數(shù)，所以，故，故選：B例題2．（23-24高一上·河南平頂山·期中）已知函數(shù)，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)整理成，然后利用二次函數(shù)的性質即可求解【詳解】，，故，故函數(shù)值域為.故選：B例題3．（23-24高一上·四川內江·階段練習）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】利用換元法，結合二次函數(shù)的性質即可得解.【詳解】設，則，，所以，因為，在上單調遞減，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.例題4．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域為【答案】【分析】利用反比例函數(shù)的定義域和值域都是，來求分式函數(shù)的值域.【詳解】因為，又因為，所以，所以函數(shù)的值域為．故答案為：.鞏固訓練1．（23-24高三·北京·強基計劃）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【分析】利用判別式可求函數(shù)的值域.【詳解】設題中函數(shù)為，則，當時，；當時，視其為關于x的二次方程，判別式，綜上，故值域為．故選：C.2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函數(shù)，的值域為．【答案】【分析】對函數(shù)解析式配方后，即可求出最小值，再考慮區(qū)間端點函數(shù)值的大小，即可求解.【詳解】因為，則又故函數(shù)的值域為故答案為：3．（23-24高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域為.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，可求出結果.【詳解】令，則，所以.故答案為：.4．（23-24高一上·浙江寧波·階段練習）函數(shù)在上的值域是.【答案】【分析】將函數(shù)變形為，當時，；當時，，利用對勾函數(shù)的性質和不等式的性質可解.【詳解】函數(shù)，當時，；當時，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知：當時，，則，所以，當時，，則，所以，綜上所述，函數(shù)在上的值域是.故答案為：題型三求函數(shù)解析式例題1．（23-24高一上·內蒙古赤峰·期中）已知是一次函數(shù)，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意設函數(shù)，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，設函數(shù)，因為，，所以，，則，解得，所以.故選：D.例題2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令求解析式即可．【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.例題3．（2024高一·江蘇·專題練習）求下列函數(shù)的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數(shù)，且，求；(4)已知為二次函數(shù)，且，求；(5)定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)(5)【分析】利用配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程組法求解各題，注意定義域.【詳解】（1）因為，所以.（2）解法一（換元法）：令，，則，所以，所以.解法二（配湊法）：，因為，所以.（3）設，則，所以，解得或，所以或.（4）設，則，所以，解得，所以.（5）對任意的有，由，①得，②聯(lián)立①②解得，.鞏固訓練1．（23-24高一上·廣東江門·期中）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式利用換元法即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，因此.故選：A.2．（2024高三·全國·專題練習）已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式.【答案】【分析】設，利用建立恒等式求解即可.【詳解】設二次函數(shù)，因為，所以，由，得，得，所以，得，故.3．（2023高一·江蘇·專題練習）（1）已知函數(shù)，求；（2）已知，求；（3）已知，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用換元法或配湊法求函數(shù)解析式；（2）利用配湊法求函數(shù)解析式；（3）利用方程組法求函數(shù)解析式.【詳解】（1）法一（換元法）令，∴，∴，∴．法二（配湊法），∴．（2）∵，∴．（3）∵，∴用代替得，消去得，∴函數(shù)的解析式為．題型四利用定義法證明函數(shù)的單調性例題1．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）已知函數(shù).(1)證明：在上單調遞增；(2)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)證明見解析(2)最小值是1，最大值是【分析】（1）根據(jù)單調性的定義，先任取，且，然后作差，變形判斷符號可得結論；（2）由在上遞增，可求出其最大值和最小值.【詳解】（1）證明：，且，則由，得，，所以，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間的兩個端點上分別取得最小值和最大值，即時取得最小值，最小值為，時取得最大值，最大值為.故的最小值是1，最大值是例題2．（23-24高三上·甘肅定西·階段練習）已知函數(shù)的圖象經過，兩點.(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調性，并用定義法加以證明.【答案】(1)(2)單調遞增，證明見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式.