材料力學(xué)（第2版）課件：桿件的應(yīng)力分析A

桿件的應(yīng)力分析(A)StressPARTA桿件的應(yīng)力分析（A）Stress（PARTA）3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力問(wèn)題的提出內(nèi)力相同，但是常識(shí)告訴我們，直徑細(xì)的拉桿更容易破壞。課堂思考：(1)內(nèi)力顯然不是決定拉桿破壞的唯一因素。(2)決定拉桿是否發(fā)生破壞的因素有哪些？3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系△A上的內(nèi)力平均集度為:

當(dāng)△A趨于零時(shí)，pm的大小和方向都將趨于某一極限值。

p稱為該點(diǎn)的應(yīng)力(Stress)，它反映內(nèi)力系在該點(diǎn)的強(qiáng)弱程度，p是一個(gè)矢量。3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系

p

一般來(lái)說(shuō)既不與截面垂直，也不與截面相切，對(duì)其進(jìn)行分解垂直于截面的應(yīng)力分量:s相切于截面的應(yīng)力分量:tσ

正應(yīng)力τ

切應(yīng)力應(yīng)力單位:牛頓/米2帕斯卡（Pa）1kPa=103Pa1MPa=103kPa=106Pa1GPa=103MPa=106kPa=109Pa3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系變形(Deformation)構(gòu)件在外力作用下尺寸和形狀的改變位移(Displacement)構(gòu)件在其變形的同時(shí)，其上的點(diǎn)、面相對(duì)于初始位置的變化在構(gòu)件中取一個(gè)各邊邊長(zhǎng)為無(wú)限小的正六面體(單元體)，考察構(gòu)件變形后，單元體棱邊的長(zhǎng)度和兩棱邊之間的夾角變化。所有的變形后的單元體組合起來(lái)就是變形后的構(gòu)件形狀，反映出構(gòu)件的宏觀變形。3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系

變形前

變形后正應(yīng)變線應(yīng)變NormalStrain切應(yīng)變角應(yīng)變AngularStrain

正應(yīng)變和切應(yīng)變的量綱均為1

切應(yīng)變的單位是rad應(yīng)變Strain3.1應(yīng)力、應(yīng)變及其相互關(guān)系胡克定律試驗(yàn)表明，對(duì)于工程中常用材料制成的桿件，在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)（構(gòu)件只發(fā)生彈性變形），若所取單元體只承受單方向正應(yīng)力或只承受切應(yīng)力，則正應(yīng)力與線應(yīng)變以及切應(yīng)力與切應(yīng)變之間存在線性關(guān)系。τγOσxεxOE-材料的楊氏彈性模量G-材料的切變模量RobertHooke

3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力1拉壓桿橫截面上的應(yīng)力平面假設(shè):變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面且仍垂直于桿軸線。(參考圣維南原理)假設(shè)：橫截面上各點(diǎn)處僅有正應(yīng)力s，并沿截面均勻分布。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力1拉壓桿橫截面上的應(yīng)力設(shè)橫截面的面積為A，由靜力學(xué)關(guān)系：

正應(yīng)力，拉應(yīng)力為“+”，壓應(yīng)力為“－”FN

軸力A

橫截面面積桿件橫面尺寸沿軸線緩慢變化的變截面直桿：多個(gè)軸向載荷作用的等截面直桿：最大軸力所在的截面稱為危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力稱為最大工作應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力【例3.1】

起吊三角架如圖所示，已知桿AB由兩根橫截面面積為A的角鋼制成，設(shè)A=10.86cm2,F=130kN,

a=30°。求桿AB橫截面上的應(yīng)力。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力2)計(jì)算sAB以節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，列平衡方程拉3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

不同材料的實(shí)驗(yàn)表明，拉壓桿的破壞并不總是沿橫截面發(fā)生，有時(shí)沿斜截面發(fā)生。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力

橫截面上的應(yīng)力分布均勻，由此推斷，斜截面m-m上的應(yīng)力pa也為均勻分布。

設(shè)橫截面面積As

橫截面上的正應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力

將應(yīng)力pa沿截面法向和切向進(jìn)行分解：a

=0：

a

=45°：a=90°：

拉壓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸線成45°的斜截面上縱向纖維之間無(wú)擠壓，無(wú)剪切3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力【例3.2】

