高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練21隨機變量及其分布理

專題能力訓(xùn)練21隨機變量及其分布能力突破訓(xùn)練1.(2022湖南衡陽二模)某學(xué)校安排音樂、閱讀、體育和編程四項課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加,甲、乙、丙、丁4名學(xué)生每人限參加其中一項.在甲參加的項目其他3人不參加的情況下,這4名學(xué)生所參加的項目各不相同的概率為()A.118 B.332 C.292.在某公司的兩次投標(biāo)工作中,每次中標(biāo)可以獲利14萬元,沒有中標(biāo)損失成本費8000元.若每次中標(biāo)的概率為0.7,每次投標(biāo)相互獨立,設(shè)公司這兩次投標(biāo)盈利為X萬元,則E(X)=()A.18.12 B.18.22C.19.12 D.19.223.分別統(tǒng)計了甲、乙兩名同學(xué)16周的各周課外體育運動時長(單位:h),得如下莖葉圖:則下列結(jié)論錯誤的是()A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.64.(2022山東德州二模)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(X<2a)=0.3,則P(2a<X<a)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.65.(2022河北石家莊模擬)已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球,現(xiàn)從中有放回地摸球8次,每次摸出1個球,每次摸球的結(jié)果互不影響,規(guī)定每次摸出紅球計3分,摸出白球計0分,設(shè)摸球8次后的總分值為X,則D(X)=()A.8 B.169 C.163 D6.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機變量Y=|X2|,則P(Y=2)=.

7.袋子中有2個黑球,1個白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,取到黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,有下列結(jié)論:①X~B4,23;②P(X=2)=881;③X的數(shù)學(xué)期望E(X)=83;④X的方差D(其中正確的結(jié)論為.(填序號)

8.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為(1)求x,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高如果y-x≥2s129.為了解企業(yè)職工對工會工作滿意度情況,某企業(yè)工會按性別采用分層抽樣的方法,從企業(yè)全體職工中抽取容量為200的樣本進行調(diào)查.被抽中的職工分別對工會工作進行評分,滿分為100分,調(diào)查結(jié)果顯示:最低分為40分,最高分為90分.隨后,企業(yè)工會將男、女職工的評分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖,圖表如下:男職工評分結(jié)果的

頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[40,50)3[50,60)3[60,70)16[70,80)38[80,90]20女職工評分結(jié)果的

頻率分布直方圖

為了便于研究,工會將職工對工會工作的評分轉(zhuǎn)換成了“滿意度情況”,二者的對應(yīng)關(guān)系如下:分?jǐn)?shù)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]滿意度情況不滿意一般比較滿意滿意非常滿意(1)求m的值;(2)為進一步改善工會工作,讓職工滿意,從評分在區(qū)間[40,60)上的男職工中隨機抽取2人進行座談,記這2人中對工會工作滿意度“一般”的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率,從該企業(yè)所有職工中隨機抽取一名職工,求其對工會工作“比較滿意”的概率.10.(2022廣西百色模擬)2022年2月4日至20日,第24屆冬季奧林匹克運動會成功舉辦,某學(xué)校隨機調(diào)查了部分學(xué)生,統(tǒng)計他們觀看開幕式的時長(單位:min)情況,樣本數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),…,[90,100]進行分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計該校學(xué)生觀看開幕式的時長的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表);(2)由頻率分布直方圖可知該校學(xué)生觀看開幕式的時長X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ取10.8,求從該校所有學(xué)生中隨機選取1人,該學(xué)生觀看開幕式的時長位于區(qū)間(56.8,89.2)內(nèi)的概率;(3)從該校所有學(xué)生中隨機選取3人,記觀看開幕式的時長不少于80min的人數(shù)為Y,用樣本中各區(qū)間的頻率代替每名學(xué)生觀看開幕式的時長位于相應(yīng)區(qū)間的概率,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:若X~N(μ,σ2),則P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545.11.甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場的概率;(2)求需要進行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.思維提升訓(xùn)練12.已知兩個游戲盤如圖所示(圖①是半徑為2和4的兩個同心圓,O為圓心;圖②是正六邊形,點P為其中心),游戲盤中各有一個玻璃小球,依次搖動兩個游戲盤后,將它們水平放置,就完成了一局游戲,則一局游戲后,這兩個盤中的小球都停在陰影部分的概率是()A.116 B.18 C.1613.(2022全國乙,理10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則()A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大14.某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得到下面的圖形:以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列.(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值.(3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?15.某中學(xué)為宣傳未成年人保護法,特舉行一次未成年人保護法知識競賽,比賽規(guī)則是:兩人一組,每一輪競賽中,小組兩人分別答兩題,若答對題數(shù)不少于3題,被稱為“優(yōu)秀小組”,已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組,且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對每道題的概率分別為p1,p2.(1)若p1=34,p2=23,求他們在第一輪競賽中獲“優(yōu)秀小組(2)當(dāng)p1+p2=65,且每輪比賽互不影響,如果甲、乙同學(xué)在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組”16.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0;(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X);②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?

