（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)寒假精講精練03 平行線的性質(zhì)+隨堂檢測（教師版）

第頁03平行線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一平行線的性質(zhì)◆1、平行線性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(兩直線平行，同位角相等)．性質(zhì)定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．性質(zhì)定理3：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．幾何語言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．◆2、平行線的判定與性質(zhì)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別：區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二命題及其組成◆1、概念：判斷一件事情的語句，叫做命題．【注意】1、命題必須滿足的條件：①必須是語句；②對(duì)一件事情作出判定；二者缺一不可.2、命題只需具有“判斷”功能，而不論這個(gè)判斷是否對(duì)錯(cuò).◆2、命題的組成每個(gè)命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三真、假命題◆1、真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；◆2、假命題：題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四定理與證明◆1、定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理，定理可以作為繼續(xù)推理論證的依據(jù)．◆2、證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明.（a）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．◆3、證明的一般步驟：①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；③經(jīng)過分析，找出由已知條件推出結(jié)論的方法，或依據(jù)結(jié)論探尋所需要的條件，再由題設(shè)進(jìn)行挖掘，尋求證明的途徑；④書寫證明過程.題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)題型一利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例題1】如圖，AB∥CD，直線EF分別與直線AB、直線CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G在CD上，EG平分∠BEF．若∠EGC＝58°，求∠EFD的度數(shù)．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BEG的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得到∠FEG，然后利用平行線的性質(zhì)可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGC＝58°，∴∠BEG＝∠EGC＝58°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF＝2∠BEG＝116°，∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣∠BEF＝180°﹣116°＝64°．解題技巧提煉兩直線平行時(shí)，應(yīng)聯(lián)想到平行線的三個(gè)性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個(gè)相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應(yīng)角的度數(shù).【變式1-1】如圖，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，則∠3的度數(shù)為（）A．46° B．90° C．96° D．134°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∵∠1＝38°，∠2＝46°，∴∠3＝96°，故選：C．【變式1-2】如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故選：C．【變式1-3】如圖，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，則∠2+∠3的和是（）A．200° B．210° C．220° D．230°【分析】由平行線的性質(zhì)可用∠2、∠3分別表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定義可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故選：D．【變式1-4】已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．【分析】①圖1時(shí)，由兩直線平行，同位角相等，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為40°；②圖2時(shí)，同兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為140°．【解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1與∠2位置如圖2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°，故答案為：40°或140°．【變式1-5】如圖，點(diǎn)C在∠MON的一邊OM上，過點(diǎn)C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM．當(dāng)∠DCM＝60°時(shí)，求∠O的度數(shù)．【分析】根據(jù)角平分線的定義，即可得到∠ACM的度數(shù)，進(jìn)而得出∠OCB的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠O的度數(shù)．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直線AB與OM交于點(diǎn)C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（對(duì)頂角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠O＝60°．【變式1-6】如圖，DB∥FG∥EC，A是FG上的一點(diǎn)，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度數(shù)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠DAG和∠CAG度數(shù)，然后根據(jù)AP平分∠CAD，即可得到∠PAG的度數(shù)．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直題型二利用平行線的性質(zhì)說明兩直線垂直【例題2】已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根據(jù)∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠BCD．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代換），∴CD∥FH（同位角相等，兩直線平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（兩直線平行，同位角相等）∴CD⊥AB．解題技巧提煉準(zhǔn)確識(shí)別圖形，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再綜合角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義求解.