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2025屆衡水中學(xué)高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變;再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.3.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.4.已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,且,若,則的最小正周期為()A. B. C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系中,銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點(diǎn),則()A. B. C. D.6.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.7.下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.8.如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn),線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長(zhǎng)為()A.4 B. C.2 D.9.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,若(,且),則i的取值集合是()A. B. C. D.11.集合的子集的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.812.已知i是虛數(shù)單位,則1+iiA.-12+32i二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.點(diǎn)在雙曲線的右支上,其左、右焦點(diǎn)分別為、,直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn),線段的垂直平分線恰好過(guò)點(diǎn),則該雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)_________.14.雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),且周長(zhǎng)的最小值為8,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______,離心率為_(kāi)_______.15.已知過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,過(guò)作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點(diǎn),當(dāng)∥軸,點(diǎn)的橫坐標(biāo)是16.安排名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作,每人參與一項(xiàng),每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成,則不同的安排方式共有________種(用數(shù)字作答).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對(duì)任意的,恒有.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,.(1)求cosC;(2)若b=7,D是BC邊上的點(diǎn),且△ACD的面積為,求sin∠ADB.19.(12分)設(shè),函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的極值;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求實(shí)數(shù)的值.20.(12分)在△ABC中,分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.21.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點(diǎn),滿足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點(diǎn),使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn),然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個(gè)單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域?yàn)?若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo),的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問(wèn)題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.2、B【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計(jì)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.4、C【解析】
根據(jù)題意,知當(dāng)時(shí),,由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【詳解】解:由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)時(shí),,∴由對(duì)稱軸可知,滿足,即.同理,滿足,即,∴,,所以最小正周期為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期,涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.5、A【解析】
根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點(diǎn)在于公式的計(jì)算,識(shí)記公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.7、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;B.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),排除;C.,值域?yàn)椋婧瘮?shù),滿足;D.,值域?yàn)椋瞧娣桥己瘮?shù),排除;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.8、A【解析】
由,兩邊平方后展開(kāi)整理,即可求得,則的長(zhǎng)可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.9、D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
首先求出等差數(shù)列的首先和公差,然后寫(xiě)出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d,由題知,,解得,,所以數(shù)列為,故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
先確定集合中元素的個(gè)數(shù),再得子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意,有三個(gè)元素,其子集有8個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題,含有個(gè)元素的集合其子集有個(gè),其中真子集有個(gè).12、D【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡(jiǎn)得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】如圖,是切點(diǎn),是的中點(diǎn),因?yàn)?,所以,又,所以,,又,根?jù)雙曲線的定義,有,即,兩邊平方并化簡(jiǎn)得,所以,因此.14、22【解析】
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,根據(jù)周長(zhǎng)為,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為.周長(zhǎng)為:.當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立,故,即實(shí)軸長(zhǎng)為,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線周長(zhǎng)的最值問(wèn)題,離心率,實(shí)軸長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、【解析】
通過(guò)設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo),可得C點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)∥軸,可得B點(diǎn)坐標(biāo),于是再利用可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可設(shè)點(diǎn),則,由于∥軸,故,代入,可得,即,由于在線段上,故,即,解得.16、1296【解析】
先從4個(gè)男生選2個(gè)一組,將4人分成三組,然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組,將4人分成三組,然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成,則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組,將4人分成三組,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有種.故答案為:1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減,結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)若,則.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以所以在上單調(diào)遞增,又,所以不等式的解集為.(2)設(shè),再令,,在上單調(diào)遞減,又,,,,,.即【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決不等式問(wèn)題,屬于較難題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式,將已知等式化為角關(guān)系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;(2)在中,根據(jù)面積公式求出長(zhǎng),根據(jù)余弦定理求出,由正弦定理求出,即可求出結(jié)論.【詳解】(1),,;(2)在中,由(1)得,,由余弦定理得,,在中,,.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.19、(1)極大值是,無(wú)極小值;(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),可求得,令,利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn),從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值;(2)表示出,并求得,由題意,得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,從而可得△及,由,得.則可化為對(duì)任意的恒成立,按照、、三種情況分類討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決;【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.令,則,顯然在上單調(diào)遞減,又因?yàn)椋蕰r(shí),總有,所以在上單調(diào)遞減.由于,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:+-增極大減所以在上的極大值是,無(wú)極小值.(2)由于,則.由題意,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則,解得,且,又,所以.由,,可得又.將其代入上式得:.整理得,即當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即.當(dāng)時(shí),恒成立,即,令,易證是上的減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,故.當(dāng)時(shí),恒成立,即,因此,當(dāng)時(shí),所以.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí),考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,該題綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)能力要求較高.20、(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,問(wèn)題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡(jiǎn)能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.22、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),
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