（2）利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性，即任取，，設，求與的大小關系.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象經過，兩點，所以，，解得，.故的解析式為.（2）在上單調遞增.證明如下：設，，且，.因為，，所以，因為，所以，則，即.故在上單調遞增.例題3．（2024高一·全國·專題練習）已知定義域為R，對任意都有，且當時，.試判斷的單調性，并證明；【答案】在上為減函數(shù)，證明見解析【分析】利用賦值法，結合函數(shù)的單調性定義即可證明.【詳解】任取，且，因為，，所以，故，因為，所以，又因為當時，，所以，所以，所以，即，所以在上為減函數(shù).鞏固訓練1．（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調性，并加以證明.【答案】函數(shù)在上單調遞減，證明見解析【分析】利用單調性的定義證明，先對函數(shù)變形，然后任取，設，再對函數(shù)值作差，化簡后判斷符號，即可得結論.【詳解】函數(shù)在上單調遞減，證明如下：函數(shù)，任取，設，則，因為，，所以，故，即，故函數(shù)在上單調遞減.2．（2024高一·全國·專題練習）已知函數(shù)的定義域為，當時，，且，試判斷函數(shù)在定義域上的單調性.【答案】在上單調遞增【分析】由題意，設，結合和定義法證明函數(shù)的單調性，即可求解.【詳解】設是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，所以，因為且，所以，所以，所以，即，所以在上單調遞增.3．（23-24高一上·河南安陽·期末）已知函數(shù)，且.(1)求.(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù).(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)1(2)證明見解析(3)最大值為，最小值為【分析】（1）由題意列式計算，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義，即可證明結論；（3）根據(jù)函數(shù)的單調性，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知函數(shù)，且，故，則（2）證明：由（1）知，任取且，則，因為且，可得，則，所以，即，所以函數(shù)在上為單調遞增函數(shù).（3）函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題型五根據(jù)單調性求參數(shù)例題1．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結合二次函數(shù)的性質，求得解得，再由，進而求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的對稱軸是，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因為，因此，所以的取值范圍是.故選：A．例題2．（23-24高一上·海南?？凇るA段練習）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形換元得到，，考慮，和三種情況，結合對勾函數(shù)性質得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】，令，故，，當，即時，在上單調遞增，滿足要求，當，即時，在上單調遞增，滿足要求，當，即時，由對勾函數(shù)性質得到在上單調遞增，故，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：C例題3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意先分段，由單調遞減依次得，，但還需保證，由此即可求解.【詳解】由題意當時，單調遞減，則，即，當時，單調遞減，則，要保證單調遞減，則還需，解得，綜上所述，a的取值范圍是.故選：A.鞏固訓練1．（多選）（23-24高一上·內蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上單調遞增，則的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先判斷出在上的單調性，然后根據(jù)條件列出關于的不等式組，由此求解出的取值范圍，則正確選項可知.【詳解】因為當時，函數(shù)為單調遞增函數(shù)，又函數(shù)在上是單調函數(shù)，則需滿足，解得，所以實數(shù)的范圍為，所以滿足范圍的選項是BC，故選：BC.2．（23-24高一上·內蒙古赤峰·期中）若函數(shù)在上不單調，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的對稱軸為，由題意得，解得，故實數(shù)的取值范圍為故答案為：3．（23-24高一上·河南·階段練習）已知在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先將分式函數(shù)用常數(shù)分離法轉化成簡分式，再根據(jù)函數(shù)的單調性即可求得參數(shù)范圍.【詳解】由，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得．故答案為：題型六根據(jù)單調性解不等式例題1．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知函數(shù)為上的增函數(shù)，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調性可得，即可由不等式求解.【詳解】由于為上的增函數(shù)，故由可得，因此且，解得且，故選：C例題2．（23-24高一上·山東聊城·期末）定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調遞減，若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】求出的單調性及對稱性，然后根據(jù)單調性、對稱性將轉化為的關系，再根據(jù)恒成立思想采用分離參數(shù)的方法求解出.