【變式2-1】如圖，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，試說明BC⊥AB．【分析】過E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根據(jù)平行線的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：過E作EF∥AD，交CD于F，則∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【變式2-2】已知，如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，試說明DA⊥AB．【分析】由角平分線的定義和條件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可證明DA∥BC，再由平行線的性質(zhì)可得到∠A＝90°，可證明DA⊥AB．【解答】證明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【變式2-3】如圖，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分線交BC的延長線于點(diǎn)E，CF平分∠DCE．求證：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分線定義可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，進(jìn)而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12【解答】證明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=1∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=1∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．題型三平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用題型三平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用【例題3】如圖，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，則∠4＝（）A．120o B．80o C．60o D．75o【分析】根據(jù)平行線的判定推出a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠5，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【解答】解：如圖，∵∠2+∠3＝180°，∴a∥b，∴∠1＝∠5，∵∠1＝120°，∴∠5＝120°，∴∠4＝180°﹣120°＝60°，故選：C．解題技巧提煉平行線的判定和性質(zhì)在解題中經(jīng)常反復(fù)使用，見到角相等或互補(bǔ)就應(yīng)該聯(lián)想到能否判定兩條直線平行，見到直線平行就應(yīng)該聯(lián)想到能否證明相關(guān)的角相等或互補(bǔ).【變式3-1】如圖，AB∥CD∥EF，則下列各式中正確的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3 C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠2+∠BDC＝180°，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故選：D．【變式3-2】如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．【分析】先證CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定義得出∠AFC+∠2＝90°，結(jié)合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，從而得證．【解答】證明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定義）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFB＝∠AOE（兩直線平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代換）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定義），∴∠AFC+∠2＝（90）°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：垂直的定義；已知；CE∥BF；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．【變式3-3】如圖，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)F、G分別在AC、BC的延長線上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若∠F＝∠G，求證：DG∥BF．【分析】（1）由對(duì)頂角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定BF∥EC，則同位角∠ACE＝∠F，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）結(jié)合已知條件，角平分線的定義，利用等量代換推知同位角∠BCE＝∠G，則易證DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度數(shù)為60°；（2）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【變式3-4】如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠CED＝75°，求∠FHD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DGF＝∠EFG，根據(jù)等量關(guān)系得到∠DGF＝∠C，根據(jù)平行線的判定可得CE∥GF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義即可求解．【解答】（1）證明：∵∠D+∠AED＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠DGF＝∠EFG，∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠C，∴CE∥GF，∵∠CED＝75°，∴∠DHG＝75°，∴∠FHD＝105°．【變式3-5】有一天李小虎同學(xué)用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線AD，BC，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接CE，DE后（如圖①），他用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住點(diǎn)E，拖動(dòng)后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時(shí)他突然一想，∠C，∠D與∠DEC之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學(xué)通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計(jì)算”功能，找到了這三個(gè)角之間的關(guān)系．（1）請直接寫出圖①到圖④各圖中的∠C，∠D與∠DEC之間的關(guān)系嗎？（2）請從圖③④中，選一個(gè)說明它成立的理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答；（2）選擇③，過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠D＝∠DEF，∠B＝∠BEF，再根據(jù)∠BED＝∠DEF﹣∠BEF整理即可得證．【解答】解：（1）①∠C+∠D＝∠DEC；②∠C+∠D+∠DEC＝360°；③∠DEC＝∠C﹣∠D；④∠DEC＝∠D﹣∠C；（2）選圖③，過點(diǎn)E作EF∥AD，如圖：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠C＝∠CEF，∠D＝∠DEF，又∵∠DEC＝∠CEF﹣∠DEF，∴∠DEC＝∠C﹣∠D．