2025屆安徽省合肥廬陽高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2025屆安徽省合肥廬陽高級中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．32．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P()，則sin()=A． B． C． D．3．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．14．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．25．已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)7．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)，，則（）A． B． C． D．9．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．4 D．510．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．11．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．12．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎(jiǎng).在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎(jiǎng)，“×”表示猜測某人未獲獎(jiǎng)，而“○”則表示對某人是否獲獎(jiǎng)未發(fā)表意見.已知四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測是正確的，那么兩名獲獎(jiǎng)?wù)呤莀______.甲獲獎(jiǎng)乙獲獎(jiǎng)丙獲獎(jiǎng)丁獲獎(jiǎng)甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×14．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_______.15．函數(shù)過定點(diǎn)________.16．已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，側(cè)面積為，則該棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4—5；不等式選講．已知函數(shù)．(1)若的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若正數(shù)滿足，為（1）中m可取到的最大值，求證：．18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.19．（12分）在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個(gè)人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為，王慧每次擊中鼓的概率為；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.（1）若家庭最終積分超過200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少？（2）張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.21．（12分）已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：22．（10分）記拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點(diǎn)，，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

直接將兩邊同時(shí)乘以求出復(fù)數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時(shí)乘以，得故選：A【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其模的求法，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知：，，則：本題選擇A選項(xiàng).3、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí)，又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得：ω∈本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.4、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍，可得出，結(jié)合，得出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由雙曲線可知，焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的漸近線方程為：，由于焦距是虛軸長的2倍，可得：，∴，即：，，所以雙曲線的漸近線方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，以及雙曲線的漸近線方程.6、B【解析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．7、C【解析】因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．8、B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時(shí)乘以，化簡整理得詳解：，故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，在運(yùn)算時(shí)注意符號的正、負(fù)問題.9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z，再計(jì)算它的模長．【詳解】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問題，要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長度的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題．10、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.11、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙、丁【解析】

本題首先可根據(jù)題意中的“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進(jìn)行分析，觀察四人所猜測的結(jié)果是否沖突，最后即可得出結(jié)果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯(cuò)誤，與題意不符，故甲猜測錯(cuò)誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯(cuò)誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯(cuò)誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎(jiǎng).所以本題答案為乙、丁.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)簡單的合情推理題，能否根據(jù)“四個(gè)人中有且只有兩個(gè)人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.14、【解析】

由分段函數(shù)可得不滿足題意；時(shí)，，可得，即有，解方程可得，4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數(shù)，可得的增區(qū)間為，，時(shí)，，，時(shí)，，當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為，，可得不成立，時(shí)，時(shí)，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．15、【解析】

令，，與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，所有過定點(diǎn).故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時(shí)間.16、【解析】

如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐，為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，設(shè)，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】試題分析：（1）討論三種情況去絕對值符號，可得所以，由此得，解得；（2）利用分析法，由（1）知，，所以，因?yàn)椋C，只需證，即證，只需證即可得結(jié)果.試題解析：（1）去絕對值符號，可得所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由（1）知，，所以．因?yàn)?，所以要證，只需證，即證，即證.因?yàn)?，所以只需證，因?yàn)椋喑闪?，所以解法二：x2+y2=2，x、y∈R+，x+y≥2xy設(shè)：證明：x+y-2xy==令，∴原式====當(dāng)時(shí)，18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（Ⅱ）先得到，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得．【詳解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因?yàn)樗?，由得，又因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．19、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）要積分超過分，則需兩人共擊中次，或者擊中次，由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）求得的所有可能取值，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，當(dāng)家庭最終積分超過200分時(shí)，這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，所以要想領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)，則需要這個(gè)家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”，事件為“王慧第次擊中”，，由事件的獨(dú)立性和互斥性可得（張明和王慧家庭至少擊中三次鼓），所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是.（2）的所有可能的取值為－200，－50，100，250，400.，，，，.∴的分布列為－200－50100250400∴（分）【點(diǎn)睛】本小題考查概率，分布列，數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)據(jù)處理，應(yīng)用意識(shí).20、【解析】

根據(jù)，可解得，設(shè)為曲線任一點(diǎn)，在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，則點(diǎn)在曲線上，根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式，再用表示出，代入曲線的方程中，即得.【詳解】，，即.，解得，.設(shè)為曲線任一點(diǎn)，則，又設(shè)在矩陣A變換作用得到點(diǎn)，則，即，所以即代入，得，所以曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查逆矩陣，矩陣與變換等，是基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立），所以（2）證明：因?yàn)?，所以故（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.22、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設(shè)，根據(jù)直線的斜率為1，則，