新教材高中數(shù)學(xué)第三章復(fù)數(shù)34復(fù)數(shù)的三角表示導(dǎo)學(xué)案

*3.4復(fù)數(shù)的三角表示最新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科核心素養(yǎng)1.了解復(fù)數(shù)的三角形式，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系．2．了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．1.借助復(fù)數(shù)的三角形式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過復(fù)數(shù)三角形式的運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．教材要點要點一i2＝－1的幾何意義將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量繞起點逆時針旋轉(zhuǎn)180°，就是將復(fù)數(shù)z乘i2.虛數(shù)單位i乘任意復(fù)數(shù)z的幾何意義是：將復(fù)數(shù)z對應(yīng)的平面向量逆時針旋轉(zhuǎn)90°.狀元隨筆(1)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的向量OP與iz對應(yīng)的復(fù)平面上的向量(O(2)將直角坐標(biāo)平面上的點P(x，y)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的點Q的坐標(biāo)為(－y，x)．要點二復(fù)數(shù)的三角表示1．復(fù)數(shù)的輻角：以x軸的正半軸為始邊，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的向量OP所在射線為終邊的角，叫作復(fù)數(shù)z的輻角，記作θ＝argz.2．若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模為r，輻角為θ，則復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以表示為z＝r(cosθ＋isinθ)，稱z＝r(cosθ＋isinθ)為復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角形式．狀元隨筆(1)若θ為復(fù)數(shù)z的一個輻角，則argz＝θ＋2kπ(k∈Z)．(2)復(fù)數(shù)z＝0的輻角是任意的．(3)兩個復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)與z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)相等的充要條件是r1＝r2＝0或r1＝r2>0且θ1＝θ2＋2kπ(k∈Z)．要點三三角形式下復(fù)數(shù)的乘除運算1．若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，則z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].2．若復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)，則zn＝rn(cosnθ＋isinnθ)．3．若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(r2>0)，則z1z2＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(狀元隨筆(1)兩個三角形式的復(fù)數(shù)的乘積的模等于模的積，乘積的輻角等于它們的輻角之和．(2)復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則，也叫作棣莫弗定理，它是復(fù)數(shù)中一個重要公式．(3)三角形式的復(fù)數(shù)的商，其輻角等于它們的輻角之差．要點四復(fù)數(shù)乘法和除法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)的積z1z2對應(yīng)的向量為：在復(fù)平面上，將復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量OP1旋轉(zhuǎn)θ2，再將模變成原來的r2倍而得到的向量OP兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于它們模的商，商的輻角等于它們的輻角之差．狀元隨筆當(dāng)θ2>0時，將z1對應(yīng)向量逆時針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)θ2<0時，將z1對應(yīng)向量順時針旋轉(zhuǎn)．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)中，r≠0.()(2)復(fù)數(shù)的輻角θ∈[0，2π)．()(3)復(fù)數(shù)z＝2沒有三角形式．()(4)復(fù)數(shù)z＝1＋i的三角形式可以為z＝2cos2．復(fù)數(shù)1＋i的輻角的主值為()A．π6B．π3C．π3．將復(fù)數(shù)i對應(yīng)的向量ON繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π3，得到向量OM，則OMA．32+1C．－32-14．將復(fù)數(shù)z＝8sinπ3+icos題型1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化角度1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式例1把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)3＋i；(2)2-方法歸納復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟(1)先求復(fù)數(shù)的模．(2)決定輻角所在的象限，求出輻角．(3)求出復(fù)數(shù)的三角形式．提醒：一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這既使表達(dá)式簡便，又便于運算，但三角形式的輻角不一定取主值．角度2復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式例2分別指出下列復(fù)數(shù)的模和輻角的主值，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式．(1)4cosπ(2)32(3)2cosπ方法歸納復(fù)數(shù)的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必須滿足“模非負(fù)、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角，如本例(3)．跟蹤訓(xùn)練1(1)復(fù)數(shù)－12(2)將復(fù)數(shù)32cos題型2復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算例3計算：(1)8cos43π(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)].方法歸納(1)熟悉特殊角的三角函數(shù)．(2)進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的除法運算時，注意兩輻角差的符號．(3)進(jìn)行復(fù)數(shù)運算時，最后答案一般用代數(shù)形式表示．跟蹤訓(xùn)練2計算：(1)2(cos75°＋isin75°)×12(2)-12+題型3復(fù)數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義例4在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－3i對應(yīng)的向量分別按逆時針和順時針方向旋轉(zhuǎn)π3方法歸納兩個復(fù)數(shù)z1，z2相乘時，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2(r2跟蹤訓(xùn)練3在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)334+34課堂十分鐘1．復(fù)數(shù)1－3i的輻角的主值是()A．53πB．2C．56πD．2．－1－3i的三角形式是()A．－2cosπ3C．2sin7π3．若θ∈34π，54π，則復(fù)數(shù)(cosθ＋sinA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限4．復(fù)數(shù)2cos35．計算：2(cos300°＋isin300°)÷2cos*3.4復(fù)數(shù)的三角表示新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：因為復(fù)數(shù)1＋i對應(yīng)的點在第一象限，所以arg(1＋i)＝π4答案：C3．解析：i＝cosπ2＋isinπ2，將ON繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π3得到OM對應(yīng)的復(fù)數(shù)為cos5π6答案：B4．解析：z＝8sinπ3+icosπ3＝8×3答案：43＋4i題型探究·課堂解透例1解析：(1)r＝3+1＝2，因為3＋i對應(yīng)的點在第一象限，所以cosθ＝32，即θ＝π所以3＋i＝2cosπ(2)r＝2+2＝2，cosθ＝22，又因為2-2i對應(yīng)的點位于第四象限，所以θ所以2-2i＝2例2解析：(1)復(fù)數(shù)4cosπ6+isinπ6的模r4cosπ6+isinπ6＝4cosπ6＋4isinπ6(2)復(fù)數(shù)32(cos60°＋isin60°)的模r＝32，輻角的主值為θ＝32(cos60°＋isin60°)＝32×(3)2cos＝2cos＝2cos5所以復(fù)數(shù)的模r＝2，輻角的主值為532cos53π+isin53π＝2cos53π＋2isin跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)－12-32i＝cos(2)由題得32cos2π3+isin答案：(1)cos4π3＋isin4π例3解析：(1)8cos43＝32cos＝32cos＝32cos＝3232+1(2)3(cos225°＋isin225°)÷[2(cos150°＋isin150°)]＝32[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝62(cos75°＋isin75°)＝626-跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)12-12所以2(cos75°＋isin75°)×1＝2＝2＝cos136π＋isin13＝cosπ6＋isinπ6＝(2)因為－12+32i＝cos所以-12＝cos23＝1＝12cosπ例4解析：因為3－3i＝23＝23所以23＝23＝23＝23cosπ623＝23＝23cos32故把復(fù)數(shù)3－3i對應(yīng)的向量按逆時針旋轉(zhuǎn)π3得到的復(fù)數(shù)為3＋3i，按順時針旋轉(zhuǎn)π3得到的復(fù)數(shù)為－2跟蹤訓(xùn)練3解析：334+34i＝32cosπ6[課堂十分鐘]1．解析：因為1－3i＝212-32i＝2cos答案：A2．解析：－1－3i＝2-12-答案：B3．解析：由復(fù)數(shù)的幾何意義知(cosθ＋si