【變式3-6】（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C＝∠BEC．請把下面的證明過程補(bǔ)充完整：證明：過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（）．∴∠C＝∠CEF．（）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理）．∴∠B+∠C＝．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，說明：∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，E、F、G是AB與CD之間的點(diǎn)，直接寫出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點(diǎn)F作FM∥AB，根據(jù)（1）求解即可．【解答】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C＝∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代換），即∠B+∠C＝∠BEC，故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BEF+∠CEF；（2）解：如圖②，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠BEF+∠CEF），即∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；∠B+∠BEC+∠C＝360°．（3）解：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作FM∥AB，則AB∥FM∥CD，由（1）得，∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．故答案為：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型四利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題題型四利用平行線的性質(zhì)解決實(shí)際問題【例題4】如圖是潛望鏡工作原理示意圖，陰影部分是平行放置在潛望鏡里的兩面鏡子．已知光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線l為什么和離開潛望鏡的光線m是平行的？【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合條件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可證得∠5＝∠6，可證明l∥m，據(jù)此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代換），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定義），即：∠5＝∠6（等量代換），∴l(xiāng)∥m．解題技巧提煉給出一個(gè)實(shí)際問題，聯(lián)系平行線的性質(zhì)解答實(shí)際問題，有時(shí)需要通過作輔助線構(gòu)造平行線，同時(shí)還會(huì)綜合運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì).【變式4-1】如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長8千米，另一條公路BC長是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是千米．【分析】根據(jù)方位角的概念，圖中給出的信息，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度求解．【解答】解：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距離是AB＝8千米，故答案為：8．【變式4-2】學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)后，老師給小明出了一道題：如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是多少度？請你幫小明求出（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】作BD∥AE，如圖，利用平行線的傳遞性得到BD∥CF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由BD∥AE得到∠ABD＝∠A＝120°，則∠DBC＝30°，然后利用BD∥CF求出∠C．【解答】解：作BD∥AE，如圖，∵AE∥CF，∴BD∥CF，∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠A＝120°，∴∠DBC＝150°﹣120°＝30°，∵BD∥CF，∴∠C+∠DBC＝180°，∴∠C＝180°﹣30°＝150°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等．【變式4-3】某學(xué)員在駕校練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后的行駛方向與原來的方向相反，則兩次拐彎的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分別判斷得出即可．【解答】解：∵兩次拐彎后，按原來的相反方向前進(jìn)，∴兩次拐彎的方向相同，形成的角是同旁內(nèi)角，且互補(bǔ)，故選：D．【變式4-4】工人師傅對(duì)一個(gè)如圖所示的零件進(jìn)行加工，把材料彎成了一個(gè)40°的銳角，然后準(zhǔn)備在A處第二次加工拐彎，要保證彎過來的部分與BC保持平行，彎的角度應(yīng)是．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CBA+∠FAB＝180°，代入求解，即可解決問題．【解答】解：如圖1，作AF∥BC，則∠CBA＝∠BAF＝40°，如圖2，作AF∥BC，則∠CBA+∠FAB＝180°，∵∠CBA＝40°，∴∠FAB＝140°．故答案為：40°或140°．【變式4-5】如圖1是一個(gè)由齒輪、軸承、托架等元件構(gòu)成的手動(dòng)變速箱托架，其主要作用是動(dòng)力傳輸．如圖2是乎動(dòng)變速箱托架工作時(shí)某一時(shí)刻的示意圖，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】過點(diǎn)F作FM∥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求出∠MFA，∠EFA，進(jìn)而可求出∠EFM，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠DEF．【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故選：C．題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題題型五利用平行線的性質(zhì)解決折疊問題【例題5】如圖所示，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠1＝58°，則∠AEG的度數(shù)（）A．58° B．64° C．72° D．60°【分析】由平行線的性質(zhì)得∠DEF＝∠1＝58°，由折疊的性質(zhì)得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定義求出∠AEG即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折疊的性質(zhì)得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故選：B．解題技巧提煉結(jié)合長方形的性質(zhì)，對(duì)邊是互相平行的，從而綜合折疊的特征和平行線的性質(zhì)求解即可.折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生了變化.【變式5-1】如圖，將矩形紙條ABCD折疊，折痕為EF，折疊后點(diǎn)C，D分別落在點(diǎn)C′，D′處，D′E與BF交于點(diǎn)G．已知∠BGD′＝26°，則∠α的度數(shù)是（）A．