新教材2025版高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其運算學生用書新人教B版選擇性必修第一冊

1．1.1空間向量及其運算[課標解讀]1.經(jīng)驗由平面對量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)驗由平面對量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.3.了解空間向量投影的概念及投影向量的意義．教材要點學問點一空間向量的概念1．在空間中，把具有________和________的量叫做空間向量，向量a的有向線段的長度叫做向量的________或________．空間向量也用有向線段表示，有向線段的________表示向量的模，向量a的起點是A，終點是B，則向量a也可記作AB，其模記為|a|或|AB|.2．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量起點與終點重合的向量叫做________，記為0單位向量________的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向________且模________的向量稱為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．假如空間中一些向量的基線________________，則這些向量叫做________或________狀元隨筆平面對量的有關概念和約定，能否將它們從平面推廣到空間？[提示]只要去掉“在平面內(nèi)”的限定，平面對量的概念與約定都可以原封不動地推廣到空間中．學問點二空間向量的加、減、數(shù)乘運算及其運算律空間向量的運算加法a＋b＝OA減法a－b＝OA數(shù)乘當λ＞0時，λa＝QP＝λOA；當λ＝0時，λa＝0；當λ＜0時，λa＝MN＝λOA加法與數(shù)乘運算律(1)加法交換律：a＋b＝b＋a；(2)加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb狀元隨筆空間兩個向量的加減法與平面內(nèi)兩個向量的加減法完全一樣嗎？[提示]完全一樣．凡涉及空間兩個向量的問題，平面對量中有關結論仍適用于它們．學問點三空間向量的夾角假如〈a，b〉＝90°，那么向量a，b________，記作________．學問點四兩個向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.2．數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結合律(λa)·b＝________交換律a·b＝________安排律(a＋b)·c＝________學問點五兩個向量的數(shù)量積的性質兩個向量數(shù)量積的性質①若a，b是非零向量，則a⊥b?________②若a與b同向，則a·b＝________；若反向，則a·b＝________．特殊地，a·a＝________或|a|＝a③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝________④|a·b|≤|a|·|b|基礎自測1.下列命題中，假命題是()A．同平面對量一樣，隨意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相反向量的和為零向量C．只有零向量的模等于0D．空間中隨意兩個單位向量必相等2．等邊△ABC中，AB與BC的夾角是________，CB與AB的夾角是________．3．在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量AA1與CC1是________向量，向量AC與4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．題型1空間向量的概念及簡潔應用例1下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結合律D．在四邊形ABCD中，肯定有AB+AD方法歸納(1)兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．(2)嫻熟駕馭空間向量的有關概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算律是解決好這類問題的關鍵．跟蹤訓練1(1)給出下列命題：①零向量沒有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC＝A1③若向量a與向量b的模相等，則a＝b.其中正確命題的序號是________．(2)下列四個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若a，b滿意|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個空間向量的模必不相等；④對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為()A．①②③B．④C．③④D．①④題型2空間向量的加、減法運算【思索探究】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點？[提示](1)空間中隨意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量，因此，它們的加減法運算類似于平面對量的加減法．(2)若兩個空間向量的始點相同，則這兩個向量即為平面對量．求這兩個向量之和時，應優(yōu)先考慮平行四邊形法則．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點，因此為便于記憶，常把這個和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時，可通過平移將它們轉化為首尾相接的向量．例2如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結果的向量．(1)AA'(2)AA'狀元隨筆一般地，起點相同三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關系？[提示]起點相同的三個不共面的向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的公共始點為始點的對角線所示向量，也稱平行六面體法則．方法歸納(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即A1A(2)首尾順次相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖，OB+(3)空間向量的減法運算也可以看成是向量的加法運算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空間隨意兩個向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個平面內(nèi)的兩個向量，而平面對量滿意加法交換律，因此空間向量也滿意加法交換律．(5)空間向量加法結合律的證明：如圖，(a＋b)＋c＝(OA+AB)＋BC＝OB+BC＝OC，a＋(b＋c)＝OA＋(AB+所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．跟蹤訓練2(1)(變結論)利用本例圖，化簡AA'(2)(變結論)利用本例圖，求證：AC+AB'題型3空間向量的夾角例3如圖所示是一個正方體，求下列各對向量的夾角：(1)AB與A1C1；(2)AB(3)AB與A1D1；(4)AB狀元隨筆空間兩個向量夾角定義的要點是什么？[提示]隨意兩個空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面對量夾角的定義一樣．