數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊(cè)（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第45講二項(xiàng)式定理含答案及解析

第45講二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理．2.二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．(4)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù).3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式展開式的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作4.二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指，，…，，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與的值無關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與的值有關(guān)．【題型一：二項(xiàng)式定理】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中為常數(shù)項(xiàng)的是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）等于（）A．2n B．2n－1 C．3n D．13．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若的展開式有16項(xiàng)，則自然數(shù)的值為（）A．9 B．10 C．11 D．164．（包頭市第六中學(xué)高二期中（理））若且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．15．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項(xiàng)為（）A．－20i B．15i C．20 D．－156．（陜西金臺(tái)·高二期末（理））展開式中的第4項(xiàng)為（）A． B． C． D．7．（全國(guó)高三專題練習(xí)（理））二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．8．（重慶市第六十六中學(xué)校高二月考）二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．-4 B．4 C．-6 D．69．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，則這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．－34 B．－672 C．84 D．67210．（廣東荔灣·西關(guān)外國(guó)語學(xué)校高三月考）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．211．（贛榆智賢中學(xué)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60，則（）A． B． C．2 D．312．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．6 B．10 C．15 D．1613．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．30 D．50【題型二：二項(xiàng)式系數(shù)】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A． B． C． D．2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．60 B．120 C．160 D．9603．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第四項(xiàng)的系數(shù)為（）A．4 B．27 C．36 D．1084．（江蘇高三月考）若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．5．（江蘇南京·高二期末）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為（）A．6 B．10 C．15 D．206．（遼寧丹東·高三二模）在的二項(xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A．5 B．6 C．7 D．87．（全國(guó)）已知的展開式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于364，那么展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)8．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則它的展開式的中間項(xiàng)為（）A． B． C．和 D．和9．（吳江汾湖高級(jí)中學(xué)）已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A． B． C． D．10．（江蘇如皋·高三模擬預(yù)測(cè)）的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．20 B． C．60 D．11．（河南平頂山·（理））的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開式中的系數(shù)為（）A． B．504 C． D．70【題型三：項(xiàng)的系數(shù)】1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則等于（）A．4 B．－71 C．64 D．1992．（湖北襄城·襄陽五中高三月考）的展開式中所有的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．3．（全國(guó)高二單元測(cè)試）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A．56 B．－56 C．28 D．－284．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．160 B．-160 C．80 D．-8005．（汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）的展開式中的系數(shù)為（）A．40 B．80 C． D．6．（金華市方格外國(guó)語學(xué)校高二月考）若，則（）A．2 B． C．2 D．7．（福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院高二期末）已知，則（）A．1 B． C．2 D．8．（江蘇鼓樓·南京市第二十九中學(xué)高二期中）設(shè)，是常數(shù)，則的值是（）A． B． C． D．09．（陜西渭濱·（理）），則（）A．49 B．52 C．56 D．5910．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，有，則的值為（）A． B． C． D．

第45講二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理．2.二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．(4)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù).3.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式展開式的第項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作4.二項(xiàng)式定理中，項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指，，…，，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與的值無關(guān)，而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與的值有關(guān)．題型一：二項(xiàng)式定理1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中為常數(shù)項(xiàng)的是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】C【詳解】依題意，的展開式的通項(xiàng)為，，令，得，即是二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng).故選：C2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）等于（）A．2n B．2n－1 C．3n D．1【答案】C【詳解】.故選：C3．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）若的展開式有16項(xiàng)，則自然數(shù)的值為（）A．9 B．10 C．11 D．16【答案】B【詳解】解：因?yàn)榈恼归_式共有項(xiàng)，所以，所以，故選：B．4．（包頭市第六中學(xué)高二期中（理））若且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1【答案】A【詳解】因?yàn)榱?