專題能力訓(xùn)練21隨機變量及其分布能力突破訓(xùn)練1.C解析設(shè)事件A為“甲參加的項目其他3人不參加”,事件B為“這4名學(xué)生所參加的項目各不相同”,由題意可知n(A)=4×3×3×3=108,n(AB)=4×3×2×1=24,所以P(B|A)=n2.C解析依題意,X的可能取值為28,13.2,1.6,則P(X=28)=0.72=0.49,P(X=13.2)=2×0.7×0.3=0.42,P(X=1.6)=0.32=0.09,故E(X)=28×0.49+13.2×0.421.6×0.09=19.12.3.C解析由莖葉圖可得甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.3+7.52甲同學(xué)有6周的周課外體育運動時長大于8,由頻率估計概率,甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為616<0.4,故C錯誤觀察乙同學(xué)16周的各周課外體育運動時長數(shù)據(jù),可知乙同學(xué)只有3周的周課外體育運動時長小于8,又6.3+10.12>8,7所以乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8,故B正確.乙同學(xué)有13周的周課外體育運動時長大于8,由頻率估計概率,乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為1316>0.6,故D正確4.C解析因為X~N(1,σ2),所以P(X<1)=0.5.又P(X<2a)=0.3,所以P(2a<X<1)=0.2.又2-a+a2=1,所以P(2a<X<a)=2P(2a<X<1)5.D解析因為袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球,所以從袋子中隨機摸出1個球,該球為紅球的概率為412=13.設(shè)有放回地摸球8次,摸到紅球的個數(shù)為Y,則Y~B8,13,所以D(Y)=8×13由題意可知X=3Y,所以D(X)=9D(Y)=9×169=6.0.5解析由分布列的性質(zhì),知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,則m=0.3.由Y=2,即|X2|=2,得X=4或X=0,故P(Y=2)=P(X=4或X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7.①③④解析從袋子中有放回地隨機取球4次,則每次取球互不影響,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球記1分,取到白球記0分,所以取4次球的總分?jǐn)?shù),即為取到黑球的個數(shù),所以隨機變量X服從二項分布,即X~B4,23P(X=2)=C422因為X~B4,所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4×23=因為X~B4,23,所以X的方差D(X)=4×28.解(1)由題中數(shù)據(jù)可得,x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)s12=110×[(9.810)2+(10.310)2+(10.010)2+(10.210)2+(9.910)2+(9.810)2+(10.010)2+(10.110)2+(10.210)2+(9.710)s22=110×[(10.110.3)2+(10.410.3)2+(10.110.3)2+(10.010.3)2+(10.110.3)2+(10.310.3)2+(10.610.3)2+(10.510.3)2+(10.410.3)2+(10.510.3)2(2)因為y-x=10.310=02s12+s2210=2所以y-x>2故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.9.解(1)因為(0.005+m+0.020+0.040+0.020)×10=1,所以m=0.015.(2)依題意,隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.則P(X=0)=C30C32C62=15,P(所以隨機變量X的分布列為X012P131故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×15+1×35+2(3)設(shè)事件M={隨機抽取一名職工,對工會工作“比較滿意”}.因為樣本人數(shù)為200,其中男職工有80人,所以樣本中女職工有120人.由題中頻率分布直方圖可知,女職工對工會工作“比較滿意”的人數(shù)為120×0.020×10=24.由題中頻數(shù)分布表,可知男職工對工會工作“比較滿意”的有16人,所以隨機抽取一名職工,對工會工作“比較滿意”的概率P(M)=24+1610.解(1)由已知得10×(45×0.001+55×0.002+65×0.017+75×0.04+85×0.022+95×0.018)=78.4(min).故估計該校學(xué)生觀看開幕式的時長的平均數(shù)為78.4min.(2)因為μ≈78.4,σ=10.8,所以P(56.8<X<89.2)=P(78.42×10.8<X<78.4+10.8)=12[P(78.410.8<X<78.4+10.8)+P(78.42×10.8<X<78.4+2×10.8)]≈12×(0.6827+0.9545)所以從該校所有學(xué)生中隨機選取1人,該學(xué)生觀看開幕式的時長位于區(qū)間(56.8,89.2)內(nèi)的概率約為0.8186.(3)依題意,從該校所有學(xué)生中隨機選取1人,其觀看開幕式的時長不少于80min的概率為(0.022+0.018)×10=0.4,則Y~B(3,0.4),所以P(Y=0)=C30×0.63=0.216,P(Y=1)=C31×0.4×0.P(Y=2)=C32×0.42×0.6=0.288,P(Y=3)=C33×0.4所以Y的分布列為Y0123P0.2160.4320.2880.064所以E(Y)=3×0.4=1.2.11.解(1)甲連勝四場的概率為1(2)根據(jù)賽制,至少需要進行四場比賽,至多需要進行五場比賽.比賽四場結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場,其概率為116乙連勝四場,其概率為116丙上場后連勝三場,其概率為1所以需要進行第五場比賽的概率為11(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負勝,勝負空勝,負空勝勝,概率分別為1因此丙最終獲勝的概率為1思維提升訓(xùn)練12.A解析一局游戲后,這兩個盤中的小球停在陰影部分分別記為事件A1,A2,由題意知,A1,A2相互獨立,且P(A1)=14π(42-22)42π=316,P(A2)=13,所以“一局游戲后,這兩個盤中的小球都停在陰影部分”的概率為P(A13.D解析當(dāng)該棋手在第二盤與甲比賽時,p=2[p1p2(1p3)+p1p3(1p2)]=2p1p2+2p1p34p1p2p3;當(dāng)該棋手在第二盤與乙比賽時,p=2[p2p1(1p3)+p2p3(1p1)]=2p1p2+2p2p34p1p2p3;當(dāng)該棋手在第二盤與丙比賽時,p=2[p3p1(1p2)+p3p2(1p1)]=2p1p3+2p2p34p1p2p3.由p3>p2>p1>0,可知該棋手在第二盤與丙比賽,p最大.14.解(1)由題圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.由題意知,X所有可能的取值為16,17,18,19,20,21,22.從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元).當(dāng)n=19時,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當(dāng)n=20時,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+