已知階梯形直桿受力如圖所示，桿各段的橫截面面積分別為A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，桿各段的長(zhǎng)度如圖。求(1)桿AB、BC、CD段橫截面上的正應(yīng)力(2)桿AB段上與桿軸線夾45°角(逆時(shí)針?lè)较?斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力(1)計(jì)算各桿段橫截面上的正應(yīng)力利用截面法求出各段軸力(步驟略)AB段BC段CD段3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力(2)計(jì)算桿AB斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力平面假設(shè):變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面且仍垂直于桿軸線。思考：平面假設(shè)什么場(chǎng)合下是成立的？當(dāng)桿端承受集中載荷或其他非均勻分布載荷時(shí)，桿件并非所有橫截面都能保持平面，從而產(chǎn)生均勻的軸向變形。這種情況下，正應(yīng)力公式并不是對(duì)桿件上所有橫截面都適用3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力圣維南原理：BarrédeSaint-Venant“如果作用在彈性體一小塊表面上的力被作用于同一塊表面上的靜力等效力系替代，這種替換僅使局部表面產(chǎn)生顯著的應(yīng)力變化，而在比應(yīng)力變化表面的線性尺寸更遠(yuǎn)的地方，其影響可忽略不計(jì)?！盉.Saint-Venant,Mém.savantsétrangers,vol.14,1855.有限元分析的圣維南原理3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)力集中

由圣維南原理知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)，在離開外力作用處較遠(yuǎn)的橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時(shí)，截面突變處局部區(qū)域的應(yīng)力將急劇增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)力集中應(yīng)力集中因數(shù)截面尺寸改變?cè)郊眲?，孔越小，圓角越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。應(yīng)力集中對(duì)脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力3.2直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)的應(yīng)力思考：下圖所表示的應(yīng)力分布說(shuō)明什么問(wèn)題？3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力純剪切問(wèn)題圓筒發(fā)生扭轉(zhuǎn)后，方格由矩形薄壁圓筒壁厚遠(yuǎn)小于其平均直徑d≤r/10

平行四邊形切應(yīng)變

正應(yīng)變?yōu)?無(wú)正應(yīng)力圓筒沿軸線及周線的長(zhǎng)度無(wú)變化3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力因?yàn)閳A筒壁厚很小，可近似認(rèn)為沿筒壁厚度切應(yīng)力不變。橫截面上所有切應(yīng)力t

組成力系的合力為該橫截面的扭矩T3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理

用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)縱向面，從圓筒中取出邊長(zhǎng)為dx，dy和dz的單元體圓筒平衡單元體平衡

上下兩個(gè)側(cè)面必有切應(yīng)力

上下兩個(gè)側(cè)面切應(yīng)力大小相等，方向相反3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力切應(yīng)力互等定理

在相互垂直的一對(duì)平面上，切應(yīng)力同時(shí)存在，數(shù)值相等，且都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向共同指向或共同背離這一交線。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力剪切胡克定律

單元體上下左右四個(gè)側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力

純剪切純剪切試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，有剪切胡克定律G

切變模量，量綱與切應(yīng)力相同E,n，G三者關(guān)系*3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力的計(jì)算公式推導(dǎo)綜合研究幾何、物理、靜力學(xué)幾方面的關(guān)系。平面假設(shè):變形后，橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，且半徑仍為直線。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，各橫截面如同剛性圓片，僅繞軸線作相對(duì)旋轉(zhuǎn)。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力其中表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長(zhǎng)度方向的變化率，而稱為相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。同一截面上為常數(shù)，因此與成正比幾何方面3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力物理方面在剪切比例極限內(nèi)由于發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以

也應(yīng)與半徑垂直。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力靜力學(xué)方面微剪力trdA其對(duì)圓心的力矩

(trdA)r橫截面上，所有微力矩之和等于扭矩3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力3.靜力學(xué)方面代入物理方程極慣性矩PolarMomentofInertia3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式適應(yīng)條件等直圓（環(huán)）截面桿；橫截面上的最大切應(yīng)力小于剪切比例極限T：扭矩Ip：橫截面的極慣性矩r：所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力最大切應(yīng)力圓心處r

=0

t=0外表面r

=r

max

t

=t

max取Wp∶扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，單位mm3m33.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計(jì)算3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力空心圓截面:極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)的計(jì)算3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力【例3.3】

實(shí)心圓軸和空心圓軸通過(guò)牙嵌式離合器相聯(lián)，并傳遞功率，如圖所示。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞的功率

P=7.5kW。若兩傳動(dòng)軸橫截面上的最大切應(yīng)力均等于40MPa，并且已知空心軸的內(nèi)外徑之比a=0.5，試確定實(shí)心軸的直徑與空心軸的外徑。3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力(1)計(jì)算扭矩(2)根據(jù)應(yīng)力條件計(jì)算直徑實(shí)心軸3.3圓截面軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力空心軸實(shí)心和空心軸的橫截面面積之比軸長(zhǎng)度相同，承受扭矩相同，則在最大切應(yīng)力相同的情況下，實(shí)心軸要使用更多的材料。3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念試驗(yàn)表明，非圓截面桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面將成為曲面，產(chǎn)生所謂的翹曲現(xiàn)象平面假設(shè)不再成立，根據(jù)平面假設(shè)所建立的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力公式也不再適用。非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題只能用彈性力學(xué)的方法去研究3.4矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分為自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）和約束扭轉(zhuǎn)兩