77° B．64° C．26° D．87°【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠AEG的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得出∠α的度數(shù)．【解答】解：∵矩形紙條ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折疊可得，∠α=12∠DEG=12×154°【變式5-2】如圖，把長方形ABCD沿EF折疊后使兩部分重合，若∠1＝30°，則∠AEF＝（）A．100° B．150° C．110° D．105°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及∠1＝30°可求出∠BFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵把長方形ABCD沿EF折疊后使兩部分重合，∴∠BFE＝∠EFH，∵∠BFE+∠EFH+∠1＝180°，∠1＝30°，∴∠BFE＝∠EFH=12（180°﹣30°）=12×又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝180°﹣75°＝105°．故選：D．【變式5-3】如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，BC∥DE；若∠B＝50°，則∠BDF的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．100°【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝50°，再利用折疊前后圖形不發(fā)生任何變化，得出∠ADE＝∠EDF，從而求出∠BDF的度數(shù)．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故選：C．【變式5-4】已知長方形紙條ABCD，點(diǎn)E，G在AD邊上，點(diǎn)F，H在BC邊上．將紙條分別沿著EF，GH折疊，如圖，當(dāng)DC恰好落在EA'上時(shí)，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15° C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角的定義解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折疊得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠∴∠1+∠2＝135°，故選：A．【變式5-5】如圖，長方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的兩個(gè)角相差18°，則圖中∠1的度數(shù)為（）A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54°【分析】設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠BCE＝α+18°時(shí)，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時(shí)，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分別根據(jù)∠BCD＝90°列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，設(shè)∠FCD'＝α，則∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①當(dāng)∠BCE＝α+18°時(shí)，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②當(dāng)∠BCE＝α﹣18°時(shí)，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；綜上所述，圖中∠1的度數(shù)為72°或48°，故選：A．題型六借助三角尺求角的度數(shù)題型六借助三角尺求角的度數(shù)【例題6】已知直線a∥b，將一塊含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB＝90°）按如圖所示的方式放置，并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若∠1＝22°．則∠2的度數(shù)是（）A．38° B．45° C．52° D．58°【分析】根據(jù)已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：如圖：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故選：C．解題技巧提煉借助三角尺求角的度數(shù)主要是利用三角尺的特征，結(jié)合平行線的性質(zhì)一般解決求角的度數(shù)問題.【變式6-1】如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)按如圖所示擺放在直尺的一邊上，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解．【解答】解：∵兩直線平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故選項(xiàng)A不符合題意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合題意；由題意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故選項(xiàng)B不符合題意；∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，∴∠3+∠4＝180°，故選項(xiàng)C不符合題意；故選：D．【變式6-2】如圖，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝58°，則∠2的度數(shù)為（）A．58° B．42° C．32° D．30°【分析】先利用平行線的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行線的性質(zhì)即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故選：C．【變式6-3】將一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，若AC∥DE．則∠BAE的度數(shù)為（）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】由題意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行線的性質(zhì)可求得∠CAE＝120°，從而可求得∠CAD＝30°，則∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度數(shù)．【解答】解：由題意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故選：B．【變式6-4】如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【分析】將∠AEG，∠GEF的度數(shù)，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度數(shù)，由AB∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可求出∠DFE的度數(shù)，再結(jié)合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度數(shù)．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故選：B．題型七命題的識(shí)別及改寫題型七命題的識(shí)別及改寫【例題7】下列語句是命題的是（）A．延長線段AB至C B．垂線段最短 C．直線AB平行于直線CD嗎 D．不許大聲講話【分析】命題是判斷一件事情的語句；分析各個(gè)選項(xiàng)中的句子，是不是判斷了一件事情即可判定．【解答】解：A．延長線段AB至C，不是命題；B．垂線段最短，是命題；C．直線AB平行于直線CD嗎，不是命題；D．不許大聲講話，不是命題．故選：B．