【詳解】定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關于對稱，因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越小，所以由得，由于，所以，可得，即時恒成立，可得，由于在時單調遞增，，在時單調遞減，，所以恒成立，則實數(shù)a的取值范圍故答案為：.【點睛】結論點睛：對稱性的常用結論如下（1）若函數(shù)滿足或或，則的一條對稱軸為；（2）若函數(shù)滿足或或，則的一個對稱中心.例題3．（23-24高一上·河南·期中）定義在上的函數(shù)滿足：對，且，都有成立，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件和所求的特征，考慮構造函數(shù)，將不等式轉化為，再利用函數(shù)在上的單調性即可求得.【詳解】由題意，且，則將兩邊同除以，即得：，令，則可知函數(shù)在上為增函數(shù).由兩邊同除以得：，因，則得：，故得：.故選：D.【點睛】思路點睛：本題主要考查利用題設不等式構造函數(shù)，利用其單調性求不等式解集.屬于較難題.解題思路是，觀察題設不等式的特征和所求不等式的聯(lián)系，通過等價轉化構造新函數(shù)，通過判斷其單調性，將抽象不等式轉化為具體不等式求解.鞏固訓練1．（23-24高一上·重慶·期中）若函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用單調性脫去法則求解不等式即得.【詳解】由函數(shù)在上是減函數(shù)，，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D2．（23-24高一上·遼寧阜新·階段練習）若函數(shù)單調遞增，求滿足不等式的的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數(shù)的單調性，解出不等式即可.【詳解】因為單調遞增，且，所以，解得：,即.故答案為：.3．（23-24高一上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知函數(shù)的定義域為，且在區(qū)間上是增函數(shù)，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【分析】根據(jù)已知結合單調性與定義域的定義與性質即可得出，即可解出答案.【詳解】因為在區(qū)間上單調遞增，所以當時，總有成立；反之也成立，即若，則.因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.題型七求函數(shù)的最值例題1．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)證明見解析(2)最大值為8，最小值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可求證，（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】（1）任取，，由，可得，，所以，又，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)．（2）由于函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，又，所以的最大值為8，最小值為例題2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）設函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用定義證明結論；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)函數(shù)在上單調遞增；證明見解析(2)【分析】（1）

通過定義法作差判斷正負求解；（2）

由，由復合函數(shù)的單調性知函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，即可求解．【詳解】（1）函數(shù)在上單調遞增；證明：任取，且，則因為，所以，所以，得，所以函數(shù)在上單調遞增；（2）解：因為，則，，所以，由（1）的證明過程知，函數(shù)在上單調遞減，所以由復合函數(shù)的單調性可得，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，顯然，故，所以函數(shù)的值域為：鞏固訓練1．（23-24高一上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用定義證明你的結論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)單調遞增，證明見解析(2)22，6【分析】（1）根據(jù)解析式可判斷出函數(shù)的單調性，結合函數(shù)單調性定義即可證明；（2）判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，即可求得答案.【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，證明：設，且，則，因為，且，故，，故，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；（2）由（1）可知該函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故.2．（23-24高一上·山東濟寧·階段練習）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明你的結論；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)在單調遞增，證明見解析(2)最大值為，最小值為【分析】（1）先轉化，判斷其單調性，再利用函數(shù)單調性的定義，結合作差法即可得證；（2）利用（1）中結論即可得解.【詳解】（1）因為，因為在單調遞減，所以在單調遞增.定義法證明如下：任取，，則，，所以，故在單調遞增.（2）由（1）得在區(qū)間上單調遞增，所以，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.題型八根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)例題1．（23-24高一上·廣東廣州·階段練習）定義一種運算，設（為常數(shù)，且，則使函數(shù)的最大值為4的的值可以是（

