專題 圓的證明與計算(含答案) 2024-2025學年人教版數(shù)學九年級上冊

專題圓的證明與計算1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，BC平分∠ABD，E是弧AB的中點，連接DE交BC(1)求證：CD=CF；(2)若BF=2，EF=52，求CF2．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AC，過A作AF⊥AC，交⊙O于點F，連接DF，過B作BG(1)求證：BG是⊙O(2)若∠DFA=30°，3．如圖，在△ABC中AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作DE⊥AC于點E，交(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若點E是DF的中點，求OEAB4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB，連接DO并延長交CB的延長線于點E．(1)判斷直線CD與⊙O(2)若BE=4，∠A=45°，求AC的長．5．已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交于AC點D，過圓心O作AC的平行經(jīng)OE，交BC于點E，連接DE并延長交AB的延長線于點F．(1)求證：DF是⊙O(2)若BF=4,DF=6，求DE．6．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D為斜邊BC的中點，以AD為直徑作⊙O，分別與邊AB、AC交于點E、F，過點E作EG⊥(1)求證：EG是⊙O(2)已知⊙O的半徑為6，若AF=8，求BE的長．7．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CA，CE分別與⊙O相切于點A，E，點D是CE(1)證明：BD是⊙O(2)若AB=6，AC=x，BD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．8．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF,CF．(1)求證：AC=AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF=30°，求AC的長（結(jié)果保留π）．9．如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，OA⊥BC于點(1)求證：∠AOB=2(2)若H為OA的中點，且DC+DB=23，求AD10．AB為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）過點D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半徑．11.如圖，是⊙O的直徑，點是△ABC的內(nèi)心，的延長線交⊙O于點，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的值．12．如圖，是半圓的直徑，是半圓的切線（即圓的切線）．連接，交半圓于點，連接．過點作直線，且．(1)求證：直線是半圓的切線；(2)求證：點是線段的中點；(3)若，，求線段的長．參考答案：1．(1)見解析(2)6【詳解】（1）解：連接CE，∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∴CD=∵E是弧AB的中點，∴∠ABE=∴∠CBA+∵∠CDE與∠CBE所對均為AC，∴∠CDE=∠CBE∵∠CFD=∠FCE+∠FEC，AC+∴∠FCE+∴∠CFD=∴CD=CF；（2）連接AC，由（1）知∠CFD=∠EFB，∠CDF=∴∠EFB=∴EF=EB，∵EF=52，E是弧AB∴EF=BE=AE=52∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，∠ACB=90∴AB=A由（1）得CD∴，∴CD=CF=AC，設(shè)CF=AC=x，則BC=x+2，∴AC2+B解得：x=6（負根舍去），∴CF=6．2．(1)見解析(2)6【詳解】（1）證明：∵C，A，D，F(xiàn)在⊙O上，AF⊥∴∠D=∵AB⊥CD，BG⊥∴∠BED=∠G=90°，∴四邊形BEDG中，∠ABG=90∴半徑OB⊥∴BG是⊙O（2）解：連接CF，∵∠CAF=90∴CF是⊙O∴，∵直徑AB⊥CD于∴CE=DE，∴OE是△CDF∴OE=1∵∠AFD=30∴∠ACD=∴∠CAE=90∵OA=OC，∴△AOC∵CE⊥∴E為AO的中點，∴OA=2OE=4，OB=4，AE=2，∴BE=OB+OE=6，DE=CE=23∵∠BED=∴四邊形BEDG是矩形，∴S=6=633．