解題技巧提煉命題是判斷一件事情的語句，正確區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論是把命題寫成“如果…那么…”形式，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．命題改寫的原則是不改變原題的原意．【變式7-1】下列語句中，不是命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ) C．平角是一條直線 D．延長線段AO到點(diǎn)C，使OC＝OA【分析】根據(jù)命題的定義作答．【解答】解：根據(jù)命題的定義，可知A、B、C都是命題，而D屬于作圖語言，不是命題．故選：D．【變式7-2】下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等 C．相等的角是對(duì)頂角 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【分析】利用平行線的性質(zhì)及判定方法、對(duì)頂角的定義等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C、相等的角不一定是對(duì)頂角，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確，是真命題，符合題意．故選：D．【變式7-3】下列命題中是假命題的是（）A．對(duì)頂角相等 B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．平行于同一條直線的兩條直線平行【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等、平行線的判定定理和性質(zhì)定理判斷即可．【解答】解：A、對(duì)頂角相等，是真命題，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，不符合題意；C、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，本選項(xiàng)說法是假命題，符合題意；D、平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，不符合題意；故選：C．【變式7-4】已知：在同一平面內(nèi)，三條直線a，b，c．下列四個(gè)命題為真命題的是．（填寫所有真命題的序號(hào)）①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理判斷即可．【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命題；②如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故本小題命題是假命題；③如果a∥b，c∥b，那么a∥c，是真命題；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命題；故答案為：①③④．【變式7-5】對(duì)假命題“若a＞b，則a2＞b2”舉反例，正確的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 B．a(chǎn)＝2，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝﹣1，b＝0 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則、有理數(shù)的乘法法則計(jì)算，根據(jù)假命題的概念判斷即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣1，b＝﹣2時(shí)，a＞b，a2＝1，b2＝4，則a2＜b2，∴若a＞b，則a2＞b2”是假命題，故選：D．【變式7-6】下列命題：①兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角；②過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；③內(nèi)錯(cuò)角相等；④a，b，c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角定義、平行線的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：①兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角，原命題是假命題；②過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，原命題是假命題；③兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，原命題是假命題；④a，b，c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c，原命題是真命題．故選：D．【變式7-7】把下列命題改寫成“如果…那么…”的形式，并指出命題的真假．（1）等角的補(bǔ)角相等．（2）垂直于同一直線的兩直線平行．【分析】（1）等角的補(bǔ)角相等的題設(shè)為兩個(gè)角是兩相等角的補(bǔ)角，結(jié)論為這兩個(gè)角相等，它為真命題；（2）垂直于同一直線的兩直線平行的題設(shè)為兩條直線都垂直于同一條直線，結(jié)論為這兩條直線平行；由于沒有同一平面的條件，所以它為假命題．【解答】解：（1）等角的補(bǔ)角相等改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)角是兩相等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等．此命題為真命題；（2）垂直于同一直線的兩直線平行改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．此命題為假命題．【變式7-8】判斷下列命題的真假，若是假命題，舉出反例．（1）若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等；（2）若a+b＝0，則ab＝0；（3）若ab＝0，則a+b＝0．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：（1）假命題．如：兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（2）假命題．如：a＝5和b＝0．（3）假命題，如a＝5和b＝0．題型八命題的分析與證明題型八命題的分析與證明【例題8】如圖，在三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是AC上一點(diǎn)，連接DG，且∠1＝∠2．求證：AB∥DG．【分析】根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行”得到EF∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合等量代換推出∠BAD＝∠2，即可判定AB∥DG．【解答】證明：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．解題技巧提煉本題考查了命題證明的書寫，推理過程要具有邏輯性，在解題的過程中需要綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定.【變式8-1】已知：如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．求證：DE∥BC．【分析】由已知條件可證得AB∥EF，從而有∠3＝∠ADE，則得∠B＝∠ADE，得證DE∥BC．【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠ADG＝180°，∴∠2＝∠ADG，∴AB∥EF，∴∠3＝∠ADE，∵∠B＝∠3，∴∠B＝∠ADE，∴DE∥BC．【變式8-2】如圖，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AF⊥CE于點(diǎn)O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求證：AB∥CD．【分析】先證CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定義得出∠AFC+∠2＝90°，結(jié)合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，從而得證．