）A．或4 B．6 C．4或6 D．【答案】A【分析】根據(jù)定義，先計算在上的最大值，然后利用條件函數(shù)最大值為，確定的取值即可．【詳解】在上的最大值為，所以由，解得或，所以時，，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當時，即時，，此時解得，符合題意；當時，即時，，此時解得，符合題意；故或.故選：A例題2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）二次函數(shù)的最大值是3，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，然后再根據(jù)二次函數(shù)的最大值可求出的值．【詳解】因為二次函數(shù)有最大值，所以．又二次函數(shù)的最大值為，由題意得或，因為，所以故選：A.例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期中）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，若函數(shù)在上的最小值為0，求的值．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2)或【分析】（1）寫出分段函數(shù)形式，畫出其圖象，數(shù)形結合得到單調區(qū)間；（2）結合函數(shù)對稱軸，分，和三種情況，結合函數(shù)單調性和圖象，表達出在上的最小值，得到方程，求出的值.【詳解】（1）當時，，畫出函數(shù)圖象，如下：

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）當時，因為，所以，開口向上，對稱軸為，當時，在上單調遞減，在上的最小值為，令，解得，舍去；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，故在上的最小值為，令，解得（舍去）；當時，因為，所以，此時圖象如下：

函數(shù)在上的最小值為或，當，解得（負值舍去），符合題意；當，即，，符合題意；綜上，或.鞏固訓練1．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)，的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對反比例型函數(shù)分離常數(shù)，由時的最小值為得到n，求出m范圍.【詳解】由，因為在上的最小值為，所以時，，所以，易知反比例型函數(shù)在單調遞減.所以在處取到的最小值為，即，所以.故選：D2．（23-24高一上·湖北荊州·期中）已知函數(shù)在上的最大值為，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性討論最值取值情況即可得實數(shù)的值.【詳解】函數(shù)的對稱軸為直線，因為當時，，得（舍去），當時，，得，綜上，實數(shù)的值是.故答案為：.3．（23-24高一上·浙江溫州·期中）設函數(shù)，存在最大值，則的取值范圍是.【答案】【分析】對進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性以及最大值求得的取值范圍.【詳解】①當時，函數(shù)在上單調遞減，因此不存在最大值；②當時，，當時，，故函數(shù)存在最大值；③當時，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故時，，當時，函數(shù)在上單調遞增，此時，于是時函數(shù)存在最大值.又，解得；④當時，函數(shù)在上單調遞減，，在上單調遞增，此時故當，解得，又，故；綜上，的取值范圍是時函數(shù)存在最大值.故答案為：【點睛】含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，往往需要結合函數(shù)的單調性以及對參數(shù)進行分類討論來進行求解，分類標準的制定，可以根據(jù)函數(shù)解析式的結構來進行制定，分類標準要做到不重不漏.題型九函數(shù)圖象問題例題1．（23-24高一上·黑龍江大慶·期中）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，判斷其單調性以及單調區(qū)間，結合特殊點，可得答案.【詳解】由函數(shù)，當時，根據(jù)函數(shù)與函數(shù)在上單調遞增，則函數(shù)在的單調遞增，故排除BC；當時，，故排除A，則D正確.故選：D.例題2．（23-24高三上·河北保定·期末）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合基本不等式判斷函數(shù)在的最值，再結合圖像判斷.【詳解】時，恒成立，故C錯誤；且時，，當且僅當時取等，故在有最大值2，故B、D錯誤；故選：A.例題3．（23-24高一上·新疆昌吉·期中）已知為二次函數(shù)，且滿足，．

(1)求函數(shù)的解析式，求函數(shù)在[0,5]上的最小值；(2)在給出的平面直角坐標系中畫出的圖象；【答案】(1),最小值為(2)見解析【分析】（1）設函數(shù)的解析式為，，根據(jù)題意，列出方程組，求得，，的值，即可；（2）令，求得或，保留軸上方的函數(shù)圖象不變，將軸下方的函數(shù)圖象翻折至上方，即可．【詳解】（1）設函數(shù)的解析式為，，因為，，所以，解得，所以，對稱軸為，故當時，，（2）由（1）知，令，則，解得或，所以函數(shù)的圖象如圖所示：

