上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

上海市徐匯區(qū)位育中學(xué)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若，則的方程為（）A． B． C． D．2．一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種3．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．4．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．5．已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．6．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．7．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．180 B．90 C．45 D．3609．半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．10．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)等于（）A． B．1 C． D．211．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．4012．已知，，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是______.14．設(shè)點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________15．已知，則________.(填“>”或“=”或“<”).16．如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直，則該幾何體的體積為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)的最小值.19．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實(shí)數(shù)滿足.證明：.20．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作兩條射線，分別交橢圓于、兩點(diǎn)，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.21．（12分）已知橢圓，上頂點(diǎn)為，離心率為，直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．22．（10分）已知函數(shù)，不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.2、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因?yàn)?，所以，只有選項(xiàng)滿足條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.4、B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點(diǎn)考試的概率更大．此種題型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤．5、A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。6、A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】試題分析：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.組合數(shù)的計(jì)算.9、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，利用，可得，進(jìn)一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長(zhǎng)與高分別為，則，在中，，化為，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱與球的切接問(wèn)題，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.10、B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對(duì)應(yīng)的的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則有.11、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于容易題．12、D【解析】

令，求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時(shí)，令，求導(dǎo)，，故單調(diào)遞增：∴，當(dāng)，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先分離出，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值.【詳解】解：若取最小值，則異號(hào)，，根據(jù)題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.14、【解析】

由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因?yàn)榕c互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),設(shè)點(diǎn)為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題.15、【解析】

注意到，故只需比較與1的大小即可.【詳解】由已知，，故有.又由，故有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.16、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成，其體積為.故答案為：20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）平面平面因?yàn)?所以,所以,所以,又，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫á颍┤鐖D，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則取，則為面法向量．設(shè)為面的法向量，則，即，取，則依題意，則．于是．設(shè)直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值為．18、（1）（2）【解析】

（1）因?yàn)椋?，由余弦定理得，化?jiǎn)得，可得，解得，又因?yàn)?，所?（6分）（2）因?yàn)?，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）.由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），解得.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以的周長(zhǎng)的最小值為.19、（1）或；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫(xiě)成后，化簡(jiǎn)變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1°時(shí)，，即，解得；2°時(shí)，，即，解得；3°時(shí)，，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，正實(shí)數(shù)滿足，則，即，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）故，得證.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用，考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）由條件可得，再根據(jù)離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當(dāng)與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立求得的坐標(biāo)，通過(guò)、斜率之積為列方程可得的值，進(jìn)而可得的面積；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)，，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和、斜率之積為可得，再利用弦長(zhǎng)公式求出，以及到的距離，通過(guò)三角形的面積公式求解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，，，，，，橢圓方程為；（2）（?。┊?dāng)與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：代入得：，，，解得：，；（ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)，，的方程為由，由①，，，即整理得：代入①得：到的距離綜上：為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.21、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見(jiàn)解析．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入上式，化簡(jiǎn)即可得到．【詳解】（Ⅰ）解：由題意可知：，解得，橢圓的方程為：；（Ⅱ）證：設(shè)點(diǎn)，，點(diǎn)，，聯(lián)立方程，消去得：，，①，點(diǎn)，，，直線的方程為：，令得，，，，同理可得，，，把①式代入上式