，則；令則，又，所以，即，因此，解得或.故選A5．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為虛數(shù)單位，則展開式中的第三項(xiàng)為（）A．－20i B．15i C．20 D．－15【答案】D【詳解】解：(1＋i)6展開式中的第三項(xiàng)為．故選：D6．（陜西金臺(tái)·高二期末（理））展開式中的第4項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：展開式中的第4項(xiàng)為，故選：D7．（全國(guó)高三專題練習(xí)（理））二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：，令，可得：，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.8．（重慶市第六十六中學(xué)校高二月考）二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．-4 B．4 C．-6 D．6【答案】D【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：D9．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，則這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．－34 B．－672 C．84 D．672【答案】B【詳解】由已知，，則，所以.令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：B．10．（廣東荔灣·西關(guān)外國(guó)語學(xué)校高三月考）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160，則a＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．2【答案】B【詳解】的展開式通項(xiàng)為，∴令，解得，∴的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，∴∴故選：B.11．（贛榆智賢中學(xué)）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60，則（）A． B． C．2 D．3【答案】A【詳解】通項(xiàng),,令，得，得，所以，即故，故選：A.12．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】D【詳解】由題意得的展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.13．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．30 D．50【答案】B【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式都選，其余的3個(gè)因式都選1，相乘可得含的項(xiàng)；或者有3個(gè)因式選，有1個(gè)因式選，1個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)，故項(xiàng)的系數(shù)為，故選B．題型二：二項(xiàng)式系數(shù)1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，令可得，所以含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：D.2．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．60 B．120 C．160 D．960【答案】C【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，故常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)且為，故選：C.3．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第四項(xiàng)的系數(shù)為（）A．4 B．27 C．36 D．108【答案】D【詳解】解：的展開式中的第項(xiàng)為，由，得，所以，故第四項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D.4．（江蘇高三月考）若二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令可得，所以，展開式有項(xiàng)，所以二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第項(xiàng)，，故選：A.5．（江蘇南京·高二期末）展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大值為（）A．6 B．10 C．15 D．20【答案】B【詳解】令得，，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3和第4項(xiàng)，最大的二項(xiàng)式系數(shù)為．故選：B．6．（遼寧丹東·高三二模）在的二項(xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】因?yàn)樵诘亩?xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得，故選：B7．（全國(guó)）已知的展開式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和等于364，那么展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】B【詳解】設(shè)(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，則展開式中奇次項(xiàng)系數(shù)之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1．分別令x＝1，x＝－1，得兩式相減，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝．由已知，得＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3．(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的展開式共有7項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．故選：B.8．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則它的展開式的中間項(xiàng)為（）A． B． C．和 D．和【答案】C【詳解】由已知，可得，解得，的展開式中共有8項(xiàng)，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)與第5項(xiàng)，，故選：C9．（吳江汾湖高級(jí)中學(xué)）已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故因此，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為故選：C10．（江蘇如皋·高三模擬預(yù)測(cè)）的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．20 B． C．60 D．【答案】C【詳解】由題意得，故.所以原式為，通項(xiàng)為，令得，故常數(shù)項(xiàng)為：.故選：C.11．（河南平頂山·（理））的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則展開式中的系數(shù)為（）A． B．504 C． D．70【答案】A【詳解】由題可知，解得．的展開式的通項(xiàng)為．再令，解得．所以展開式中的系數(shù)為．故選：A題型三：項(xiàng)的系數(shù)1．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則等于（）A．4 B．－71 C．64 D．199【答案】C【詳解】∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.故選：C.2．（湖北襄城·襄陽五中高三月考）的展開式中所有的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，，則展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：A.3．（全國(guó)高二單元測(cè)試）的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A．56 B．－56 C．28 D．－28【答案】A【詳解】依題意，所以的系數(shù)是.故選：A4．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．160 B．-160 C．80 D．-800【答案】A【詳解】解：展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為．故選：A．5．（汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）的展開式中的系數(shù)為（）A．40 B．80 C． D．【答案】A【詳解】，所以展開式中的系數(shù)為.故選：A6．（金華市方格外國(guó)語學(xué)校高二月考）若，則（）A．2 B． C．2 D．