鞏固訓練1．（23-24高三上·江西·期中）函數(shù)的大致圖象不可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分，和三種情況討論即可.【詳解】當時，，此時A滿足；當時，當時，為增函數(shù)；當時，，其中為對勾函數(shù)的一部分，此時D滿足；當時，當時，為對勾函數(shù)的一部分；當時，為減函數(shù)，此時B滿足；故選：C2．（多選）（22-23高一上·廣東東莞·期中）函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)取不同類型的值,結合函數(shù)的圖象以及性質分類討論即可.【詳解】時,,圖象為A,故A正確;時,,當時,由對勾函數(shù)的性質可知,函數(shù)在單調遞減,單調遞增,當時,函數(shù)為減函數(shù),且,圖象為D,故D正確;時,,當時,函數(shù)為增函數(shù),且,當時,由對勾函數(shù)的性質可知,在單調遞增,單調遞減,且圖象在第三象限,所以函數(shù)在單調遞減,單調遞增,且圖象在第二象限,,圖象為C,故C正確;故選:ACD.3．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)當時，寫出的單調區(qū)間，并求函數(shù)在區(qū)間上的值域（直接寫值域，不要過程）.

【答案】(1)函數(shù)圖象見解析(2)單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為，；【分析】（1）根據(jù)給定的分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象即可.（2）借助圖象得到的單調區(qū)間，利用函數(shù)的單調性求出在區(qū)間上的值域即可.【詳解】（1）函數(shù)在上的圖象是直線在的部分，在上的圖象是拋物線在的部分，在上的圖象是直線在的部分，函數(shù)的圖象如圖，

（2）函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為，而，，，，因此，，所以函數(shù)在上的值域為.題型十判斷函數(shù)的奇偶性例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）下列函數(shù)中的奇函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對于B中，函數(shù)，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)，不符合題意.故選：B.例題2．（多選）（23-24高一上·廣西南寧·期中）給定四個函數(shù)，其中是奇函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】應用奇偶性定義判斷各函數(shù)的奇偶性，即得答案.【詳解】由且定義域為R，則為奇函數(shù)，A對；由且定義域為，則為奇函數(shù)，B對；由，顯然不為奇函數(shù)，C錯；由，顯然不為奇函數(shù)，D錯.故選：AB例題3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3)【答案】(1)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)當時，為奇函數(shù)；當時，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)函數(shù)的定義域及函數(shù)奇偶性的定義判斷．【詳解】（1）∵的定義域為，不關于原點對稱，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）函數(shù)f(x)的定義域為，關于原點對稱，①當時，，∴是奇函數(shù)；②當時，函數(shù)變形為，此時，∴且，∴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．綜上可知，當時，為奇函數(shù)；當時，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（3），∵的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間，∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．鞏固訓練1．（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶函數(shù)定義逐項判斷作答.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C2．（多選）（21-22高一上·新疆阿克蘇·期末）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用奇偶性定義判斷各函數(shù)的奇偶性即可.【詳解】A：，不為奇函數(shù)；B：且定義域為，為奇函數(shù)；C：且定義域為R，為奇函數(shù)；D：，不為奇函數(shù).故選：BC3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)【答案】(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)【分析】（1）（2）根據(jù)定義即可判斷函數(shù)的奇偶性.【詳解】（1）由題意，在中，定義域為，，∴是偶函數(shù).（2）由題意，在中，定義域為，，∴是奇函數(shù).題型十一由函數(shù)的奇偶性求解析式例題1．（23-24高一上·北京·期中）函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)的解析式為，則；當時，函數(shù)的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質計算可得.【詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)的解析式為，所以，設，則，所以，又，所以，即當時，函數(shù)的解析式為.故答案為：；例題2．（23-24高一上·廣東湛江·階段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在給出的直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象并寫出的單調區(qū)間．