方法歸納(1)空間向量夾角范圍同兩平面對量夾角范圍一樣，即[0，π].(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起．(3)兩個空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．跟蹤訓練3如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，求下列各對向量的夾角：(1)AB與BC；(2)AB與CD；(3)AB與DE；(4)AB與EF；(5)AB與FA；(6)AB與BE.題型4數(shù)量積運算例4如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)OA·OB；(2)EF·CB；(3)(OA+OB)·(狀元隨筆依據(jù)數(shù)量積的定義進行計算，求出每組向量中每個向量的模以及它們的夾角，留意充分結合正四面體的特征．方法歸納1．要牢記公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2．在求兩個向量夾角時，要留意向量的方向，如〈EF，CB〉＝〈跟蹤訓練4已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．試計算：1BC2BF3EF題型5利用數(shù)量積求夾角、模、解決垂直問題【思索探究】空間向量數(shù)量積的性質有什么作用？[提示](1)向量模的應用：式子|a|＝a·(2)向量夾角的應用：空間中兩條直線(特殊是兩條異面直線)的夾角，可以通過求出這兩個向量的夾角而求得．(3)兩個向量a與b的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a在b上的投影的數(shù)量|a|cos〈a，b〉與b的長度的乘積；要明確向量a在向量b上的投影仍是一個向量，其數(shù)量為|a|cos〈a，b〉＝a·(4)數(shù)量積的應用：兩非零向量a，b，若a·b＝0，則兩向量對應的直線相互垂直．例5(1)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2，求異面直線BA1與AC所成角的余弦值．(2)如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，從同一頂點動身的三條棱的長都等于1，且彼此的夾角都是60°，求對角線AC1和BD1的長．狀元隨筆(1)先求BA1·AC，再由夾角公式求cos〈BA1，AC〉，并由此確定(2)把向量AC1和BD1用已知向量AB、AD、AA方法歸納1．利用數(shù)量積求異面直線所成角(或余弦值)的方法：2．求兩點間的距離或某條線段的長度的方法：先將此線段用向量表示，然后用其他已知夾角和模的向量表示此向量，最終利用|a|2＝a·a，通過向量運算去求|a|，即得所求距離．3．證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來推斷兩直線是否垂直．4．證明與空間向量a，b，c有關的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再推斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓練5如圖所示長方體ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中點，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：(1)BC'·AE(2)B'D·易錯點本節(jié)課的易錯點是零向量的概念的應用，以及向量夾角的概念．(1)空間向量夾角范圍同兩平面對量夾角范圍一樣．即[0，π].(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起．第一章空間向量與立體幾何1．1空間向量及其運算1．1.1空間向量及其運算新知初探·自主學習[教材要點]學問點一1．大小方向模長度長度2．零向量模為1相等相反相同相等同向等長相互平行或重合共線向量平行向量學問點三非零∠AOB〈a，b〉[0，π]相互垂直a⊥b學問點四2．λ(a·b)b·aa·c＋b·c學問點五a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2a[基礎自測]1．解析：大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個向量稱為相反向量；隨意兩個單位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．答案：D2．答案：120°60°3．答案：相等相反4．解析：∵cos〈a，b〉＝a·bab＝∴〈a，b〉＝120°.答案：120°課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：|a|＝|b|，說明a與b模長相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結合律，減法不具有結合律；一般的四邊形不具有AB+AD＝AC答案：B跟蹤訓練1解析：(1)①正確；②正確，因為AC與A1C1的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a綜上可知，正確命題為①②.(2)對于①：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②：向量是不能比較大小的，故不正確；對于③：不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯；只有④正確．答案：(1)①②(2)B例2解析：(1)AA'-CB＝AA'-(2)AA'+AB+B'C'＝(向量AD'、AC跟蹤訓練2解析：(1)結合加法運算AA'+A'B故AA'(2)證明：長方體的六個面均為平行四邊形．∵AC＝AB+AD，AB'∴AC+AB'+AD'＝(AB+又∵AA'＝CC'，∴AB+AD+AA'＝AB∴AC+AB'例3解析：(1)由于A1C1與AC的方向相同，所以〈2〈AB，3〈AB，4〈AB，跟蹤訓練3答案：(1)60°(2)120°(3)180°(4)120°(5)60°(6)120°例4解析：(1)正四面體的棱長為1，則|OA|＝|OB|＝1.△OAB為等邊三角形，∠AOB＝60°，于是：OA·OB＝|OA||OB|cos〈OA，＝|OA||OB|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝12(2)由于E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，所以EF綊12AC于是EF·CB＝|EF||CB|cos〈EF，＝12|CA|·|CB|cos〈AC＝12×1×1×cos〈AC＝12×1×1×cos120°＝－1(3)(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(＝(OA+OB)·(OA+＝OA2＋OA·OB－2OA·OC+OB·OA+＝1＋12－2×12+跟蹤訓練4解析：如圖，設AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則|a|＝|ca·b＝b·c＝c·a＝0.1BC·ED＝AD＝b·12c-a+b＝|2BF·AB＝(AA1-AB+12AD)·(AB

+AA1)＝(c－a＋123EF·FC＝12AA1-＝12c-a+1＝12(－a＋b＋c)·(12b＋＝－12|a|2＋14|b|例5解析：1∵BA1＝BA+AA1＝BA+BB1，AC＝BC-BA，且BA∴BA1·AC＝－又|AC|＝2，BA1＝1+2∴cos〈BA1，AC〉＝BA1∵異面直線所成角的范圍是0，∴異面直線BA1與AC所成角