(1)見解析；(2)OEAB【詳解】（1）證明：連接CD，連接OD，∵BC為⊙O∴CD⊥∵AC=BC，∴AD=BD．∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA∴OD∥∵DE⊥∴．∵OD為半徑，∴DF是⊙O（2）解：由（1）知OD∥∵點E是DF的中點，∴DE=EF，∵OD∥∴DEEF∴OC=CF，即：點C為OF的中點，∴CD=12OF=OC∴△OCD∴∠DOF=60°，則∠F=30設(shè)⊙O的半徑為a，則：OD=OB=OC=CF=a，∴∠B=12∠DOC=30°，BC=2a由勾股定理可得：BD=3a，∴DE=12∴OE=O∴OEAB即：OEAB4．(1)直線CD與⊙O(2)6【詳解】（1）相切，理由如下，如圖，連接OC，∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∠ABC=90∴△OCB∴∠ODC=∴OD⊥∵OD是⊙O∴DC是⊙O（2）設(shè)⊙O的半徑為r，∵在Rt△ABC中，有∴∠A=45∴BC=AB=2r，∴CD=BC=2r，∵∠EDC=∴tan∠∵BE=4，OB=r，∴r4即DE=8，在Rt△EDC中，有EC∴4+2r2∴r=3，AB=BC=2r=6，在Rt△ABC中，5．(1)見詳解．(2)5【詳解】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∵OE∥AC，OA=OB，∴BECE∴BE=CE，∴DE=BE=CE，∴∠DBE=∵OB=OD，∴∠OBD=∴∠ODE=∵點D在⊙O上，∴DF是⊙O的切線；（2）連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∵OE∥AC，OA=OB，∴BECE∴BE=CE，∴DE=BE=CE，設(shè)DE=BE=CE=x，則EF=DF-在△BEF中，∠EBF=90∴EF即6-解得x=5∴DE=56．(1)見解析；(2)BE=45【詳解】（1）證明：如圖，連接OE，∵Rt△ABC中，D為∴AD=BD，∴∠BAD=∵OE=OA，∴∠OAE=∴∠OEA=∴OE∥又∵EG⊥∴EG⊥∴EG是⊙O（2）解：如圖，連接DE，∵AD是⊙O∴，又∵∠BAC=90∴四邊形AEDF為矩形，∴DE=AF=8，又∵BD=AD=12，∴BE=B7．(1)證明見詳解(2)y=【詳解】（1）證明：連接OD，∵⊙O與CE相切于點E，∴∠OED=90∵OE，∴OE=OB，∵OD=OD，DB=DE∴△OBD∴∠OED=∵OB是⊙O∴BD是⊙O（2）解：如圖所示：過點C作CF⊥BD于點F，則CF=AB=6．∵AC=x，∴DF=BD-由切線長定理可得：CE=CA，∴CD=CE+ED=AC+BD=x+y，在Rt△∵∴（y+x整理得：y=9則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=98．(1)證明見解析；(2)5π【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，DF∥∴四邊形ABED為平行四邊形，∴∠B=∵∠AFC=∴∠AFC=∴AC=AF．（2）解：連接AO,CO，如圖，由（1）得∠AFC=∵∠AFC=∴∠AOC=2∴AC的長l=1509．(1)見詳解(2)2【詳解】（1）證明：∵OA⊥BC于點∴AC=∴∠ADC=∵∠AOB=2∴∠AOB=2（2）解：∵H為OA的中點，∴OH=1∵OA⊥BC于點∴∠OBH=30°，即：∠BOH=60∴∠ADB=∴∠CDB=60連接AC，AB，則∠BAC=180°-60°=120°，把△BAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到，延長DA，使AD=AE，連接EF，則∠ABD=∠ACF∵，∴∠ACF+∠ACD=180°，即C、∴∠ADF=∴∠EAF=30∴△AEF∴∠AFE=60∴∠DFE=30∵DC+DB=23∴DF=DC+CF=23∴DE=DF÷∴AD=4÷10．（1）見詳解；（2）10．【詳解】證明：（1）連OC，如圖，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA為⊙O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC為⊙O的切線；（2）連AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，AE=AF設(shè)⊙O半徑為r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r-4）2∴r=10．所以⊙O的半徑為10．11.(1)見解析；(2)．【詳解】（1）證明：點是的內(nèi)心，，．，，，，；（2）解：連接．是的直徑，，，，，，，，