【答案】(1)(2)的遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，【分析】（1）設，得到，代入時的解析式化簡可得時的解析式，又定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)有，所以分段函數(shù)的解析式可求；（2）利用二次函數(shù)的頂點及與軸的交點作出簡圖，然后由圖象得單調區(qū)間；【詳解】（1）當時，，；又函數(shù)是上的奇函數(shù)，的解析式為：；（2）函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)的圖象可知，的遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，例題3．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，.(1)畫出函數(shù)的圖象，并寫出的單調區(qū)間；(2)求出的解析式.【答案】(1)圖象見解析；增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)【分析】（1）先作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，結合奇函數(shù)的對稱性可得出該函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）設，可得出，由奇函數(shù)的性質得出，可得出函數(shù)在上的解析式，進而可得出該函數(shù)在上的解析式.【詳解】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，且當時，，則函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖象知，增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）設，則，則.因此，時，，所以函數(shù)在上的解析式為.鞏固訓練1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且當時，，則當時，的解析式為．【答案】【分析】利用奇函數(shù)的定義計算即可得答案.【詳解】函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當時，，當時，，所以.故答案為：.2．（23-24高一下·廣西南寧·開學考試）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．【答案】(1)；(2)最小值為，最大值為．【分析】（1）當時，，時，由即可得解；（2）由配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可.【詳解】（1）依題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，當時，，又是奇函數(shù)，，∴的解析式為．（2）依題意可知當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，，所以在區(qū)間上的最小值和最大值分別為和．3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當時，.現(xiàn)已畫出函數(shù)在軸左側的圖象，如圖所示：(1)請補全函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(3)求出函數(shù)在上的解析式．【答案】(1)作圖見解析(2)和(3)【分析】（1）利用偶函數(shù)的關于圖像關于軸對稱，即可作出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)圖像寫出單調區(qū)間即可；（3）利用時，，求得，再根據(jù)偶函數(shù)即可求解.【詳解】（1）如圖所示:（2）結合圖象可得：函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；（3）當時，，若時，則，所以，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，故函數(shù)在上的解析式為.題型十二函數(shù)奇偶性的應用例題1．（2024·河南開封·二模）若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質計算可得.【詳解】當時，則，則，解得，此時，當時，所以，符合題意.所以.故選：C例題2．（23-24高一上·遼寧阜新·期中）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用偶函數(shù)的定義可計算的值，再根據(jù)解析式計算函數(shù)值即可.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以且，則，所以，則.故選：D．例題3．（23-24高一上·內蒙古赤峰·期中）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得出關于實數(shù)的等式組，解之即可.【詳解】因為，該函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，可得對任意的恒成立，故，解得.故答案為：.鞏固訓練1．（23-24高一上·北京·期中）已知定義域為的奇函數(shù)，則的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．無法確定【答案】B【分析】由奇函數(shù)定義域的對稱性求得，由奇函數(shù)的性質求得，然后求值．【詳解】因為是奇函數(shù)，則，，，，所以，故，所以.故選：B．2．（23-24高一上·吉林延邊·期中）設是定義在上的奇函數(shù)，則【答案】-24【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質可得，求出，利用，求出，最后代值即可.【詳解】是定義在的奇函數(shù)，，即，，且，解得，或當時，定義域為，不合題意，舍去；當時，定義域為，合題意，，.故答案為：.3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性以及二次函數(shù)對稱性分析求解.【詳解】因為，則，若是偶函數(shù)，可知關于y軸對稱，則，解得.故答案為：.題型十三分段函數(shù)問題例題1．（23-24高一上·福建三明·期末）函數(shù)若，則實數(shù)的取值是（