【解答】證明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定義）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFB＝∠AOE（兩直線平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代換）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定義），∴∠AFC+∠2＝90°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，并靈活運(yùn)用．【變式8-3】如圖，在四邊形ABCD中．點(diǎn)E為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，交BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求證：∠E＝∠F．【分析】應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解即可得出答案．【解答】證明：∵∠1＝∠3（對(duì)頂角相等），∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代換），∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠A+∠4＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代換），∴CF∥EA（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），【變式8-4】如圖，EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，DB⊥AC交AC于點(diǎn)M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求證：AB∥MN．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：AB∥MN，理由如下：∵EF⊥AC，DB⊥AC，∴DB∥EF，∴∠2＝∠MDC，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠MDC，∴MN∥CD，又∵∠3＝∠C，∴AB∥CD，∴AB∥MN．【變式8-5】如圖，點(diǎn)E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，點(diǎn)M，G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求證：（1）∠2＝∠CBD；（2）MD∥BC．【分析】（1）利用垂直于同一直線的兩直線平行，得到平行線，利用平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等推理即可；（2）利用兩條直線都平行于第三條直線，則這兩條直線也平行推理即可．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2＝∠CBD；（2）∵∠1＝∠2，∠2＝∠CBD，∴∠1＝∠CBD，∴GF∥BC，∵∠AMD＝∠AGF，∴GF∥MD，∴MD∥BC．【變式8-6】如圖，∠ABC的兩邊分別平行于∠DEF的兩條邊，且∠ABC＝45°．（1）圖1中：∠DEF＝，圖2中：∠DEF＝；（2）請觀察圖1、圖2中∠DEF分別與∠ABC有怎樣的關(guān)系，請你歸納出一個(gè)命題．【分析】（1）圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥DE得到∠B＝∠DGC＝45°，再由BC∥EF得∠DEF＝∠DGC＝45°；圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥DE得∠B＝∠BGE＝45°，再由BC∥EF得∠DEF+∠BGE＝180°，所以∠DEF＝135°；（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果易得∠DEF與∠ABC相等，∠DEF與∠ABC互補(bǔ)，這個(gè)結(jié)論可歸納為：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【解答】解：（1）圖1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；圖2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案為45°，135°；（2）∠DEF與∠ABC相等，∠DEF與∠ABC互補(bǔ)，結(jié)論：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．平行線的性質(zhì)隨堂檢測1.下列語句是命題的是（）A．畫出兩個(gè)相等的角 B．所有的直角都相等嗎？ C．延長線段AB到C，使得BC＝BA D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】利用命題的定義判斷即可．【解答】解：A．畫出兩個(gè)相等的角，沒有對(duì)一件事情做出判斷，故A選項(xiàng)不是命題，不符合題意；B．所有的直角都相等嗎？是表示疑問的語句，而不是表示判斷的語句，故選項(xiàng)B不符合題意；C．延長線段AB到C，使得BC＝BA，不是表示判斷的語句，故選項(xiàng)C不符合題意；D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，是表示判斷的語句，故D是命題，符合題意．故選：D．2.已知，直線m∥n，將含30°的直角三角板按照如圖位置放置，∠1＝25°，則∠2等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可以得出∠CDE＝25°，然后利用30°的直角三角板可得∠ACB＝30°，最后利用平行線的性質(zhì)∠2＝∠CEF＝55°．【解答】解：如圖：∵∠1＝25°，∠1與∠CDE是對(duì)頂角，∴∠CDE＝∠1＝25°，∵∠ACB＝30°，∴∠CEF＝∠ACB+∠CDE＝55°，∵m∥n，∴∠2＝∠CEF＝55°．故選：C．3.如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于點(diǎn)E．若∠C＝50°，則∠AEC的大小為（）A．55° B．65° C．70° D．80°【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠AEC的度數(shù)即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝65°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠BAE＝65°．故選：B．4.有下列四種說法：（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行（2）相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這點(diǎn)到直線的距離（4）垂直于同一條直線的兩直線平行：其中正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)，平行公理，點(diǎn)到直線的距離的定義對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：（1）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，故（1）正確；（2）相等的兩個(gè)角不一定是對(duì)頂角，故（2）錯(cuò)誤；（3）直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，故說法（3）錯(cuò)誤；（4）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，故（4）錯(cuò)誤；綜上所述，正確的只有1個(gè)．故選：B．5.如圖，AB∥EF，C點(diǎn)在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．則關(guān)于結(jié)論①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判斷正確的是（）A．①②都正確 B．①②都錯(cuò)誤 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②正確【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，證出∠1+∠BCD＝90°，∠