《自動控制原理及其應(yīng)用》 課件 第4章根軌跡分析法

第4章根軌跡分析法z2為什么要使用根軌跡分析法？根軌跡分析引入話題：通過實際工程中的控制系統(tǒng)案例，橋梁穩(wěn)定性（塔科馬海峽大橋的倒塌）.

對三階以上的高階控制系統(tǒng),基于手工求解特征方程式的根通常不是一件容易的事情。伊文思于1948年首先提出了一種求解系統(tǒng)特征方程式根的簡便圖解法,稱為根軌跡法。3根軌跡定義根軌跡定義所謂根軌跡是指系統(tǒng)某一參數(shù)由零變化到無窮大時,閉環(huán)系統(tǒng)特征根在復平面上的相應(yīng)軌跡。4本章我們主要學什么？根軌跡1.在根軌跡中主要研究的是以系統(tǒng)開環(huán)增益為參變量的根軌跡。2.以此為基礎(chǔ)該方法也可推廣到隨其他參數(shù)變化的廣義根軌跡。5本章我們主要學什么？根軌跡法內(nèi)容根軌跡法包括兩個部分:首先是求取或繪制根軌跡,其次是利用根軌跡圖進行分析和設(shè)計。

本章討論的重點是從開環(huán)傳遞函數(shù)的極點和零點繪制根軌跡的方法,以及調(diào)整開環(huán)極點和零點使閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點符合規(guī)定的性能指標的途徑。6目錄4.2根軌跡繪制的基本法則4.1根軌跡的基本概念4.3延遲系統(tǒng)的根軌跡4.4廣義根軌跡4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析法714.1根軌跡的基本概念所謂根軌跡，就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（如開環(huán)增益）從零變到無窮大時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在s平面上移動的軌跡。84.1根軌跡的基本概念4.1.1根軌跡定義4.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系4.1.3根軌跡方程4.1.4繪制根軌跡的相角條件和幅值條件94.1.1根軌跡定義104.1.1根軌跡定義114.1.1根軌跡定義124.1.1根軌跡定義134.1.1根軌跡定義144.1.1根軌跡定義154.1.1根軌跡定義164.1.1根軌跡定義174.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系184.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系194.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系204.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系214.1.3根軌跡方程224.1.3根軌跡方程234.1.4繪制根軌跡的相角條件和幅值條件2424.2根軌跡繪制的基本法則本節(jié)討論繪制概略根軌跡的基本法則和閉環(huán)極點的確定方法。254.2根軌跡繪制的基本法則4.2.1.概略繪制根軌跡圖的規(guī)則4.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則264.2根軌跡繪制的基本法則274.2根軌跡繪制的基本法則284.2.1.概略繪制根軌跡圖的規(guī)則294.2.1.概略繪制根軌跡圖的規(guī)則304.2.1.概略繪制根軌跡圖的規(guī)則314.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則324.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則334.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則344.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則354.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則364.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則374.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則384.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則394.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則404.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則414.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則424.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則434.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則444.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則454.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則464.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則474.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則484.2.2.較為準確地繪制根軌跡圖的規(guī)則4934.3延遲系統(tǒng)的根軌跡

繪制一般系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則若用于延遲系統(tǒng)，均應(yīng)作相應(yīng)的更改。504.3延遲系統(tǒng)的根軌跡5144.4廣義根軌跡在控制系統(tǒng)中,除根軌跡增益K*為變化參數(shù)的根軌跡以外,其他情形下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。524.4廣義根軌跡4.4.1參數(shù)根軌跡4.4.2零度根軌跡534.4廣義根軌跡544.4.1參數(shù)根軌跡554.4.1參數(shù)根軌跡564.4.1參數(shù)根軌跡574.4.1參數(shù)根軌跡584.4.1參數(shù)根軌跡594.4.1參數(shù)根軌跡604.4.1參數(shù)根軌跡614.4.1參數(shù)根軌跡624.4.1參數(shù)根軌跡634.4.1參數(shù)根軌跡644.4.2零度根軌跡654.4.2零度根軌跡664.4.2零度根軌跡674.4.2零度根軌跡684.4.2零度根軌跡694.4.2零度根軌跡704.4.2零度根軌跡714.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析法4.5.1閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)4.5.2系統(tǒng)性能的定性分析724.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析法734.5.1閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)744.5.1閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)754.5.2系統(tǒng)性能的定性分析764.5.2系統(tǒng)性能的定性分析774.5.2系統(tǒng)性能的定性分析4.6用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡利用MATLAB可以非常方便地繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。本節(jié)將介紹如何利用MATLAB方法繪制根軌跡。使用rlocus命令可以得到連續(xù)單輸入單輸出系統(tǒng)的根軌跡圖，此命令有兩種基本形式：rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k)其中，num、den分別為單輸入單輸出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式、分母多項式降冪排列的系數(shù)向量。利用rlocus命令繪制的根軌跡圖是自動生成的。如果參數(shù)k是指定的，rlocus命令將按照給定的參數(shù)繪制根軌跡圖，否則增益k是自動確定的，k的變化范圍是0到

。但是，下面這種帶有輸出變量的引用函數(shù)形式，返回的是系統(tǒng)的閉環(huán)極點。clpoles=rlocus(num,den)或clpoles=rlocus(num,den,k)用MATLAB繪制根軌跡時，具有x、y坐標軸自動定標功能。如果希望自行設(shè)置顯示圖形的坐標范圍，可以用axis命令定義繪制圖形的軸線區(qū)域。例如axis([-2.5,1-3,3]);表示x軸的顯示范圍是﹣2.5～1，y軸的顯示范圍是﹣3～3。例4-10某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，試繪制該系統(tǒng)的根軌跡。解

顯然

，

輸入以下MATLAB程序num=[1];den=[1,3,2,0];rlocus(num,den);axis([-6,2-4,4])運行結(jié)果如右圖所示。單位反饋系統(tǒng)的根軌跡圖定常阻尼比

（從0至1，間隔增量為0.1）與自然頻率

的根軌跡可以用sgrid命令繪制在同一根軌跡圖上。sgrid命令的調(diào)用格式為sgrid或sgrid(zeta,wn)后一種形式允許指定阻尼比與自然頻率的范圍。例如sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5);表示要繪制阻尼比線（

從0.5至0.7）與自然頻率線（0.5rad/s）。在系統(tǒng)分析過程中，常常希望確定根軌跡上某一點的增益值，利用rlocfind命令可以完成該項工作。首先要得到系統(tǒng)的根軌跡，然后執(zhí)行下面的命令：[k,poles]=rlocfind(num,den);執(zhí)行命令后，將在根軌跡圖形屏幕上生成一個十字光標，利用鼠標移動這個十字光標到所希望的位置，然后單擊左鍵，在MATLAB的命令窗口中將會出現(xiàn)該點的位置及其所對應(yīng)的增益值k。如果所選擇的點接近于根軌跡上某點，則該點對應(yīng)的增益值及極點位置將作為命令的輸出參數(shù)。rlocfind命令也可以在沒有繪制根軌跡圖之前執(zhí)行，此時其調(diào)用格式如下：[k,poles]=rlocfind(num,den,p);其中，輸入?yún)?shù)p是指定的極點矢量。在控制系統(tǒng)的分析過程中，常常需要求取對應(yīng)某一極點附近的參數(shù)。假設(shè)求例4-10系統(tǒng)中極點位置為

和

所對應(yīng)的根軌跡增益及所有其他閉環(huán)極點，可以用以下程序求得：num=1;den=[1,3,2,0];[k,cl