）A．3 B． C．3或 D．5或【答案】D【分析】對于求解與分段函數(shù)有關的方程時，應分段考慮再合并.【詳解】當時，，解得：；當時，，解得：；即實數(shù)的取值是5或.故選：D.例題2．（2024·四川樂山·一模）已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.【詳解】解：當時，，所以，即，解得，當時，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D例題3．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）函數(shù)，若是R上的單調遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】.【分析】分段函數(shù)在上的單調遞增，只需要保證第一段和第二段都是遞增的，而且在臨界值時左端要小于或等于右端；即要保證：二次函數(shù)在時遞增則對稱軸大于等于1：即，一次函數(shù)遞增則要求;再需要保證當時便可求出的范圍.【詳解】因為是上的增函數(shù)，所以,解得，取交集得的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性的性質，函數(shù)在上的函數(shù)單調性，特別要注意臨界位置的大小關系，很多學生容易忽略這點.例題4．（23-24高一上·山東棗莊·階段練習）已知函數(shù)，若的值域是R，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可得當時，，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質討論當時，函數(shù)的值域，然后根據(jù)整個函數(shù)的定義域為R，列出不等式，解之即可.【詳解】因為函數(shù)，當時，在上為增函數(shù)，，當時，，①當，即時，，要使函數(shù)的值域是R，則有，解得或，②當，即時，，要使函數(shù)的值域是R，則有，解得，結合，所以；綜合①②得或，故答案為：鞏固訓練1．（23-24高二下·內蒙古呼和浩特·期末）設函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出，分與兩種情況，解不等式，求出解集.【詳解】，故，當時，有，解得或，即，或；當時，，解得，即；綜上，不等式的解集是；故選：B．2．（23-24高一上·山東日照·期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為．【答案】3【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別在和范圍內求出使時實數(shù)的值即可.【詳解】當時，，解得（舍）；當時，，解得或（舍），所以實數(shù)的值為3，故答案為：3.3．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先考慮各部分函數(shù)的單調性，然后分析兩段函數(shù)在處的函數(shù)值的大小關系，從而求解出的取值范圍.【詳解】當時，在上遞減，所以對稱軸，當時，在上遞減，所以，又因為當時，，所以，綜上可知：.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知分段函數(shù)的單調性求解參數(shù)范圍時，不僅要考慮到每一段函數(shù)的單調性還需要分析分段點處函數(shù)值的大小關系.4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】先利用基本不等式求得當時的最小值，由恒成立，得代入數(shù)值即可求解.【詳解】當時，，當且僅當即時取等號，函數(shù)，若恒成立，則，即，解得，故答案為：.題型十四函數(shù)不等式（有解）恒成立問題例題1．（23-24高三上·重慶長壽·期末）已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，可得，對恒成立，構造函數(shù)，結合函數(shù)的單調性求得其最小值，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)，對都有成立，即對恒成立，即，對恒成立，設，由于在上單調遞減，在上單調遞增，則，則，當且僅當時等號成立，故，即實數(shù)的取值范圍為，故選：A例題2．（23-24高一上·四川成都·期中）命題，若是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】得到為真命題，只需，，求出的單調性，得到，得到答案.【詳解】若是假命題，則為真命題，故，只需，其中，故在上單調遞減，在上單調遞增，其中，，故，所以，故答案為：例題3．（23-24高一上·湖南長沙·期中）已知函數(shù)，.(1)當時，解不等式；(2)若，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）當時，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集；（2）由參變量分離法可知，，使得，令，可得出，利用單調性求出函數(shù)上的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當時，，由可得，解得或，故當時，不等式的解集為或.（2）解：因為，使得，因為，則，令，則，則，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.鞏固訓練1．（23-24高一上·河北滄州·期中）若存在，使得不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】分離參數(shù)后，根據(jù)不等式能成立，轉化為利用對勾函數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】存在，使得不等式成立，則存在，使成立，即時，，令，，由對勾函數(shù)性質知，在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，故，故答案為：2．（2024高二下·浙江杭州·學業(yè)考試）對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將原問題條件等價轉換為對任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可.【詳解】由題意對任意恒成立，由復合函數(shù)單調性可知在上單調遞減，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（23-24高一上·上海青浦·期末）若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意可得對任意的恒成立，故只需，結合基本不等式求解即可，注意取等條件.【詳解】由題意對任意的恒成立，即對任意的恒成立，故只需，而由基本不等式可得，等號成立當且僅當，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型十五冪函數(shù)問題例題1．（23-24高二下·江蘇蘇州·期末）已知冪函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的值為（

）A．或1 B．或2 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質求解即可.【詳解】因為冪函數(shù)在上單調遞減，所以，解得.故選：C.例題2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知命題：函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，命題：，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意可得命題：，由是的充分不必要條件，可得是的真子集，即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以，解得：，又因為是的充分不必要條件，則是的真子集，即的取值范圍是故答案為：例題3．（23-24高一下·上海寶山·期末）已知冪函數(shù)的圖像經過點．(1)求此冪函數(shù)的表達式和定義域；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計算即可得其解析式，計算即可得其定義域；（2）結合函數(shù)單調性與定義域要求計算即可得.【詳解】（1）設，則有，解得，故，即，則其定義域為；（2）由，則在上單調遞減，故有，即，即.鞏固訓練1．（23-24高二下·浙江·期中）冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，且在上是減函數(shù)，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的單調性，確定得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.【詳解】因為冪函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，解得：，因為，得，當時，函數(shù)是奇函數(shù)，不關于軸對稱，故舍去，當時，函數(shù)是偶函數(shù)，關于軸對稱，故舍去，當時，函數(shù)是奇函數(shù)，不關于軸對稱，故舍去，所以.故選：A2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)則不等式的解集為.【答案】【分析】由函數(shù)解析式可得在上單調遞增，令，不等式為變?yōu)?，利用單調性可得不等式的解集.【詳解】函數(shù)在上單調遞增，又在上單調遞增，又，所以在上單調遞增.設，可得在上單調遞增.又，所以原不等式可化為，所以原不等式的解集為.故答案為：.3．（23-24高一上·廣東·階段練習）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實數(shù)m的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義，結合性質求出即可得解.（2）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的性質計算即得.【詳解】（1）由為冪函數(shù)，得，得或，而為偶函數(shù)，則，所以的解析式為.（2）由為偶函數(shù)且，得，即或，所以或.題型十六函數(shù)性質的綜合應用例題1．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習）已知函數(shù)，不等式的解集是.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集，可得對應方程的解，進而可得參數(shù)值及函數(shù)解析式；（2）方法一：分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調性可得最值及參數(shù)范圍；方法二：結合二次函數(shù)的最值情況分情況討論可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）因為的解集是，則的兩根是和，由根于系數(shù)關系可得，解得，所以；（2）方法一：關于的不等式在上有解，等價于，使得，則，，因為函數(shù)在上單調遞減，所以當時，取到最大值，，所以，故的取值范圍是；方法二：由題知，即關于的不等式在上有解，令，等價于在區(qū)間上的最小值，圖象的對稱軸是，根據(jù)二次函數(shù)圖象對稱軸和區(qū)間位置關系可知，①當，即時，此時的最小值，則，解得；②當，即時，的最小值，此時恒成立，所以得；③當，即時，，則由，解得；綜上所述，的取值范圍是.例題2．（23-24高二下·內蒙古巴彥淖爾·階段練習）函數(shù)是定義在上的單調遞增的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求滿足的的范圍；【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)性質以及先求出、的值即可求得函數(shù)的解析式，再進行驗證即可.（2）依據(jù)奇函數(shù)性質將不等式變形為，再結合單調性和定義域即可求解.